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人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课时训练
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课时训练，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版2019 必修一 5.6 函数y=Asin(wx+φ)同步练习
一、单选题
1.函数f（x）=sin x3 +cos x3 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A. 3 和 2 B. 3 和2 C. 6π 和 2 D. 6π 和2
2.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 π3 个单位长度，得到函数y=sin(x- π4 )的图像，则f(x)=（ ）
A. sin( x2-7π12 ) B. sin( x2+π12 ) C. sin( 2x-7π12 ) D. sin( 2x+π12 )
3.已知函数 y=f(x) 的图像由函数 g(x)=cosx 的图像经如下变换得到：先将 g(x) 的图像向右平移 π6 个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数 y=f(x) 的对称轴方程为（ ）
A. x=kπ2+π12 ， k∈Z B. x=kπ2+π6 ，k∈Z
C. x=kπ+π12 , k∈Z D. x=kπ+π6 ， k∈Z
4.已知函数 y=sin(ωx+π6)(ω>0) 图象的一条对称轴为 x=π12 ，则 ω 的最小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5.已知曲线 C:y=cos2x ，曲线 E:y=sin(x+π3) ，则下面结论正确的是（ ）
A. 把C上各点横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变）后，再向右平移 π6 个单位长度得到曲线E
B. 把C上各点横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变）后，再向左平移 π6 个单位长度得到曲线E
C. 把C上各点横坐标缩短到原来 12 倍（纵坐标不变）后，再向右平移 π6 个单位长度得到曲线E
D. 把C上各点横坐标缩短到原来 12 倍（纵坐标不变）后，再向左平移 π6 个单位长度得到曲线E
6.把函数 y=2sin2x 的图象向左平移 π3 个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数 f(x) 的图象，则（ ）
A. f(x)=2sin(2x+π3)+1 B. f(x) 的最小正周期为 2π
C. f(x) 的图象关于直线 x=π6 对称 D. f(x) 在 [π6,5π12] 上单调递减
7.如图为 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2) 图象的一段，则 φ= （ ）
A. π6 B. π3 C. π4 D. 3π4
8.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) （ A>0 ， ω>0 ， φ<π2 ），若 f(x) 的图象经过点 (2π3,0) ，相邻对称轴的距离为 π2 ，则 f(x) 的解析式可能为（ ）
A. f(x)=-cos(2x+π6) B. f(x)=2sin(x+π3)
C. f(x)=3cos(2x-π3) D. f(x)=4cos(x-π6)
二、多选题
9.为了得到函数 y=2cos(2x+π5) 的图象，只需将函数 y=2cos2x 的图象（ ）
A. 向左平移 π5 个单位长度 B. 向左平移 π10 个单位长度
C. 向右平移 4π5 个单位长度 D. 向右平移 9π10 个单位长度
10.已知函数 f(x)=asin2x+bcos2x(a>0,b>0) ，且 f(π3)=0 ，则下列说法正确的是（ ）
A. f(x) 的最小正周期为 π B. f(π12)=2a
C. 将 f(x) 图像向左平移 π3 个单位得到一个偶函数 D. f(x) 在 (π12,7π12) 上单调
11.已知函数 f(x)=cos2x+23sinxcosx-sin2x ，则（ ）
A. π 是函数 f(x) 的一个周期
B. x=-π6 是函数 f(x) 的一条对称轴
C. 函数 f(x) 的一个增区间是 (-π3,π6)
D. 把函数 y=2sin2x 的图像向左平移 π12 个单位，得到函数 f(x) 的图像
12.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω∈N) 在区间 [-π12,π12] 和 [7π4,25π12] 上单调递增，下列说法中正确的是（ ）
A. ω 的最大值为3 B. 方程 f(x)=log2πx 在 [0,2π] 上至多有5个根
C. 存在 ω 和 φ 使 f(x)=sin(ωx+φ) 为偶函数 D. 存在 ω 和 φ 使 f(x)=sin(ωx+φ) 为奇函数
三、填空题
13.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π) 在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为________.
14.将函数 f(x)=sin(3x+π6) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移 m(m>0) 个单位长度，得到函数 g(x) 的图象．若 g(x) 为奇函数，则 m 的最小值为________．
15.将函数 f(x)=2sin(x+π6)sin(π3-x) 图象向左平移 φ(φ>0) 个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则 φ 的最小值为________.
16.将函数f（x）=2sin2x的图象向左平移 π6 单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，对任意a∈R，y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值________．
四、解答题
17.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2) 的部分图象如图所示：
（1）求图中a，b的值及函数 f(x) 的递增区间；
（2）若 α∈[0,π] ，且 f(α)=2 ，求 α 的值．
18.已知函数 f(x)=2sin(2x+π6)+1
（Ⅰ）用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的图象（完成横、纵坐标列表）；
（Ⅱ）写出函数 y=f(x) 图象的对称中心坐标及对称轴的方程.
19.已知函数 f(x)=1+sin2xtan(π4+x) .
（1）求 f(x) 的最小正周期；
（2）将 y=f(x) 图象上每个点的横坐标变为原来的 2π 倍，再将所得图象向右平移 14 个长度单位得到 y=g(x) 的图象，若 x∈(0,a) 时， g(x) 恰有一个零点和两个极值点，求实数 a 的取值范围.
20.已知函数 f(x)=sinωx+3cosωx(ω>0) 的图象相邻两个零点差的绝对值为 π4 ．
（1）若 f(x)=Asin(ωx+φ) ，分别求 A,ω ；
（2）将 f(x) 的图象上的所有点的横坐标变为原来的4倍，再将图象向右平移 π6 得到函数 g(x) 的图象，求函数 g(x) 的单调递增区间．
21.已知函数 f(x)=3sin(ωx+φ)+2cos2ωx+φ2-1(ω>0,0<φ<π) 为偶函数，且 f(x) 图象的相邻两个最高点的距离为 π ．
（1）当 x∈[-π6,5π6] 时，求 f(x) 的单调递增区间；
（2）将函数 f(x) 的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来 12 （纵坐标不变），得到函数 y=g(x) 的图象．求函数 g(x) 在区间 [-π12,π6] 上的最大值和最小值．
22.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0 ， |φ|<π2) 满足条件： f(x+π)=f(x) ，且 f(π3+x)=f(π3-x) ．
（1）求 f(x) 的解析式；
（2）由函数 y=sinx 的图象经过适当的变换可以得到 f(x) 的图象．现提供以下两种变换方案：① y=sinx → y=sin(x+φ) → y=f(x) ② y=sinx → y=sinωx → y=f(x) 请你选择其中一种方案作答，并将变换过程叙述完整．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解】因为 f（x）=sin x3 +cos x3＝22sin(x3+π4) ,所以周期T＝2π13＝6π ，值域[－2，2]。
即最大值是2，
故答案为：C。
2.【答案】 B
【解】根据图象平移的规律可知，将y= y=sin(x- π4 )的图像 上所有的点向左平移平移π3个单位，纵坐标不变，得到y=sin(x+π12),再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即函数的周期变原来的2倍，就得到函数y=sin(x2+π12) ， 故答案为：B。
3.【答案】 A
【解】函数 g(x)=cosx 的图像向右平移 π6 个单位，得到 y=cos(x-π6) 的图像，
再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到 y=cos(2x-π6) 的图像，
即 f(x)=cos(2x-π6) ，则其对称轴满足： 2x-π6=kπ ， k∈Z
即 x=kπ2+π12 ， k∈Z
故答案为：A
4.【答案】 B
解：由题意知 πω12+π6=kπ+π2(k∈Z) ，得 ω=12k+4(k∈Z) ，∴ ωmin=4 ．
故答案为：B．
5.【答案】 A
【解】对于A：由已知得 y=cos(12⋅2x)=cosx ，从而有 y=cos(x-π6)=cos[(x+π3)-π2] =sin(x+π3) ，A符合题意；
对于B：由已知得 y=cos(12⋅2x)=cosx ，从而有 y=cos(x+π6)=cos[(x-π3)+π2] =-sin(x-π3) ，B不正确；
对于C：由已知得 y=cos(2⋅2x)=cos4x ，从而有 y=cos4(x-π6)=cos(4x-2π3)
=cos[(4x-π6)-π2]=sin(4x-π6) ，C不正确；
对于D：由已知得 y=cos(2⋅2x)=cos4x ，从而有 y=cos4(x+π6)=cos(4x+2π3)
=cos[(4x+π6)+π2]=-sin(4x+π6) ，D不正确；
故答案为：A
6.【答案】 D
【解】将函数 y=2sin2x 图象向左平移 π3 个单位长度得到y=2sin2(x+π3)=2sin(2x+2π3) 的图象，再向上平移1个单位长度可得到 f(x)=2sin(2x+2π3)+1 的图象，A不符合题意.
T=2π2=π ，B不符合题意；
令 2x+2π3=π2+kπ,k∈Z ，得 x=-π12+kπ2,k∈Z ，
当 k=0 时， x=-π12 ；当 k=1 时， x=512π ，C不符合题意.
令 π2+2kπ≤2x+2π3≤3π2+2kπ,k∈Z ，
-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z ，
所以 f(x) 在 [π6,5π12] 上单调递减，D符合题意.
故答案为：D.
7.【答案】 A
【解】因为 T2=2π3-π6=π2 ，所以 T=π,ω=2πT=2 ，
因为 sin(2×π6+φ)=1 ，所以 π3+φ=π2+2kπ(k∈Z),φ=π6+2kπ(k∈Z) ，
因为 |φ|<π2 ，因此 φ=π6 。
故答案为：A.
8.【答案】 A
【解】因为相邻对称轴的距离为周期的一半，所以函数 f(x) 的最小正周期 T=2×π2=π ，又 T=π=2πω ，所以 ω=2 ，故选项B，D错误；把点 (2π3,0) 代入选项A， f(2π3)=-cos(4π3+π6)=-cos3π2=0 ，选项A成立，而把点 (2π3,0) 代入选项C， f(2π3)=3cos(4π3-π3)=3cosπ=-3≠0 ，选项C不成立.
故答案为：A.
二、多选题
9.【答案】 B,D
【解】因为 y=2cos(2x+π5)=2cos2(x+π10) ，
所以将函数 y=2cos2x 的图象向左平移 π10 个单位长度，纵坐标不变，得到 y=2cos(2x+π5) 的图象，则A不符合题意，B符合题意；
因为 y=2cos(2x+π5)=2cos(2x+π5-2π)=2cos2(x-9π10) ，
所以将函数 y=2cos2x 的图象向右平移 9π10 个单位长度，纵坐标不变，得到 y=2cos(2x+π5) 的图象，则C不符合题意，D符合题意.
故答案为：BD.
10.【答案】 A,B,D
【解】由题意 f(x)=a2+b2sin(2x+φ) ，其中 cosφ=aa2+b2,sinφ=ba2+b2 ， φ 为锐角，
最小正周期是 T=2π2=π ，A符合题意；
f(π3)=a2+b2sin(2π3+φ)=0 ， 2π3+φ=kπ,k∈Z ，而 φ 为锐角，所以 φ=π3 ， a2+b2=2a ，
f(π12)=a2+b2sin(π6+π3)=a2+b2=2a ，B符合题意；
将 f(x) 图像向左平移 π3 个单位得到的图象的解析式为 y=a2+b2sin[2(x+π3)+π3]=-a2+b2sin2x ，为奇函数，C不符合题意；
x∈(π2,7π12) 时， 2x+π3∈[4π3,3π2] ， f(x) 是递增的，D符合题意．
故答案为：ABD．
11.【答案】 A,C,D
【解】依题意： f(x)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6) ，
对于A选项： f(x) 的周期 T=2π2=π ，即A符合题意；
对于B选项：因 f(-π6)=2sin[2(-π6)+π6]=2sin(-π6)=-1 ，则 x=-π6 不是函数 f(x) 的对称轴，即B不正确；
对于C选项： 2kπ-π2<2x+π6<2kπ+π2(k∈Z) 得 kπ-π3
对于D选项：函数 y=2sin2x 的图像向左平移 π12 个单位得 y=2sin2(x+π12)=2sin(2x+π6) ，即D符合题意.
故答案为：ACD
12.【答案】 A,B,D
【解】由函数 f(x)=sin(ωx+φ) 在 [-π12,π12] 和 [7π4,25π12] 上单调递增，
可知当周期 T 最小时，令 T2=25π12-7π4=π3 ，则 T=2π3 ， ω=2πT=3 ，经检验 ω=3 符合题意；当周期 T 最大时，令 T2=7π4-π12=5π3 ，则 T=10π3 ， ω=2πT=35 ，因为 ω∈N ，则 ω=1 ，经检验 ω=1 符合题意，则 ω 的可能取值为1，2，3，A符合题意；
若方程 f(x)=log2πx 在 [0,2π] 上的根最多，则函数 f(x)=sin(ωx+φ) 的周期最小，即 ω=3 ，画出两个函数的图象，由图中可知至多有五个交点，B符合题意；
因为 f(x) 在 [-π12,π12] 上为增函数，故不可能存在 ω 和 φ 使 f(x)=sin(ωx+φ) 为偶函数，C不符合题意；
当 ω=2 且 φ=0 时， f(x)=sin2x 为奇函数，满足题意，D符合题意，
故答案为：ABD.
三、填空题
13.【答案】 y=2sin(2x+2π3)
【解】由题意 A=2 ，又 T=2×[5π12-(-π12)]=π ，∴ ω=2ππ=2 ，
由 2sin(2×5π12+φ)=-2 得 φ=2kπ+2π3,k∈Z ，又 0<φ<π ，∴ φ=2π3 ．
故答案为： y=2sin(2x+2π3) ．
14.【答案】 π3
【解】将函数 f(x)=sin(3x+π6) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），
得到函数 y=sin(3x×16+π6)=sin(12x+π6) 的图象，
再将所得函数图象向右平移 m(m>0) 个单位长度，得到 g(x)=sin[12(x-m)+π6]=sin(12x+π6-12m) 的图象，
由于函数 y=g(x) 为奇函数，则 π6-12m=kπ(k∈Z) ， ∴m=π3-2kπ(k∈Z) ，
当 k=0 时，正数 m 取得最小值 π3 .
故答案为： π3 .
15.【答案】 π12 【解】 ∵f(x)=2sin(x+π6)sin(π3-x)=2sin(x+π6)cos(π2-(π3-x)) =2sin(x+π6)cos(x+π6)=sin(2x+π3) ，
∴f(x) 向左平移 φ 个单位得： f(x+φ)=sin(2x+2φ+π3) ，
∵f(x+φ) 为偶函数， ∴2φ+π3=π2+kπ(k∈Z) ，解得： φ=π12+kπ2(k∈Z) ，
又 φ>0 ， ∴φ 的最小值为 π12 .
故答案为： π12 .
16.【答案】20或者21
解：f（x）=2sin2x， 将y=f（x）的图象向左平移 π6 个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2（x+ π6 ）+1的图象，所以g（x）=2sin2（x+ π6 ）+1．
令g（x）=0，得x=kπ+ 512 π或x=kπ+ 34 π（k∈z），
因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，
当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．
综上，y=g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．
故答案为：20或者21．四、解答题
17.【答案】 （1）解：由图可得 A=2 ， 3T4=5π12-(-π3)=3π4 ，则 T=π ， ∴ω=2ππ=2 ，
∴f(x)=2sin(2x+φ) ，
∵f(-π3)=2sin(-2π3+φ)=-2 ，则 φ-2π3=-π2+2kπ,k∈Z ，
则 φ=π6+2kπ,k∈Z ， ∵|φ|<π2 ， ∴φ=π6 ，
∴f(x)=2sin(2x+π6) ，
∴b=2sinπ6=1 ， a=-π3-T4=-π3-π4=-7π12 ，
令 -π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z ，解得 -π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z ，
f(x) 的递增区间为 [-π3+kπ,π6+kπ],k∈Z
（2）解： ∵f(α)=2sin(2α+π6)=2 ，即 sin(2α+π6)=22 ，
∵α∈[0,π] ， ∴2α+π6∈[π6,13π6] ，
∴2α+π6=π4 或 2α+π6=3π4 ，则 α=π24 或 7π24
18.【答案】 解：（Ⅰ）
2x+π6
0
π2
π
3π2
2π
x
-π12
π6
5π12
2π3
11π12
y
1
3
1
-1
1
图象如下：
（II）观察图象可得出，
对称中心的坐标为： (kπ2-π12,1) ， k∈Z ，
对称轴方程为： x=kπ2+π6 ， k∈Z
19.【答案】 （1）解：因为 f(x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx1+tanx1-tanx =(sinx+cosx)2(cosx-sinxcosx+sinx)
=cos2x-sin2x=cos2x .
所以 T=2π2=π
（2）解：将 y=f(x) 的横坐标变为原来的 2π 倍后得到 y=cosπx ，
再将 y=cosπx 向右平移 14 个长度单位得到 g(x)=cos(πx-π4) ，
当 x∈(0,a) 时， πx-π4∈(-π4,πa-π4) ，因为 g(x) 恰有唯一零点和两个极值点，
所以 {πa-π4>ππa-π4≤3π2 ，
所以 54
因为 f(x) 的相邻两个零点差的绝对值为 π4 ，则 T2=π4 ，即 T=π2 ，
所以 2πω=π4 ，所以 ω=4
（2）解：由（1）得， f(x)=2sin(4x+π3) ，所以 g(x)=2sin(x+π6) ，
令 2kπ-π2⩽x+π6⩽2kπ+π2(k∈Z) ，即 2kπ-2π3⩽x⩽2kπ+π3 时，
函数 g(x) 单调递增，
所以函数 g(x) 的单调递增区间为 [2kπ-2π3,2kπ+π3](k∈Z)
21.【答案】 （1）解：由题意函数 f(x)=3sin(ωx+φ)+2cos2ωx+φ2-1
=3sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ+π6) ，
因为函数 f(x) 图象的相邻两个最高点的距离为 π ，
所以 T=π ，可得 ω=2 ．
又由函数 f(x) 为偶函数可得 f(0)=2sin(φ+π6)=±2 ，
所以 φ+π6=kπ+π2 ， k∈Z ，则 φ=kπ+π3 ， k∈Z ．
因为 0<φ<π ，所以 φ=π3 ，所以函数 f(x)=2cos2x ，
令 2kπ-π≤2x≤2kπ ， k∈Z ，解得 kπ-π2≤x≤kπ ， k∈Z ，
当 k=0 时， -π2≤x≤0 ；当 k=1 时， π2≤x≤π ，又 x∈[-π6,5π6] ，
可得函数 f(x) 的单调递增区间为 [-π6,0] 和 [π2,5π6]
（2）解：将函数 f(x) 的图象向右平移 π6 个单位长度可得 y=2cos(2x-π3) 的图象，再把各点的横坐标缩小为原来的 12 ，得到函数 g(x)=2cos(4x-π3) 的图象，
当 x∈[-π12,π6] 时， 4x-π3∈[-2π3,π3] ．
当 4x-π3=-2π3 ，即 x=-π12 时，
函数 g(x) 取得最小值，最小值为 -1 ；
当 4x-π3=0 ，即 x=π12 时，
函数 g(x) 取得最大值，最大值为2．
所以函数 g(x) 在区间 [-π12,π6] 上的最大值是 ，最小值是-1
22.【答案】 （1）解：由 f(x+π)=f(x) ，知函数 f(x) 的周期为π ，
所以 T=2πω=π ，即 ω=2 .
由 f(π3+x)=f(π3-x) ，知函数 f(x) 的图象关于 x=π3 对称
所以 sin(2×π3+φ)=±1 ，即 2π3+φ=kπ+π2,k∈Z ，
所以 φ=kπ-π6,k∈Z .
因为 |φ|<π2 ，所以 φ=-π6 ，
所以 f(x)=sin(2x-π6)
（2）解：方案①：
将 y=sinx 的图象向右平移 π6 个单位后，得到 y=sin(x-π6) 的图象；再将图象上所有点的横坐标变为原来的 12 ，纵坐标不变，得到 y=sin(2x-π6) 的图象
方案②：
将 y=sinx 图象上所有点的横坐标变为原来的 12 ，纵坐标不变，得到 y=sin2x 的图象；再将所得图象向右平移 π12 个单位，得到得到 y=sin(2x-π6) 的图象
人教版2019 必修一 5.6 函数y=Asin(wx+φ)同步练习
一、单选题
1.函数f（x）=sin x3 +cos x3 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A. 3 和 2 B. 3 和2 C. 6π 和 2 D. 6π 和2
2.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 π3 个单位长度，得到函数y=sin(x- π4 )的图像，则f(x)=（ ）
A. sin( x2-7π12 ) B. sin( x2+π12 ) C. sin( 2x-7π12 ) D. sin( 2x+π12 )
3.已知函数 y=f(x) 的图像由函数 g(x)=cosx 的图像经如下变换得到：先将 g(x) 的图像向右平移 π6 个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数 y=f(x) 的对称轴方程为（ ）
A. x=kπ2+π12 ， k∈Z B. x=kπ2+π6 ，k∈Z
C. x=kπ+π12 , k∈Z D. x=kπ+π6 ， k∈Z
4.已知函数 y=sin(ωx+π6)(ω>0) 图象的一条对称轴为 x=π12 ，则 ω 的最小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5.已知曲线 C:y=cos2x ，曲线 E:y=sin(x+π3) ，则下面结论正确的是（ ）
A. 把C上各点横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变）后，再向右平移 π6 个单位长度得到曲线E
B. 把C上各点横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变）后，再向左平移 π6 个单位长度得到曲线E
C. 把C上各点横坐标缩短到原来 12 倍（纵坐标不变）后，再向右平移 π6 个单位长度得到曲线E
D. 把C上各点横坐标缩短到原来 12 倍（纵坐标不变）后，再向左平移 π6 个单位长度得到曲线E
6.把函数 y=2sin2x 的图象向左平移 π3 个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数 f(x) 的图象，则（ ）
A. f(x)=2sin(2x+π3)+1 B. f(x) 的最小正周期为 2π
C. f(x) 的图象关于直线 x=π6 对称 D. f(x) 在 [π6,5π12] 上单调递减
7.如图为 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2) 图象的一段，则 φ= （ ）
A. π6 B. π3 C. π4 D. 3π4
8.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) （ A>0 ， ω>0 ， φ<π2 ），若 f(x) 的图象经过点 (2π3,0) ，相邻对称轴的距离为 π2 ，则 f(x) 的解析式可能为（ ）
A. f(x)=-cos(2x+π6) B. f(x)=2sin(x+π3)
C. f(x)=3cos(2x-π3) D. f(x)=4cos(x-π6)
二、多选题
9.为了得到函数 y=2cos(2x+π5) 的图象，只需将函数 y=2cos2x 的图象（ ）
A. 向左平移 π5 个单位长度 B. 向左平移 π10 个单位长度
C. 向右平移 4π5 个单位长度 D. 向右平移 9π10 个单位长度
10.已知函数 f(x)=asin2x+bcos2x(a>0,b>0) ，且 f(π3)=0 ，则下列说法正确的是（ ）
A. f(x) 的最小正周期为 π B. f(π12)=2a
C. 将 f(x) 图像向左平移 π3 个单位得到一个偶函数 D. f(x) 在 (π12,7π12) 上单调
11.已知函数 f(x)=cos2x+23sinxcosx-sin2x ，则（ ）
A. π 是函数 f(x) 的一个周期
B. x=-π6 是函数 f(x) 的一条对称轴
C. 函数 f(x) 的一个增区间是 (-π3,π6)
D. 把函数 y=2sin2x 的图像向左平移 π12 个单位，得到函数 f(x) 的图像
12.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω∈N) 在区间 [-π12,π12] 和 [7π4,25π12] 上单调递增，下列说法中正确的是（ ）
A. ω 的最大值为3 B. 方程 f(x)=log2πx 在 [0,2π] 上至多有5个根
C. 存在 ω 和 φ 使 f(x)=sin(ωx+φ) 为偶函数 D. 存在 ω 和 φ 使 f(x)=sin(ωx+φ) 为奇函数
三、填空题
13.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π) 在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为________.
14.将函数 f(x)=sin(3x+π6) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移 m(m>0) 个单位长度，得到函数 g(x) 的图象．若 g(x) 为奇函数，则 m 的最小值为________．
15.将函数 f(x)=2sin(x+π6)sin(π3-x) 图象向左平移 φ(φ>0) 个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则 φ 的最小值为________.
16.将函数f（x）=2sin2x的图象向左平移 π6 单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，对任意a∈R，y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值________．
四、解答题
17.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2) 的部分图象如图所示：
（1）求图中a，b的值及函数 f(x) 的递增区间；
（2）若 α∈[0,π] ，且 f(α)=2 ，求 α 的值．
18.已知函数 f(x)=2sin(2x+π6)+1
（Ⅰ）用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的图象（完成横、纵坐标列表）；
（Ⅱ）写出函数 y=f(x) 图象的对称中心坐标及对称轴的方程.
19.已知函数 f(x)=1+sin2xtan(π4+x) .
（1）求 f(x) 的最小正周期；
（2）将 y=f(x) 图象上每个点的横坐标变为原来的 2π 倍，再将所得图象向右平移 14 个长度单位得到 y=g(x) 的图象，若 x∈(0,a) 时， g(x) 恰有一个零点和两个极值点，求实数 a 的取值范围.
20.已知函数 f(x)=sinωx+3cosωx(ω>0) 的图象相邻两个零点差的绝对值为 π4 ．
（1）若 f(x)=Asin(ωx+φ) ，分别求 A,ω ；
（2）将 f(x) 的图象上的所有点的横坐标变为原来的4倍，再将图象向右平移 π6 得到函数 g(x) 的图象，求函数 g(x) 的单调递增区间．
21.已知函数 f(x)=3sin(ωx+φ)+2cos2ωx+φ2-1(ω>0,0<φ<π) 为偶函数，且 f(x) 图象的相邻两个最高点的距离为 π ．
（1）当 x∈[-π6,5π6] 时，求 f(x) 的单调递增区间；
（2）将函数 f(x) 的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来 12 （纵坐标不变），得到函数 y=g(x) 的图象．求函数 g(x) 在区间 [-π12,π6] 上的最大值和最小值．
22.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0 ， |φ|<π2) 满足条件： f(x+π)=f(x) ，且 f(π3+x)=f(π3-x) ．
（1）求 f(x) 的解析式；
（2）由函数 y=sinx 的图象经过适当的变换可以得到 f(x) 的图象．现提供以下两种变换方案：① y=sinx → y=sin(x+φ) → y=f(x) ② y=sinx → y=sinωx → y=f(x) 请你选择其中一种方案作答，并将变换过程叙述完整．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解】因为 f（x）=sin x3 +cos x3＝22sin(x3+π4) ,所以周期T＝2π13＝6π ，值域[－2，2]。
即最大值是2，
故答案为：C。
2.【答案】 B
【解】根据图象平移的规律可知，将y= y=sin(x- π4 )的图像 上所有的点向左平移平移π3个单位，纵坐标不变，得到y=sin(x+π12),再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即函数的周期变原来的2倍，就得到函数y=sin(x2+π12) ， 故答案为：B。
3.【答案】 A
【解】函数 g(x)=cosx 的图像向右平移 π6 个单位，得到 y=cos(x-π6) 的图像，
再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到 y=cos(2x-π6) 的图像，
即 f(x)=cos(2x-π6) ，则其对称轴满足： 2x-π6=kπ ， k∈Z
即 x=kπ2+π12 ， k∈Z
故答案为：A
4.【答案】 B
解：由题意知 πω12+π6=kπ+π2(k∈Z) ，得 ω=12k+4(k∈Z) ，∴ ωmin=4 ．
故答案为：B．
5.【答案】 A
【解】对于A：由已知得 y=cos(12⋅2x)=cosx ，从而有 y=cos(x-π6)=cos[(x+π3)-π2] =sin(x+π3) ，A符合题意；
对于B：由已知得 y=cos(12⋅2x)=cosx ，从而有 y=cos(x+π6)=cos[(x-π3)+π2] =-sin(x-π3) ，B不正确；
对于C：由已知得 y=cos(2⋅2x)=cos4x ，从而有 y=cos4(x-π6)=cos(4x-2π3)
=cos[(4x-π6)-π2]=sin(4x-π6) ，C不正确；
对于D：由已知得 y=cos(2⋅2x)=cos4x ，从而有 y=cos4(x+π6)=cos(4x+2π3)
=cos[(4x+π6)+π2]=-sin(4x+π6) ，D不正确；
故答案为：A
6.【答案】 D
【解】将函数 y=2sin2x 图象向左平移 π3 个单位长度得到y=2sin2(x+π3)=2sin(2x+2π3) 的图象，再向上平移1个单位长度可得到 f(x)=2sin(2x+2π3)+1 的图象，A不符合题意.
T=2π2=π ，B不符合题意；
令 2x+2π3=π2+kπ,k∈Z ，得 x=-π12+kπ2,k∈Z ，
当 k=0 时， x=-π12 ；当 k=1 时， x=512π ，C不符合题意.
令 π2+2kπ≤2x+2π3≤3π2+2kπ,k∈Z ，
-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z ，
所以 f(x) 在 [π6,5π12] 上单调递减，D符合题意.
故答案为：D.
7.【答案】 A
【解】因为 T2=2π3-π6=π2 ，所以 T=π,ω=2πT=2 ，
因为 sin(2×π6+φ)=1 ，所以 π3+φ=π2+2kπ(k∈Z),φ=π6+2kπ(k∈Z) ，
因为 |φ|<π2 ，因此 φ=π6 。
故答案为：A.
8.【答案】 A
【解】因为相邻对称轴的距离为周期的一半，所以函数 f(x) 的最小正周期 T=2×π2=π ，又 T=π=2πω ，所以 ω=2 ，故选项B，D错误；把点 (2π3,0) 代入选项A， f(2π3)=-cos(4π3+π6)=-cos3π2=0 ，选项A成立，而把点 (2π3,0) 代入选项C， f(2π3)=3cos(4π3-π3)=3cosπ=-3≠0 ，选项C不成立.
故答案为：A.
二、多选题
9.【答案】 B,D
【解】因为 y=2cos(2x+π5)=2cos2(x+π10) ，
所以将函数 y=2cos2x 的图象向左平移 π10 个单位长度，纵坐标不变，得到 y=2cos(2x+π5) 的图象，则A不符合题意，B符合题意；
因为 y=2cos(2x+π5)=2cos(2x+π5-2π)=2cos2(x-9π10) ，
所以将函数 y=2cos2x 的图象向右平移 9π10 个单位长度，纵坐标不变，得到 y=2cos(2x+π5) 的图象，则C不符合题意，D符合题意.
故答案为：BD.
10.【答案】 A,B,D
【解】由题意 f(x)=a2+b2sin(2x+φ) ，其中 cosφ=aa2+b2,sinφ=ba2+b2 ， φ 为锐角，
最小正周期是 T=2π2=π ，A符合题意；
f(π3)=a2+b2sin(2π3+φ)=0 ， 2π3+φ=kπ,k∈Z ，而 φ 为锐角，所以 φ=π3 ， a2+b2=2a ，
f(π12)=a2+b2sin(π6+π3)=a2+b2=2a ，B符合题意；
将 f(x) 图像向左平移 π3 个单位得到的图象的解析式为 y=a2+b2sin[2(x+π3)+π3]=-a2+b2sin2x ，为奇函数，C不符合题意；
x∈(π2,7π12) 时， 2x+π3∈[4π3,3π2] ， f(x) 是递增的，D符合题意．
故答案为：ABD．
11.【答案】 A,C,D
【解】依题意： f(x)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6) ，
对于A选项： f(x) 的周期 T=2π2=π ，即A符合题意；
对于B选项：因 f(-π6)=2sin[2(-π6)+π6]=2sin(-π6)=-1 ，则 x=-π6 不是函数 f(x) 的对称轴，即B不正确；
对于C选项： 2kπ-π2<2x+π6<2kπ+π2(k∈Z) 得 kπ-π3
对于D选项：函数 y=2sin2x 的图像向左平移 π12 个单位得 y=2sin2(x+π12)=2sin(2x+π6) ，即D符合题意.
故答案为：ACD
12.【答案】 A,B,D
【解】由函数 f(x)=sin(ωx+φ) 在 [-π12,π12] 和 [7π4,25π12] 上单调递增，
可知当周期 T 最小时，令 T2=25π12-7π4=π3 ，则 T=2π3 ， ω=2πT=3 ，经检验 ω=3 符合题意；当周期 T 最大时，令 T2=7π4-π12=5π3 ，则 T=10π3 ， ω=2πT=35 ，因为 ω∈N ，则 ω=1 ，经检验 ω=1 符合题意，则 ω 的可能取值为1，2，3，A符合题意；
若方程 f(x)=log2πx 在 [0,2π] 上的根最多，则函数 f(x)=sin(ωx+φ) 的周期最小，即 ω=3 ，画出两个函数的图象，由图中可知至多有五个交点，B符合题意；
因为 f(x) 在 [-π12,π12] 上为增函数，故不可能存在 ω 和 φ 使 f(x)=sin(ωx+φ) 为偶函数，C不符合题意；
当 ω=2 且 φ=0 时， f(x)=sin2x 为奇函数，满足题意，D符合题意，
故答案为：ABD.
三、填空题
13.【答案】 y=2sin(2x+2π3)
【解】由题意 A=2 ，又 T=2×[5π12-(-π12)]=π ，∴ ω=2ππ=2 ，
由 2sin(2×5π12+φ)=-2 得 φ=2kπ+2π3,k∈Z ，又 0<φ<π ，∴ φ=2π3 ．
故答案为： y=2sin(2x+2π3) ．
14.【答案】 π3
【解】将函数 f(x)=sin(3x+π6) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），
得到函数 y=sin(3x×16+π6)=sin(12x+π6) 的图象，
再将所得函数图象向右平移 m(m>0) 个单位长度，得到 g(x)=sin[12(x-m)+π6]=sin(12x+π6-12m) 的图象，
由于函数 y=g(x) 为奇函数，则 π6-12m=kπ(k∈Z) ， ∴m=π3-2kπ(k∈Z) ，
当 k=0 时，正数 m 取得最小值 π3 .
故答案为： π3 .
15.【答案】 π12 【解】 ∵f(x)=2sin(x+π6)sin(π3-x)=2sin(x+π6)cos(π2-(π3-x)) =2sin(x+π6)cos(x+π6)=sin(2x+π3) ，
∴f(x) 向左平移 φ 个单位得： f(x+φ)=sin(2x+2φ+π3) ，
∵f(x+φ) 为偶函数， ∴2φ+π3=π2+kπ(k∈Z) ，解得： φ=π12+kπ2(k∈Z) ，
又 φ>0 ， ∴φ 的最小值为 π12 .
故答案为： π12 .
16.【答案】20或者21
解：f（x）=2sin2x， 将y=f（x）的图象向左平移 π6 个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2（x+ π6 ）+1的图象，所以g（x）=2sin2（x+ π6 ）+1．
令g（x）=0，得x=kπ+ 512 π或x=kπ+ 34 π（k∈z），
因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，
当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．
综上，y=g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．
故答案为：20或者21．四、解答题
17.【答案】 （1）解：由图可得 A=2 ， 3T4=5π12-(-π3)=3π4 ，则 T=π ， ∴ω=2ππ=2 ，
∴f(x)=2sin(2x+φ) ，
∵f(-π3)=2sin(-2π3+φ)=-2 ，则 φ-2π3=-π2+2kπ,k∈Z ，
则 φ=π6+2kπ,k∈Z ， ∵|φ|<π2 ， ∴φ=π6 ，
∴f(x)=2sin(2x+π6) ，
∴b=2sinπ6=1 ， a=-π3-T4=-π3-π4=-7π12 ，
令 -π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z ，解得 -π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z ，
f(x) 的递增区间为 [-π3+kπ,π6+kπ],k∈Z
（2）解： ∵f(α)=2sin(2α+π6)=2 ，即 sin(2α+π6)=22 ，
∵α∈[0,π] ， ∴2α+π6∈[π6,13π6] ，
∴2α+π6=π4 或 2α+π6=3π4 ，则 α=π24 或 7π24
18.【答案】 解：（Ⅰ）
2x+π6
0
π2
π
3π2
2π
x
-π12
π6
5π12
2π3
11π12
y
1
3
1
-1
1
图象如下：
（II）观察图象可得出，
对称中心的坐标为： (kπ2-π12,1) ， k∈Z ，
对称轴方程为： x=kπ2+π6 ， k∈Z
19.【答案】 （1）解：因为 f(x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx1+tanx1-tanx =(sinx+cosx)2(cosx-sinxcosx+sinx)
=cos2x-sin2x=cos2x .
所以 T=2π2=π
（2）解：将 y=f(x) 的横坐标变为原来的 2π 倍后得到 y=cosπx ，
再将 y=cosπx 向右平移 14 个长度单位得到 g(x)=cos(πx-π4) ，
当 x∈(0,a) 时， πx-π4∈(-π4,πa-π4) ，因为 g(x) 恰有唯一零点和两个极值点，
所以 {πa-π4>ππa-π4≤3π2 ，
所以 54
因为 f(x) 的相邻两个零点差的绝对值为 π4 ，则 T2=π4 ，即 T=π2 ，
所以 2πω=π4 ，所以 ω=4
（2）解：由（1）得， f(x)=2sin(4x+π3) ，所以 g(x)=2sin(x+π6) ，
令 2kπ-π2⩽x+π6⩽2kπ+π2(k∈Z) ，即 2kπ-2π3⩽x⩽2kπ+π3 时，
函数 g(x) 单调递增，
所以函数 g(x) 的单调递增区间为 [2kπ-2π3,2kπ+π3](k∈Z)
21.【答案】 （1）解：由题意函数 f(x)=3sin(ωx+φ)+2cos2ωx+φ2-1
=3sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ+π6) ，
因为函数 f(x) 图象的相邻两个最高点的距离为 π ，
所以 T=π ，可得 ω=2 ．
又由函数 f(x) 为偶函数可得 f(0)=2sin(φ+π6)=±2 ，
所以 φ+π6=kπ+π2 ， k∈Z ，则 φ=kπ+π3 ， k∈Z ．
因为 0<φ<π ，所以 φ=π3 ，所以函数 f(x)=2cos2x ，
令 2kπ-π≤2x≤2kπ ， k∈Z ，解得 kπ-π2≤x≤kπ ， k∈Z ，
当 k=0 时， -π2≤x≤0 ；当 k=1 时， π2≤x≤π ，又 x∈[-π6,5π6] ，
可得函数 f(x) 的单调递增区间为 [-π6,0] 和 [π2,5π6]
（2）解：将函数 f(x) 的图象向右平移 π6 个单位长度可得 y=2cos(2x-π3) 的图象，再把各点的横坐标缩小为原来的 12 ，得到函数 g(x)=2cos(4x-π3) 的图象，
当 x∈[-π12,π6] 时， 4x-π3∈[-2π3,π3] ．
当 4x-π3=-2π3 ，即 x=-π12 时，
函数 g(x) 取得最小值，最小值为 -1 ；
当 4x-π3=0 ，即 x=π12 时，
函数 g(x) 取得最大值，最大值为2．
所以函数 g(x) 在区间 [-π12,π6] 上的最大值是 ，最小值是-1
22.【答案】 （1）解：由 f(x+π)=f(x) ，知函数 f(x) 的周期为π ，
所以 T=2πω=π ，即 ω=2 .
由 f(π3+x)=f(π3-x) ，知函数 f(x) 的图象关于 x=π3 对称
所以 sin(2×π3+φ)=±1 ，即 2π3+φ=kπ+π2,k∈Z ，
所以 φ=kπ-π6,k∈Z .
因为 |φ|<π2 ，所以 φ=-π6 ，
所以 f(x)=sin(2x-π6)
（2）解：方案①：
将 y=sinx 的图象向右平移 π6 个单位后，得到 y=sin(x-π6) 的图象；再将图象上所有点的横坐标变为原来的 12 ，纵坐标不变，得到 y=sin(2x-π6) 的图象
方案②：
将 y=sinx 图象上所有点的横坐标变为原来的 12 ，纵坐标不变，得到 y=sin2x 的图象；再将所得图象向右平移 π12 个单位，得到得到 y=sin(2x-π6) 的图象
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