高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式习题

人教A版2019必修一2.2基本不等式同步练习

一、单选题

1.若 且 ，则下列不等式中恒成立的是（    ）           

A.                           B.        C.                            D.   

2.已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（    ）           

A. 15                                   B.                                    C. 16                                   D. 

3.已知正数 ， 满足 ，则 的最小值（    ）           

A. 6                                    B.                                     C. 10                                    D.   

4.已知正数 、 满足 ，则 有（    ）           

A. 最小值                          B. 最小值                          C. 最大值                          D. 最大值

5.已知： ，且 ，则 取到最小值时， （    ）           

A. 9                                           B. 6                                           C. 4                                           D. 3

6.若正数 满足 ,则 的最小值是（    ）           

A.                                          B.                                          C. 5                                         D. 6

7.若 ， ，把 ， ， 中最大与最小者分别记为 和 ，则（    ）           

A.  ，                                        B.  ，
C.  ，                                    D.  ，

8.函数 的最小值是(    )           

A. 2                                           B. 4                                           C. 6                                           D. 8

二、多选题

9.已知 且 ，则下列结论正确的是（     ）           

A.                      B.              

   C.                         D. 

10.已知 为非零实数，则下列不等式正确的是（    ）           

A.                      B.                     

 C.                      D. 

11.若 ， ，且 ，则下列不等式恒成立的是（    ）           

A.                        B.        C.                            D.   

12.下列各结论正确的是（    ）           

A. “xy>0”是“ >0”的充要条件          B.  的最小值为2
C. 命题“∀x>1，x2-x>0”的否定是“∃x≤1，x2-x≤0”
D. “一元二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1，0)”是“a+b+c=0”的充要条件

三、填空题

13.已知 ， 且 ，则 的最小值为________.   

14.周长为12的矩形，其面积的最大值为________；   

15.当 时， 的最小值为________.   

16.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．   

四、解答题

17.      

（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？   

（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？   

18.已知   ，   ，   .   

（1）求   的最小值；   

（2）求   的最小值.   

19.已知 ， ，且 ．   

（1）求 的最小值；   

（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．   

20.  （1）若正实数 满足 ，求 的最小值；   

（2）求函数 的最小值.   

21.已知正数x，y满足 ，且 的最小值为k．   

（1）求k．   

（2）若a，b，c为正数，且 ，证明： ．   

22.  （1）若 是正常数， ，求证：   (当且仅当 时等号成立)．   

（2）求函数 的最小值，并求此时 的值．   

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 B  

【解】对于A，因为 ，所以 ，所以A不正确；

对于B，若 ，由 ，得 ，

所以

当且仅当 时，等号成立，所以B符合题意；

对于C，因为 ，由 ，所以 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，所以C不正确；

对于D，由上面可知 ，则 ，得 ，所以D不正确；

故答案为：B

 2.【答案】 D  

【解】正实数 ， 满足 ，

则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为 .

故答案为：D.

 
3.【答案】 D  

【解】因为 ，所以

所以 ，当且仅当 ， 时取等.

故答案为：D

4.【答案】 C  

【解】∵正数 、 满足 ，

∴ ，当且仅当 时取等号，即 有最大值 ，

故答案为：C.

5.【答案】 B  

【解】因为 ，且 ，

所以 ，

当且仅当 ，即 时，取等号，

所以 ，

故答案为：B

 
6.【答案】 C  

【解】 ，当且仅当 时等号成立

故答案为：C

 
7.【答案】 A  

【解】因为 ， ，所以取 ， ，

可以验证最大者为a+b，其次为 ，最小者为 .

故答案为：A

 
8.【答案】 C  

【解】因为 ，

所以 ，

取等号时 ，即 ，

所以 .

故答案为：C.

二、多选题

9.【答案】 A,C  

【解】由 得： ， ，∴ ，故答案为：项A符合题意；

由 得： ， ，∴ ，故答案为：项B不符合题意；

由 得： ，故答案为：项C符合题意；

由 得： ，故答案为：项D不符合题意.

故答案为：AC．

10.【答案】 B,C  

【解】对于 ，当 时， ，故 不正确；

对于 ， ，即 ，故 正确；

对于 ， ，即 ，故 正确；

对于 ，当 异号时， ，故 不正确.

故答案为：BC

11.【答案】 B,C,D  

【解】因为 ， ，

所以 ，

所以A不符合题意，BD对；

因为 ，

则 ，

化为： ，当且仅当 时取等号，C对．

故答案为：BCD．

 
12.【答案】 A,D  

【解】xy>0⇔ >0，A符合题意;

y= ，令t= ≥3，则y=t+ ，且在区间[3，+∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大，最小值为3+ ，B不符合题意;

命题“∀x>1，x2-x>0”的否定是“∃x>1，x2-x≤0”，C不符合题意;

二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1，0)显然有a+b+c=0，反之亦可，D符合题意.

故答案为：AD

三、填空题

13.【答案】   

【解】因为 ， 且 ，

所以 ，当且仅当 ，即

或 时等号成立．

故答案为： ．

 
14.【答案】 9  

【解】设矩形的长、宽分别为 ，则 ，即 ，矩形面积为 ，当 时，面积的最大值为9，所以答案为9.

15.【答案】 3  

【解】由 ，可得 ，则 ，

当且仅当 时，即 等号成立，

所以 的最小值为3.

故答案为：3.

16.【答案】 30  

解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x≥4×2× =240（万元）．

当且仅当x=30时取等号．

故答案为：30．

四、解答题

17（1）解：设两个正数为a，b 

，则 ，当且仅当 等号成立，

即a=b=6时，它们的和最小，为12.

（2）解： ，则 当且仅当 等号成立  

 即a=b=9时，它们的积最大，为81.

18.（1）解：由   ，得   ,又   ，   ，故 ,  

故 ，当且仅当 即 时等号成立，∴

（2）解：由2 ,得 ,则    .当且仅当 即 时等号成立.∴   

19.（1）解：因为 ， ，  

所以 ，

当且仅当 ，即 ， 时取等号，

所以 的最小值为9．

（2）解：因为 ， ，  

所以 ，

所以 ．

因为 恒成立，

所以 ，

解得 ，

所以 的取值范围为 ．

20.（1）解：因为正实数 满足 ；  

所以 ，

所以 ，

当且仅当 ，即 时取等号，

所以 的最小值是9.

（2）解： ，  

当且仅当 ，即 时，取等号.

所以函数 的最小值是9.

21.（1）解：正数x，y，且 ，所以 ，  

又因为 ， ，所以 ，当且仅当 时取等号，

，故 ；
（2）解：证明：由（1）得 ，因为a，b，c为正数，所以 ①，当且仅当 时取等号，  

同理可得 ②，当且仅当 时取等号，

③，当且仅当 时取等号，

①+②+③得   ，当且仅当 时取等号．  

22.（1）解：      

，当且仅当 时，即 时等号成立.

（2）解： ，当且仅当 时，即 时等号成立.