高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式精品当堂检测题

A级　基础巩固

一、选择题

1．设a，b满足2a＋3b＝6(a＞0，b＞0)，则＋的最小值为(　A　)

A． B．

C． D．4

[解析]　∵2a＋3b＝6，∴＋＝1，

∴＋＝(＋)(＋)＝＋＋≥＋2＝＋2＝，

当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．

2．函数f(x)＝的最大值为(　B　)

A． B．

C． D．1

[解析]　令t＝(t≥0)，则x＝t2，∴f(x)＝＝．

当t＝0时，f(x)＝0；

当t>0时，f(x)＝＝．

∵t＋≥2，∴0<≤.∴f(x)的最大值为．

3．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)(　A　)

A．有最大值 B．有最小值

C．是增函数 D．是减函数

[解析]　∵x<0，∴f(x)＝2x＋－1

≤－2－1

＝－2－1，

等号在－2x＝，即x＝－时成立．

∴f(x)有最大值．

二、填空题

4．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是__[，＋∞)__．

[解析]　令f(x)＝(x>0)

＝≤＝，

当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，

∴a≥f(x)max＝．

5．已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为__9__．

[解析]　因为x，y为正数，且x＋2y＝2，所以＝(＋)·(＋y)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝4y＝时，等号成立，所以的最小值为9．

三、解答题

6．已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm，求面积最大时斜边的长．

[解析]　设一条直角边长为x cm，(0<x<10)，则另一条直角边长为(10－x)cm，

面积s＝x(10－x)≤[]2＝(cm2)

等号在x＝10－x即x＝5时成立，

∴面积最大时斜边长L＝＝

＝5(cm)．

B级　素养提升

一、选择题

1．若0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b,2，2ab，a2＋b2中最大的一个是(　D　)

A．a2＋b2 B．2

C．2ab D．a＋b

[解析]　解法一：∵0<a<1,0<b<1，

∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，

∴a＋b>a2＋b2，故选D．

解法二：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大．

2．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　B　)

A．x＝ B．x≤

C．x＞ D．x≥

[解析]　∵这两年的平均增长率为x

∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，

∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a＞0，b＞0．

∴1＋x＝≤

＝1＋，∴x≤，

等号在1＋a＝1＋b即a＝b时成立．∴选B．

二、填空题

3．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝__3__．

[解析]　y＝x－4＋＝x＋1＋－5，

因为x>－1，所以x＋1>0，>0，

所以由均值不等式得y＝x＋1＋－5

≥2－5＝1，

当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3．

4．已知x＜，则函数y＝4x－2＋的最大值是__1__．

[解析]　∵x＜，∴4x－5＜0，y＝4x－2＋

＝4x－5＋＋3＝3－

≤3－2＝1，

等号在5－4x＝，即x＝1时成立．

三、解答题

5．已知：a>0，b>0，a＋b＝1，求(a＋)2＋(b＋)2的最小值．

[解析]　(a＋)2＋(b＋)2

＝a2＋b2＋＋＋4＝(a2＋b2)(1＋)＋4

＝(1－2ab)(1＋)＋4，

∵a>0，b>0，a＋b＝1，

∴ab≤()2＝，

∴1－2ab≥1－＝，且≥16，1＋≥17．

∴原式≥×17＋4＝(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，∴(a＋)2＋(b＋)2的最小值是．

C级　能力拔高

1．求函数y＝1－2x－的值域．

[解析]　y＝1－2x－＝1－(2x＋)．

①当x>0时，2x＋≥2＝2．

当且仅当2x＝，即x＝时取等号．

∴y＝1－(2x＋)≤1－2．

②当x<0时，y＝1＋(－2x)＋(－)．

∵－2x＋(－)≥2＝2．

当且仅当－2x＝－时，即x＝－时取等号．

∴此时y＝1－2x－≥1＋2

综上知y∈(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞)．

∴函数y＝1－2x－的值域为(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞)．

2．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x台(x是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．

[解析]　设总费用为y元(y＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k，则y＝×400＋k(2 000x)，依条件，当x＝400时，y＝43 600，可得k＝5%，

故有y＝＋100x

≥2＝24 000(元)．

当且仅当＝100x，即x＝120时取等号．

所以只需每批购入120台，可使资金够用．