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高中数学人教版新课标B必修43.1.3两角和与差的正切随堂练习题
展开这是一份高中数学人教版新课标B必修43.1.3两角和与差的正切随堂练习题,共8页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题
1.若tan(eq \f(π,4)-α)=3,则ctα等于( )
A.-2 B.-eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2) D.2
[答案] A
[解析] ∵tan(eq \f(π,4)-α)=eq \f(1-tanα,1+tanα)=3,
∴tanα=-eq \f(1,2),∴ctα=-2.
2.设tanα、tanβ是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(α+β)的值为( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
[答案] A
[解析] 由已知,得tanα+tanβ=3,tanα·tanβ=2,
∴tan(α+β)=eq \f(tanα+tanβ,1-tanαtanβ)=eq \f(3,1-2)=-3.
3.若tan28°tan32°=m,则tan28°+tan32°=( )
A.eq \r(3)m B.eq \r(3)(1-m)
C.eq \r(3)(m-1) D.eq \r(3)(m+1)
[答案] B
[解析] tan28°+tan32°=tan(28°+32°)(1-tan28°tan32°)
=tan60°(1-tan28°tan32°)
=eq \r(3)(1-m).
4.tan20°+tan40°+eq \r(3)tan20°·tan40°的值为( )
A.-eq \r(3) B.eq \r(3)
C.3 D.eq \f(\r(3),3)
[答案] B
[解析] 原式=tan60°(1-tan20°tan40°)+eq \r(3)tan20°·tan40°=tan60°=eq \r(3).
5.已知tanα=eq \f(1,3),tanβ=-2,则ct(α-β)的值为( )
A.eq \f(1,7) B.-eq \f(1,7)
C.1 D.-1
[答案] A
[解析] ct(α-β)=eq \f(1,tanα-β)=eq \f(1+tanαtanβ,tanα-tanβ)=eq \f(1,7).
故选A.
6.已知α+β=eq \f(3π,4),则(1-tanα)(1-tanβ)的值等于( )
A.2 B.-2
C.1 D.-1
[答案] A
[解析] ∵tan(α+β)=eq \f(tanα+tanβ,1-tanα·tanβ)=-1,
∴tanα+tanβ=tanα·tanβ-1,
∴原式=1-tanα-tanβ+tanαtanβ=2.
二、填空题
7.若sinα=eq \f(4,5),tan(α+β)=1,α为第二象限角,则tanβ=________.
[答案] -7
[解析] ∵sinα=eq \f(4,5),α为第二象限角,
∴csα=-eq \f(3,5),tanα=-eq \f(4,3),
tanβ=tan[(α+β)-α]=eq \f(tanα+β-tanα,1+tanα+βtanα)
=eq \f(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,3))),1+1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,3))))=-7.
8.已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(β,2)))=eq \f(1,2),taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(α,2)))=-eq \f(1,3),则taneq \f(α+β,2)=________.
[答案] eq \f(1,7)
[解析] taneq \f(α+β,2)=taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(β,2)))+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(α,2)))))
=eq \f(\f(1,2)+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,3))),1-\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,3))))=eq \f(1,7).
三、解答题
9.求下列各式的值:
(1)eq \f(tan70°-tan10°+tan120°,tan70°tan10°);
(2)tan50°-tan20°-eq \f(\r(3),3)tan50°tan20°.
[解析] (1)原式
=eq \f(tan70°-10°1+tan70°tan10°-\r(3),tan70°tan10°)
=eq \f(\r(3)+\r(3)tan70°tan10°-\r(3),tan70°tan10°)=eq \r(3).
(2)tan50°-tan20°-eq \f(\r(3),3)tan50°tan20°
=tan(50°-20°)(1+tan50°tan20°)-eq \f(\r(3),3)tan50°tan20°
=tan30°(1+tan50°tan20°)-eq \f(\r(3),3)tan50°tan20°
=eq \f(\r(3),3)+eq \f(\r(3),3)tan50°tan20°-eq \f(\r(3),3)tan50°tan20°=eq \f(\r(3),3).
10.(2015·广东文,16改编)已知tan α=2.
(1)求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))的值;
(2)求eq \f(sin 2α,sin2 α+sin αcs α-2cs 2α)的值.
[解析] (1) taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))=eq \f(tan α+tan\f(π,4),1-tan αtan\f(π,4))=eq \f(tan α+1,1-tan α)=eq \f(2+1,1-2)=-3,
(2) eq \f(sin 2α,sin2α+sin αcs α-2cs 2α)
=eq \f(2sin αcs α,sin2α+sin αcs α-2cs2α)
=eq \f(2tan α,tan2α+tan α-2)
=eq \f(2×2,22+2-2)
=1.
一、选择题
1.已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)),sinα=eq \f(3,5),则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))等于( )
A.eq \f(1,7) B.7
C.-eq \f(1,7) D.-7
[答案] A
[解析] 由于α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)),sinα=eq \f(3,5),
∴csα=-eq \f(4,5),tanα=eq \f(sinα,csα)=-eq \f(3,4).
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))=eq \f(1+tanα,1-tanα)=eq \f(1-\f(3,4),1+\f(3,4))=eq \f(1,7),故选A.
2.eq \f(ct70°tan-50°-1,tan20°-tan50°)的值是( )
A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3),3)
C.-eq \f(\r(3),3) D.-eq \r(3)
[答案] A
[解析] 原式=eq \f(-tan20°·tan50°-1,tan20°-tan50°)
=-eq \f(1,\f(tan20°-tan50°,1+tan20°·tan50°))=-eq \f(1,tan20°-50°)
=-eq \f(1,-tan30°)=eq \r(3).
3.(1+tan21°)(1+tan22°)(1+tan23°)(1+tan24°)的值为( )
A.16 B.8
C.4 D.2
[答案] C
[解析] (1+tan21°)(1+tan24°)
=1+tan21°+tan24°+tan21°tan24°
=1+tan(21°+24°)(1-tan21°tan24°)+tan21°tan24°
=1+1-tan21°tan24°+tan21°tan24°=2,
同理(1+tan22°)(1+tan23°)=2,
故原式=4.
4.已知tanα、tanβ是方程x2-eq \r(3)x+4=0的两个根,且-eq \f(π,2)<α
C.eq \f(π,6)或-eq \f(5π,6) D.-eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
[答案] B
[解析] 由韦达定理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tanα+tanβ=\r(3),tanα·tanβ=4)),
∴tanα>0,tanβ>0,
∵α∈(0,eq \f(π,2)),β∈(0,eq \f(π,2)),
∴α+β∈(0,π).
又tan(α+β)=eq \f(tanα+tanβ,1-tanαtanβ)=eq \f(\r(3),1-4)=-eq \f(\r(3),3),
∴α+β=eq \f(5π,6).
二、填空题
5.若tanα=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)的值为________.
[答案] eq \f(1,7)
[解析] tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]
=eq \f(tanβ-α-tanα,1+tanβ-α·tanα)=eq \f(3-2,1+3×2)=eq \f(1,7).
6.已知点P(sineq \f(3π,4),cseq \f(3π,4))落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则tan(θ+eq \f(π,3))的值为________.
[答案] 2-eq \r(3)
[解析] ∵sineq \f(3π,4)=eq \f(\r(2),2),cseq \f(3π,4)=-eq \f(\r(2),2),
∴点P的坐标为P(eq \f(\r(2),2),-eq \f(\r(2),2)).
∴tanθ=eq \f(y,x)=-1.
∴tan(θ+eq \f(π,3))=eq \f(tanθ+tan\f(π,3),1-tanθtan\f(π,3))
=eq \f(tanθ+\r(3),1-\r(3)tanθ)=eq \f(-1+\r(3),1+\r(3))=2-eq \r(3).
三、解答题
7.求证:tan(α+β)-tan(α-β)-tan2β=tan(α+β)·tan(α-β)·tan2β.
[解析] ∵tan2β=tan[(α+β)-(α-β)]
=eq \f(tanα+β-tanα-β,1+tanα+β·tanα-β),
∴tan2β[1+tan(α+β)·tan(α-β)]
=tan(α+β)-tan(α-β),
∴tan2β+tan(α+β)·tan(α-β)·tan2β
=tan(α+β)-tan(α-β),
∴tan(α+β)-tan(α-β)-tan2β
=tan(α+β)·tan(α-β)·tan2β.
8.已知tanA与tan(-A+eq \f(π,4))是方程x2+px+q=0的根,且3tanA=2tan(eq \f(π,4)-A),求p与q的值.
[解析] 设t=tanA,则tan(eq \f(π,4)-A)=eq \f(1-tanA,1+tanA)=eq \f(1-t,1+t),
∴3tanA=2tan(eq \f(π,4)-A),
∴3t=eq \f(21-t,1+t),解得t=eq \f(1,3)或t=-2.
当t=eq \f(1,3)时,有tan(eq \f(π,4)-A)=eq \f(1-t,1+t)=eq \f(1-\f(1,3),1+\f(1,3))=eq \f(1,2),
∴p=-[tanA+tan(eq \f(π,4)-A)]=-(eq \f(1,3)+eq \f(1,2))=-eq \f(5,6),
q=tanAtan(eq \f(π,4)-A)=eq \f(1,3)×eq \f(1,2)=eq \f(1,6).
当t=-2时,有tan(eq \f(π,4)-A)=eq \f(1-t,1+t)=-3,
∴p=-[tanA+tan(eq \f(π,4)-A)]
=-[(-2)+(-3)]=5,
q=tanAtan(eq \f(π,4)-A)=(-2)×(-3)=6.
综上可知,p=-eq \f(5,6),q=eq \f(1,6)或p=5,q=6.
9. 在锐角△ABC中,
(1)求证:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;
(2)化简:taneq \f(A,2)taneq \f(B,2)+taneq \f(B,2)taneq \f(C,2)+taneq \f(C,2)taneq \f(A,2).
[解析] (1)∵A+B+C=π,∴A+B=π-C,
∴tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC.
∴tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=-tanC(1-tanAtanB)+tanC
=-tanC+tanAtanBtanC+tanC
=tanAtanBtanC.
(2)∵A+B+C=π,∴eq \f(B+C,2)=eq \f(π,2)-eq \f(A,2),
∵taneq \f(B+C,2)=tan(eq \f(π,2)-eq \f(A,2))=cteq \f(A,2).
∴原式=taneq \f(A,2)(taneq \f(B,2)+taneq \f(C,2))+taneq \f(B,2)·taneq \f(C,2)
=taneq \f(A,2)taneq \f(B+C,2)(1-taneq \f(B,2)taneq \f(C,2))+taneq \f(B,2)·taneq \f(C,2)
=taneq \f(A,2)tan(eq \f(π,2)-eq \f(A,2))(1-taneq \f(B,2)taneq \f(C,2))+taneq \f(B,2)taneq \f(C,2)=taneq \f(A,2)cteq \f(A,2)(1-taneq \f(B,2)taneq \f(C,2))+taneq \f(B,2)taneq \f(C,2)
=1-taneq \f(B,2)taneq \f(C,2)+taneq \f(B,2)taneq \f(C,2)=1.
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