人教版新课标A必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式精练

3.1.3两角和与差的正切公式

一、选择题

1．在△ABC中，若0<tanBtanC<1，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形　　　　　

B．钝角三角形

C．直角三角形 

D．形状不能确定

[答案]　B

[解析]　∵0<tanBtanC<1，∴B，C均为锐角，

∴<1，∴cos(B＋C)>0，

∴cosA<0，∴A为钝角．

[点评]　也可用两角和的正切公式判断：由条件知，tanB>0，tanC>0，∴tan(B＋C)＝>0.

∴B＋C为锐角，从而A为钝角．

2．给出下列三个等式f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(x＋y)＝，下列函数中不满足其中任何一个等式的是(　　)

A．f(x)＝3x 

B．f(x)＝sinx

C．f(x)＝log2x 

D．f(x)＝tanx

[答案]　B

[解析]　对选项A，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，

对选项C，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，

对选项D，满足f(x＋y)＝，故选B.

3．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于(　　)

A．1 

B．2

C．tan10° 

D.tan20°

[答案]　A

[解析]　∵tan(20°＋10°)＝，

∴tan20°＋tan10°＝tan30°(1－tan20°tan10°)，

∴原式＝tan10°tan20°＋tan30°(1－tan20°·tan10°)

＝tan10°·tan20°＋1－tan20°·tan10°＝1.

4．已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为(　　)

A. 

B．－

C.或－ 

D．－或

[答案]　B

[解析]　由韦达定理得

tanα＋tanβ＝－3，tanα·tanβ＝4，

∴tanα<0，tanβ<0，

∴tan(α＋β)＝＝＝

又－<α<，－<β<，且tanα<0，tanβ<0

∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.

[点评]　由tanα与tanβ的和与积，先判断tanα与tanβ的符号，可进一步限定角α、β的取值范围．请再做下题：

已知tanα、tanβ是方程x2＋x－2＝0的两个根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值是(　　)

A．－ 

B．－

C.或－ 

D．－或

[答案]　A

[解析]　由韦达定理得，

tanα与tanβ一正一负，不妨设tanα>0，tanβ<0，则0<α<，－<β<0，∴－<α＋β<，

又tan(α＋β)＝＝－.∴α＋β＝－.

5．设α和β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是(　　)

A．tanα·tanβ<1 

B．sinα＋sinβ<

C．cosα＋cosβ>1 

D.tan(α＋β)<tan

[答案]　D

[解析]　取特例，令α＝β＝可得，

tan(α＋β)＝，tan＝，

∴tan(α＋β)>tan，∴D不正确．

6.的值为(　　)

A．2＋ 

B.

C．2－ 

D.

[答案]　C

[解析]　sin6°＝sin(15°－9°)＝sin15°cos9°－cos15°sin9°，

cos6°＝cos(15°－9°)＝cos15°cos9°＋sin15°sin9°，

∴原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝＝2－，故选C.

7．已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为(　　)

A.　　　

B.　　　

C.　　　

D.

[答案]　B

[解析]　∵α是锐角，cosα＝，故sinα＝，tanα＝

∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝.

8．在△ABC中，若tanB＝，则这个三角形是(　　)

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰三角形或直角三角形

[答案]　B

[解析]　因为△ABC中，A＋B＋C＝π，

所以tanB＝

＝＝，

即＝，∴cos(B＋C)＝0，

∴cos(π－A)＝0，∴cosA＝0，∵0<A<π，∴A＝，

∴这个三角形为直角三角形，故选B.

9．已知sinα＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是(　　)

A．－7 

B．7

C．－ 

D.

[答案]　B

[解析]　由sinα＝，α为第二象限角，得cosα＝－，

则tanα＝－.

∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]

＝＝＝7.

10．若a＝tan20°，b＝tan60°，c＝tan100°，则＋＋＝(　　)

A．－1 

B．1

C．－ 

D.

[答案]　B

[解析]　∵tan(20°＋100°)＝，

∴tan20°＋tan100°＝－tan60°(1－tan20°tan100°)，即

tan20°＋tan60°＋tan100°＝tan20°·tan60°·tan100°，

∴＝1，

∴＋＋＝1，选B.

二、填空题

11．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________．

[答案]　

[解析]　tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]

＝＝＝.

12．化简＝________.

[答案]　tan42°

[解析]　原式＝＝tan(60°－18°)＝tan42°.

13．已知tan＝，tan＝－，则tan＝________.

[答案]　

[解析]　tan＝tan

＝＝.

14．不查表求值：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝______.

[答案]　1

[解析]　tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°

＝tan(15°＋30°)(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°

＝tan45°(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°

＝1－tan15°tan30°＋tan15°tan30°＝1.

三、解答题

15．化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋[tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]．

[分析]　对本题进行观察，发现它有两个特征：一个特征是该三角式的前半段是两个角正切函数的积，而后半段是这两个角正切函数的和的倍数；另一个特征是这两个角的和(18°－x)＋(12°＋x)＝30°，而30°是特殊角，根据这两个特征，很容易联想到正切的和角公式．

[解析]　∵tan[(18°－x)＋(12°＋x)]

＝＝tan30°＝

∴tan(18°－x)＋tan(12°＋x)

＝[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]

于是原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋·[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝1.

16．设tanα，tanβ是方程ax2－(2a＋1)x＋(a＋2)＝0的两根，求证：tan(α＋β)的最小值是－.

[解析]　由tanα，tanβ是方程的两根得

⇒a≤且a≠0，

又，

∴tan(α＋β)＝＝

＝－－a≥－－＝－.

∴tan(α＋β)的最小值是－.

17．是否存在锐角α、β，使得(1)α＋2β＝，(2)tan·tanβ＝2－同时成立？若存在，求出锐角α、β的值；若不存在，说明理由．

[解析]　假设存在锐角α、β，使得(1)α＋2β＝，(2)tan·tanβ＝2－同时成立．

由(1)得＋β＝，

所以tan＝＝.

又tantanβ＝2－，所以tan＋tanβ＝3－.

因此tan，tanβ可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根．解得：x1＝1，x2＝2－.

若tan＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾．

所以tan＝2－，tanβ＝1，所以α＝30°，β＝45°.

所以满足条件的α、β存在，且α＝30°，β＝45°.