高中数学人教版新课标B必修4第三章 三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1两角和与差的余弦当堂检测题
展开第三章 3.1 3.1.1
一、选择题
1.cos75°cos15°-sin435°sin15°的值是( )
A.0 B.
C. D.-
[答案] A
[解析] cos75°cos15°-sin435°sin15°
=cos75°cos15°-sin(360°+75°)sin15°
=cos75cos15°-sin75°sin15°
=cos(75°+15°)=cos90°=0.
2.在△ABC中,若sinAsinB<cosAcosB,则△ABC一定为( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
[答案] D
[解析] ∵sinAsinB<cosAcosB,
∴cosAcosB-sinAsinB>0,
∴cos(A+B)>0,
∵A、B、C为三角形的内角,
∴A+B为锐角,
∴C为钝角.
3.下列结论中,错误的是( )
A.存在这样的α和β的值,使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
B.不存在无穷多个α和β的值,使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
C.对于任意的α和β,有cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
D.不存在这样的α和β的值,使得cos(α+β)≠cosαcosβ-sinαsinβ
[答案] B
[解析] 当α、β的终边都落在x轴的正半轴上或都落在x轴的负半轴上时,cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立,故选项B是错误的.
4.在锐角△ABC中,设x=sinAsinB,y=cosAcosB,则x、y的大小关系是( )
A.x≥y B.x≤y
C.x>y D.x<y
[答案] C
[解析] y-x=cos(A+B),在锐角三角形中<A+B<π,y-x<0,即x>y.
5.化简sin(x+y)sin(x-y)+cos(x+y)cos(x-y)的结果是( )
A.sin2x B.cos2y
C.-cos2x D.-cos2y
[答案] B
[解析] 原式=cos[(x+y)-(x-y)]=cos2y.
6.△ABC中,cosA=,且cosB=,则cosC等于( )
A.- B.
C.- D.
[答案] B
[解析] 由cosA>0,cosB>0知A、B都是锐角,
∴sinA==,sinB==,
∴cosC=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)
=-=.
二、填空题
7.若cosα=,α∈(0,),则cos(α+)=________.
[答案]
[解析] ∵cosα=,α∈(0,),
∴sinα=.
∴cos(α+)=cosαcos-sinαsin=×-×=.
8.已知cos(-α)=,则cosα+sinα的值为________.
[答案]
[解析] cos(-α)=coscosα+sinsinα
=cosα+sinα
=(cosα+sinα)=,
∴cosα+sinα=.
三、解答题
9.已知cosα=,sin(α-β)=,且α、β∈(0,).
求:cos(2α-β)的值.
[解析] ∵α、β∈(0,),
∴α-β∈(-,),
∴sinα==,
cos(α-β)==,
∴cos(2α-β)=cos[α+(α-β)]
=cosαcos(α-β)-sinαsin(α-β)
=×-×=.
10. 已知sinα+sinβ=,cosα+cosβ=,求cos(α-β)的值.
[解析] 将sinα+sinβ=,两边平方得,
sin2α+2sinαsinβ+sin2β= ①,
将cosα+cosβ=两边平方得,
cos2α+2cosαcosβ+cos2β= ②,
①+②得2+2cos(α-β)=1,
∴cos(α-β)=-.
一、选择题
1.的值为( )
A.- B.-
C. D.
[答案] D
[解析]
=
=
=cos30°=.
2.在△ABC中,若tanA·tanB>1,则△ABC一定是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
[答案] C
[解析] ∵sinA·sinB>cosA·cosB,
∴cosA·cosB-sinA·sinB<0,
即cos(A+B)<0,
∵A、B、C为三角形的内角,
∴A+B为钝角,∴C为锐角.
又∵tanA·tanB>1,
∴tanA>0,tanB>0,
∴A、B均为锐角,故△ABC为锐角三角形.
3.在锐角△ABC中,设x=sinA·sinB,y=cosA·cosB,则x、y的大小关系为( )
A.x≤y B.x>y
C.x<y D.x≥y
[答案] B
[解析] y-x=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B),
∵△ABC为锐角三角形,
∴C为锐角,∵A+B=π-C,
∴A+B为钝角,
∴cos(A+B)<0,∴y<x.
4.函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为( )
A.[-2,2] B.[-,]
C.[-1,1] D.[-,]
[答案] B
[解析] f(x)=sinx-cos(x+)
=sinx-cosxcos+sinxsin
=sinx-cosx
=(sinx-cosx)
=sin(x-)∈[-,].
二、填空题
5.形如的式子叫做行列式,其运算法则为=ad-bc,则行列式的值是________.
[答案] 0
[解析] =ad-bc,
∴=coscos-sinsin
=cos(+)=cos=0.
6.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tanα·tanβ=________.
[答案] -
[解析] ∵cos(α+β)=,
∴cosαcosβ-sinαsinβ=, ①
∵cos(α-β)=,
∴cosαcosβ+sinαsinβ=, ②
由①②得,
∴tanαtanβ==-.
三、解答题
7.已知cos(α-30°)=,30°<α<90°,求cosα的值.
[解析] ∵30°<α<90°,
∴0°<α-30°<60°.
∵cos(α-30°)=,
∴sin(α-30°)==,
∴cosα=cos[(α-30°)+30°]=cos(α-30°)cos30°-sin(α-30°)sin30°=×-×=.
8.已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(3cosβ,3sinβ),若向量a与b的夹角为60°,求cos(α-β)的值.
[解析] ∵a·b=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos(α-β),
∴|a|=2,|b|=3,
又∵a与b的夹角为60°,
∴cos60°===cos(α-β),
∴cos(α-β)=.
9. 已知函数f(x)=2cos(ωx+)(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值;
(2)设α、β∈[0,],f(5α+)=-,f(5β-)=,求cos(α+β)的值.
[解析] (1)∵T=10π=,∴ω=.
(2)由(1)得f(x)=2cos(x+),
∵-=f(5α+)=2cos[(5α+)+]
=2cos(α+)=-2sinα,
∴sinα=,cosα=.
∵=f(5β-)=2cos[(5β-)+]=2cosβ,
∴cosβ=,sinβ=.
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=-.
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