2021年九年级中考数学备考专题训练：《一次函数的综合》（四）

这是一份2021年九年级中考数学备考专题训练：《一次函数的综合》（四），共27页。
1．一条笔直的公路上有甲、乙两地相距2400米，王明步行从甲地到乙地，每分钟走96米，李越骑车从乙地到甲地后休息2分钟沿原路原速返回乙地设他们同时出发，运动的时间为t（分），与乙地的距离为s（米），图中线段EF，折线OABD分别表示两人与乙地距离s和运动时间t之间的函数关系图象
（1）李越骑车的速度为 米/分钟；F点的坐标为 ；
（2）求李越从乙地骑往甲地时，s与t之间的函数表达式；
（3）求王明从甲地到乙地时，s与t之间的函数表达式；
（4）求李越与王明第二次相遇时t的值．
2．2020年武汉发生新冠肺炎疫情，“一方有难，八方支援”，我省迅速组织一百多名医护志愿者并捐赠一批医疗物资从南昌出发前往湖北随州支援抗疫，南昌、随州两地相距500千米，大巴与货车走同一条路线，图中线段CD和折线OAB分别表示大巴和货车行驶的路程s与行驶时间t之间的关系．根据图象回答下列问题：
（1） 更早出发，早出发 小时；
（2）大巴的速度是 千米/时；
（3）货车出发4小时后，两车相距多少千米？
（4）大巴车出发后，用多长时间追上了货车？
3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，与直线OC交于点C．
（1）求点A，B的坐标．
（2）若点C的坐标为（m，2），求线段AC的长．
（3）若P是x轴上一动点，是否存在点P，使△ABP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A逆时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”，图1为点P关于点A的“垂链点”Q的示意图．
（1）已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“垂链点”为点Q；
①若点P的坐标为（2，0），则点Q的坐标为 ．
②若点Q的坐标为（﹣2，1），则点P的坐标为 ．
（2）如图2，已知点C的坐标为（1，0），点D在直线y＝x+1上，若点D关于点C的“垂链点”在坐标轴上，试求出点D的坐标．
（3）如图3，已知图形G是端点为（1，0）和（0，﹣2）的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M为图形G上的动点，点N为图形H上的动点，若存在点T（0，t），使得点M关于点T的“垂链点”恰为点N，请直接写出t的取值范围．
5．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B．过点E（1，0）且垂直于x轴的直线DE交AB于点D，P是直线DE上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．
（1）求直线AB的解析式和点B的坐标；
（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
（3）当△ABP的面积为2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，求出点C的坐标．
6．如图，直线y＝x+2与x轴交于点A，直线y＝kx+b与x轴交于点B（4，0），这两条直线交于点C（2，n）．
（1）求k和b的值；
（2）若点D是线段BC上一个动点，点D横坐标是m，△ADC面积是S，请求出S与m的函数关系式；
（3）若P点是y轴上一动点，请直接写出△PBC周长最小值及此时P点坐标．
7．如图，一次函数y＝kx+b的图象与直线交于点A（4，3），与y轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求两直线与y轴围成的三角形的面积．
（3）在x轴上是否存在点C，使△AOC是以OA为腰的等腰三角形？若存在，直接写出C的坐标；若不存在，说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（，）和B （2，0），且与y轴交于点D，直线OC与AB交于点C，且点C的横坐标为．
（1）求直线AB的解析式；
（2）连接OA，试判断△AOD的形状；
（3）动点P从点C出发沿线段CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点O出发沿y轴的正半轴以相同的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．
9．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x+6m与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴负半轴上，且OB＝2OC．
（1）求tan∠ACB的值；
（2）把△ABC沿y轴翻折，使点A落在x轴的点D处，点P为线段AC上一点，连接PD交y轴于点E，设点P横坐标为n，△PCD的面积为S，求S与m、n的函数解析式（用含m、n的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，若PD＝BD，点E的纵坐标为﹣1，求直线PD的解析式．
10．甲、乙两车分别从相距480千米的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发后所用的时间x（时）的函数图象如图所示．
（1）求t的值．
（2）求甲车距它出发地的路程y与x之间的函数关系式．
（3）直接写出两车相距120千米时乙车行驶的时间．
参考答案
1．解：（1）由图象可得，
李越骑车的速度为：2400÷10＝240米/分钟，2400÷96＝25，所以F点的坐标为（25，0）．
故答案为：240；（25，0）；
（2）设李越从乙地骑往甲地时，s与t之间的函数表达式为s＝kt，
2400＝10k，得k＝240，
即李越从乙地骑往甲地时，s与t之间的函数表达式为s＝240t，
故答案为：s＝240t；
（3）设王明从甲地到乙地时，s与t之间的函数表达式为s＝kt+2400，根据题意得，
25k+2400＝0，
解得k＝﹣96，
所以王明从甲地到乙地时，s与t之间的函数表达式为：s＝﹣96t+2400；
（4）根据题意得，240（t﹣2）﹣96t＝2400，
解得t＝20．
答：李越与王明第二次相遇时t的值为20．
2．解：（1）观察图象可知：
货车更早出发，早出发1小时；
故答案为：货车，1；
（2）∵线段CD表示大巴行驶的路程s与行驶时间t之间的关系，
∴大巴的速度是：500÷（6﹣1）＝100（千米/时）；
故答案为：100；
（3）观察图象可知：
2小时后货车的速度是：＝70千米/时，
所以货车出发4小时后的行驶路程为：150+2×70＝290千米，
因为大巴车的行驶路程为：3×100＝300千米，
所以货车出发4小时后两车相距：300﹣290＝10千米；
（4）设大巴车出发x小时后追上货车，
依题意得：150+70（x+1﹣2）＝100x，
解得x＝．
∴大巴车出发小时后能追上货车．
3．解：（1）对于y＝﹣2x+4，令y＝﹣2x+4＝0，解得x＝2，令x＝0，则y＝4，
故点A、B的坐标分别为（2，0）、（0，4）；
（2）令y＝﹣2x+4＝2，解得x＝1＝m，
故点C（1，2），
则AC＝＝，
即线段AC的长为；
（3）存在，理由：
设点P（x，0），
由点A、B、P的坐标知，AB2＝22+42＝20，AP2＝（x﹣2）2，BP2＝x2+16，
当AB是斜边时，则20＝（x﹣2）2+x2+16，解得x＝2（舍去）或0；
当AP是斜边时，同理可得x＝﹣8；
当BP是斜边时，同理可得：x＝2（舍去），
故点P的坐标为（0，0）或（﹣8，0）．
4．解：（1）A的坐标为（0，0），即点A是原点，
根据旋转的性质得：①点Q（0，2），点P（1，2），
故答案为：（0，2），（1，2）；
（2）①当点D在第一象限时，
则点D关于点C的“垂链点”在x轴上，点CD⊥x轴，
故点D（1，）；
②当点D在第二象限时，如下图：
设点D（m，m+1），点D′（0，n），
点D的“垂链点”D′在y轴上，
过点D作DH⊥x轴于点H，
∵∠DCH+∠HDC＝90°，∠OCD′+∠DCH＝90°，
∴∠HDC＝∠OCD′，
∵∠DHC＝∠COD′＝90°，DC＝D′C，
∴△DHC≌△COD′（AAS），
则DH＝OC，即：m+1＝1，解得：m＝0，
故点D（0，1），
综上，点D（0，1）或（1，）；
（3）图形G所在直线的表达式为：y＝2x﹣2，
设点M（m，2m﹣2），其中0≤m≤1，
（Ⅰ）当N落在正方形的右边的一条边，
①当T在x轴上方时，如下图：
分别过点M、N作y轴的垂线交于点H′、G′，
同理可证△NG′T≌△TH′M（AAS）
TH′＝G′N，即t﹣（2m﹣2）＝3，
t＝2m+1，而0≤m≤1，且yN≤3，
则1≤t≤；
②当t在x轴下方时，
当﹣3时，点M关于点T的“垂链点”恰为点N在正方形的边上，
故﹣3；
当点T在t＝﹣3下方时，且xN≥﹣3，
同理可得：m＝﹣3﹣t，解得：0＜t≤﹣3；
（Ⅱ）当N落在正方形的上面的一条边时，
同理可得：t＝3﹣m，而0≤m≤1，yN≤3，
解得：﹣≤t≤3，
综上，t的取值范围为：1≤t≤或﹣≤t≤﹣3．
5．解：（1）直线AB：y＝﹣x+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B，则b＝1，
直线AB的表达式为：y＝﹣x+1，
点B（3，0）；
（2）△ABP的面积＝×PD×OB＝×（n+﹣1）＝n﹣1；
（3）①当∠CPB＝90°时，如图1，
过点C作CF⊥DE交DE的延长线于点F，
由点PB的坐标知，直线PB的倾斜角为45°，而∠CPB＝90°，
则∠FPC＝45°，则直线BC∥EF，PB＝2，BC＝4
故点C（3，4）；
②当∠PBC＝90°时，
由①同理可得：直线PC∥x轴，
故点C（5，2）；
③当∠PCB＝90°时，
同理可得：点C（3，2）；
综上，点C的坐标为：（3，4）或（5，2）或（3，2）．
6．解：（1）∵直线y＝x+2过点C（2，n），
∴n＝2+2＝4，
∴C（2，4），
∵直线y＝kx+b过B（4.0），C（2，4），
∴，
解得；
（2）设D坐标是（m，h），
∵D（m，h）在直线y＝﹣2x+8上，
∴h＝﹣2m+8，
∵直线y＝x+2与x轴交于点A，
∴y＝0时x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，
∵S△ADC＝S△ABC﹣S△ABD，
∴S＝×6×4﹣
＝12﹣3h
＝12﹣3（﹣2m+8）
＝6m﹣12；
（3）如图，作出B关于y轴的对称点B′，连接B′C，与y轴的交点即为P点，此时，PB+PC在值最小，
∵B（4，0），
∴B′（﹣4，0），
∴C（2，4），
∴B′C＝＝2，BC＝＝2，
∴△PBC周长最小值为2+2，
设直线B′C的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∵直线B′C的解析式为y＝x+，
令x＝0，则y＝，
∴P点坐标（0，）．
7．解：（1）A（4，3），则OA＝5＝OB，
则一次函数y＝kx+b表达式为：y＝kx﹣5，
将点A的坐标代入上式并解得：k＝2，
故一次函数的表达式为：y＝2x﹣5；
（2）S△AOB＝×OB×xA＝5×4＝10；
（3）设点C坐标为：（m，0），
则OA2＝25，AC2＝（m﹣4）2+9，CO2＝m2，
①当OA＝CO时，即m2＝25，解得：m＝±5；
②当AO＝AC时，同理可得：m＝0（舍去）或8，
③OC＝AC时，同理可得m＝；
故点C的坐标为：（5，0）或（﹣5，0）或（8，0）或（，0）．
8．解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
故直线AB的表达式为：y＝﹣x+2；
（2）直线AB的表达式为：y＝﹣x+2，则点D（0，2），
由点A、B、D的坐标得：AD2＝1，AO2＝3，DO2＝4，
故DO2＝OA2+AD2，
故△AOD为直角三角形；
（3）直线AB的表达式为：y＝﹣x+2，故点C（，1），则OC＝2，
则直线AB的倾斜角为30°，即∠DBO＝30°，则∠ODA＝60°，则∠DOA＝30°
故点C（，1），则OC＝2，
则点C是BD的中点，故∠COB＝∠DBO＝30°，则∠AOC＝30°，∠DOC＝60°，
OQ＝CP＝t，则OP＝OC﹣PC＝2﹣t，
①当OP＝OM时，如图1，
则∠OMP＝∠MPO＝（180°﹣∠AOC）＝75°，故∠OQP＝45°，
过点P作PH⊥y轴于点H，
则OH＝OP＝（2﹣t），
由勾股定理得：PH＝（2﹣t）＝QH，
OQ＝QH+OH＝（2﹣t）+（2﹣t）＝t，
解得：t＝；
②当MO＝MP时，如图2，
则∠MPO＝∠MOP＝30°，而∠QOP＝60°，
∴∠OQP＝90°，
故OQ＝OP，即t＝（2﹣t），
解得：t＝；
③当PO＝PM时，
则∠OMP＝∠MOP＝30°，而∠MOQ＝30°，
而∠MOQ为外角，与所求三角形不存在外角关系，此时M与A重合，P与O重合，Q与D重合，不构成三角形，故这种情况不存在；
综上，t＝或．
9．解：（1）在y＝x+6m中，令y＝0，则x+6m＝0，
解得：x＝﹣3m，
令x＝0，则y＝6m，
∴点A（﹣3m，0），B（0，6m），
∴AO＝3m，OB＝6m，
∵OB＝2OC，
∴OC＝OB＝3m，
在Rt△AOC中，tan∠ACB＝；
（2）由（1）知，tan∠ACB＝，
∴∠ACB＝60°，
∴∠OAC＝30°，
如图2，过P作PH⊥y轴于H，过点D作DN⊥AC于N，
∵点P横坐标为n，
∴PH＝﹣n，
∵PH∥OA，
∴∠HPC＝∠OAC＝30°，
∴cs∠HPC＝＝，
∴PC＝﹣，
在Rt△AND中，DN＝AD•sin∠DAN，
∵把△ABC沿y轴翻折，使点A落在x轴的点D处，
∴AD＝2AO＝6m，
∴DN＝6m×＝3m，
∴S＝PC•DN＝m，
∴S＝﹣3mn；
（3）如图3，延长AC到Q，使CQ＝CB，连接BP，过D作DK∥y轴交CQ于K，
∵∠ACB＝∠BCD＝60°，
∴∠DCQ＝60°，
∴∠BCD＝∠DCQ，
∵CD＝CD，
∴△CBD≌△CQD（SAS），
∴∠CBD＝∠Q，BD＝DQ，
∵BD＝PD，
∴PD＝DQ，
∴∠DPQ＝∠Q，
∴∠DPQ＝∠DBC，
∴点B，P，C，D四点共圆，
∴∠PCB＝∠BDP＝60°，
∵BD＝PD，
∴△PBD为等边三角形，
∵DK∥y轴，
∴∠DKC＝∠ACB＝60°，
∵∠DCK＝60°，
∴△DCK是等边三角形，
∴DK＝CK＝CD＝6m，
∵∠BDP＝∠CDK＝60°，
∴∠BDC＝∠PDK，
∵BD＝PD，CD＝DK，
∴△BDC≌△PDK（SAS），
∴PK＝BC＝9m，
∴PC＝3m，
∵点E的纵坐标为﹣1，
∴OE＝1，
∴CE＝3m﹣1，
∵CE∥DK，
∴，
∴，
∴m＝1，
∴D（3，0），E（0，﹣1），
设直线PD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线PD的解析式为y＝x﹣1．
10．解：（1）（480﹣60）÷60＝420÷60＝7（小时），
t＝＝3，
即t的值是3；
（2）当0≤x≤3时，设y与x的函数关系式为y＝kx，
360＝3k，得k＝120，
即当0≤x≤3时，y与x的函数关系式为y＝120x，
当3＜x≤4时，y＝360，
当4＜x≤7，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，
，得，
即当4＜x≤7，y与x的函数关系式为y＝﹣120x+840，
由上可得，y与x的函数关系式为y＝；
（3）设乙车行驶的时间为m小时时，两车相距120千米，
乙车的速度为60千米/小时，甲车的速度为360÷3＝120（千米/小时），
甲乙第一次相遇前，60+（60+120）×（m﹣1）+120＝480，得m＝，
甲乙第一次相遇之后，60+（60+120）×（m﹣1）＝480+120，得m＝4，
甲车返回A地的过程中，当m＝5时，两车相距120+1×60＝180（千米），
（120﹣60）×（m﹣5）＝180﹣120，
得m＝6，
答：两车相距120千米时乙车行驶的时间是小时、4小时或6小时．