2021年九年级中考数学备考专题训练：《一次函数的综合》（二）

这是一份2021年九年级中考数学备考专题训练：《一次函数的综合》（二），共26页。试卷主要包含了模型建立，已知A、B两地之间有一条公路等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是（4，0），（0，3），（9，0）．过直线AB上的点P作PC的垂线，分别交x，y轴于点E，F．
（1）求直线AB的函数表达式．
（2）如图，点P在第二象限，且是EF的中点，求点P的横坐标．
（3）是否存在这样的点P，使得△APE是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）求出△ABC的面积；
（3）若P（1，m）为坐标系中的一个动点，连结PA，PB．当△ABC与△ABP面积相等时，求m的值．
3．模型建立
（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E．
求证：△BEC≌△CDA．
模型应用
（2）如图2．直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点B顺时针旋转45°至直线l2，求直线l2的函数表达式；
（3）如图3，四边形ABCO为长方形，其中O为坐标原点，点B的坐标为（8，﹣6），点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，点P是线段BC上的动点，点D是直线y＝﹣2x+6上的动点且在第四象限．若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
4．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）求线段CD对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与x轴交于点A（4，0）与y轴交于点B（0，8）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，当四边形PCOD的邻边之比为2：1时，求线段PC的长．
（3）若点Q是平面内任意一点，是否存在以A，O，B，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
6．《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》于2019年12月起施行．某社区要投放A，B两种垃圾桶，负责人小李调查发现：
若购买A种垃圾桶80个，B种垃圾桶120个，则共需付款6880元；若购买A种垃圾桶100个，B种垃圾桶100个，则共需付款6150元．
（1）求A，B两种垃圾桶的单价各为多少元？
（2）若需要购买A，B两种垃圾桶共200个，且B种垃圾桶不多于A种垃圾桶数量的，如何购买使花费最少，最少费用为多少元？请说明理由．
7．如图的图象表示斑马和长颈鹿的奔跑情况．根据图象回答问题：
（1）斑马的奔跑路程与奔跑时间是否成正比例？长颈鹿呢？
（2）斑马和长颈鹿10分钟各跑多少千米？
（3）斑马跑得快还是长颈鹿跑得快？第15分钟它们相距多少千米？
8．已知A、B两地之间有一条公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车的速度为 千米/时，a的值为 ．
（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距120千米时，求甲车行驶的时间．
9．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（1）请直接写出直线l的表达式；
（2）求出△ABC的面积；
（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．
10．一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，其中O为原点，点A、B分别在x轴、y轴上，D为射线OB上任意一点．
（1）如图1，若点D坐标为（0，2），连接AD交OC于点E，则△AOE的面积为 ；
（2）如图2，将△AOD沿AD翻折得△AED，若点E在直线y＝x图象上，求出E点坐标；
（3）如图3，将△AOD沿AD翻折得△AED，DE和射线BC交于点F，连接AF，若∠DAO＝75°，平面内是否存在点Q，使得△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点Q坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：（1）∵A（4，0），B（0，3），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3；
（2）设E（a，0），F（0，b），则CE＝9﹣a，CF＝，
∵P是EF的中点，CP⊥EF，
∴CE＝CF，即9﹣a＝，P（a，b），
∵P在直线AB上，
∴b＝，即b＝﹣，
把b＝﹣代入9﹣a＝即﹣18a+a2＝b2，得
﹣18a+a2＝，
解得a＝24（舍），或a＝﹣
∴点P的横坐标为﹣；
（3）过P作PD⊥x轴于点D，
设P（m，﹣m+3），则PD＝|﹣m+3|，
∵∠CPE＝90°，
∴∠CPD+∠DPE＝∠CPD+∠DCP＝90°，
∴∠DCP＝∠DPE，
∵∠PDC＝∠PDE＝90°，
∴△PCD∽△EPD，
∴，即PD2＝DE•DC，
当AP＝AE时，∠APE＝∠AEP，
∵∠APE+∠APC＝∠AEP+∠ACP＝90°，
∴∠ACP＝∠APC，
∴PA＝AC＝AE＝9﹣4＝5，
∴CD＝9﹣m，DE＝10﹣（9﹣m）＝m+1，
∴，
解得m＝0或8，
此时，P点的坐标为（0，3）或（8，﹣3）；
当PA＝PE时，AD＝DE＝4﹣m，CD＝9﹣m，
∴＝（4﹣m）（9﹣m），
解得m＝4（舍）或m＝，
此时，P点的坐标为（，﹣）；
当EA＝EP时，
∵∠EAB＜45°，
∴∠APE＜45°，
∴∠AEP＞90°（不合题意舍去）．
综上所述，P点的坐标为（0，3）或（8，﹣3）或（，﹣）．
2．解：（1）设直线AB所在的表达式为：y＝kx+b，则，解得，
故直线l的表达式为：y＝﹣x+2；
（2）在Rt△ABC中，
由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴S△ABC＝AB2＝；
（3）连接BP，PO，PA，
①若点P在第一象限时，如图1：
∵S△ABO＝3，S△APO＝m，S△BOP＝1，
∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO＝，
即1+m﹣3＝，解得m＝；
②若点P在第四象限时，如图2：
∵S△ABO＝3，S△APO＝﹣m，S△BOP＝1，
∴S△ABP＝S△AOB+S△APO﹣S△BOP＝，
即3﹣m﹣1＝，解得m＝﹣3，
故当△ABC与△ABP面积相等时，m的值为或﹣3．
3．解：（1）如图1，∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB＝CA，∠ACD+∠BCE＝90°，
又∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）∵直线y＝x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴A（0，4）、B（﹣3，0），如图2，
过点B做BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴，
在△BDC和△AOB中，
，
∴△BDC≌△AOB（AAS），
∴CD＝BO＝3，BD＝AO＝4，
∴OD＝OB+BD＝3+4＝7，
∴C点坐标为（﹣7，3），
设l2的解析式为y＝kx+b，将A，C点坐标代入，得，解得，
解得
∴l2的函数表达式为y＝x+4；
（3）存在，理由：
当点D是直线y＝﹣2x+6上的动点且在第四象限时，分两种情况：
当点D在矩形AOCB的内部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设D（x，﹣2x+6），则OE＝2x﹣6，AE＝6﹣（2x﹣6）＝12﹣2x，DF＝EF﹣DE＝8﹣x，
由（1）可得，△ADE≌△DPF，则DF＝AE，
即：12﹣2x＝8﹣x，
解得x＝4，
∴﹣2x+6＝﹣2，
∴D（4，﹣2），
此时，PF＝ED＝4，CP＝6＝CB，符合题意；
当点D在矩形AOCB的外部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设D（x，﹣2x+6），则OE＝2x﹣6，AE＝OE﹣OA＝2x﹣6﹣6＝2x﹣12，DF＝EF﹣DE＝8﹣x，
同理可得：△ADE≌△DPF，则AE＝DF，
即：2x﹣12＝8﹣x，
解得x＝，
∴﹣2x+6＝﹣，
∴D（，﹣），
此时，ED＝PF＝，AE＝BF＝，BP＝PF﹣BF＝＜6，符合题意，
综上，点D的坐标为（4，﹣2）或（，﹣）．
4．解：（1）由图象可得，
货车的速度为300÷5＝60（千米/小时），
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是60×4.5＝270（千米），
即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；
（2）设线段CD对应的函数表达式是y＝kx+b，
∵点C（2.5，80），点D（4.5，300），
∴，
解得，
即线段CD对应的函数表达式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）当x＝2.5时，两车之间的距离为：60×2.5﹣80＝70，
∵70＞15，
∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在2.5～4.5之间，
由图象可得，线段OA对应的函数解析式为y＝60x，
则|60x﹣（110x﹣195）|＝15，
解得x1＝3.6，x2＝4.2，
∵轿车比货车晚出发1.5小时，3.6﹣1.5＝2.1（小时），4.2﹣1.5＝2.7（小时），
∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米，
答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米．
5．解：（1）∵一次函数y＝kx+b与x轴交于点A（4，0）与y轴交于点B（0，8），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+8；
（2）设点P（x，﹣2x+8），
∴OC＝x，PC＝﹣2x+8，
∵四边形PCOD的邻边之比为2：1，
∴OC＝2PC或PC＝2OC，
∴x＝2（﹣2x+8）或﹣2x+8＝2x，
∴x＝或x＝2，
∴PC＝4或；
（3）设点Q（m，n），
当AB是对角线时，∵四边形AOBQ是平行四边形，
∴AB与OQ互相平分，
∴，，
∴m＝4，n＝8，
∴点Q（4，8）；
当AO是对角线时，∵四边形ABOQ是平行四边形，
∴AO与BQ互相平分，
∴，，
∴m＝4，n＝﹣8，
∴点Q（4，﹣8）；
当OB是对角线时，∵四边形AOQB是平行四边形，
∴AQ与BO互相平分，
∴，，
∴m＝﹣4，n＝8，
∴点Q（﹣4，8），
综上所述：点Q的坐标为（4，8）或（4，﹣8）或（﹣4，8）．
6．解：（1）设A种垃圾桶的单价为x元，B种垃圾桶的单价为y元，根据题意得
，
解得，
答：A种垃圾桶的单价为50元，B种垃圾桶的单价为30元；
（2）设购买A种垃圾桶为a个，则购买B种垃圾桶为（200﹣a）个，根据题意得
，
解得a≥150；
设购买A，B两种垃圾桶的总费用为W元，则
W＝0.75×50a+30（200﹣a）＝7.5a+6000，
∵k＝7.5＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当a＝150时，花费最少，最少费用为：7.5×150+6000＝7125（元）．
答：购买A种垃圾桶150个，B种垃圾桶50个花费最少，最少费用为7125元．
7．解：（1）斑马的奔跑路程与奔跑时间成正比例；长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间成正比例；
（2）斑马10分钟跑12千米；长颈10分钟跑8千米；
（3）由图象可知，斑马跑得快；第15分钟它们相距为：18﹣12＝6（km）．
8．解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）；
a＝40×6×2＝480，
故答案为：40；480；
（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480），
∴，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120；
（3）两车相遇前：80+100（x﹣2）＝240﹣120，解得x＝2.4；
两车相遇后：80+100（x﹣2）＝240+120，解得x＝4.8，
答：当甲、乙两车相距120千米时，甲车行驶的时间是2.4小时或4.8小时．
9．解：（1）设直线AB所在的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，
故直线l的表达式为：；
（2）在Rt△ABC中，
由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴S△ABC＝AB2＝；
（3）连接BP，PO，PA，则：
①若点P在第一象限时，如图1：
∵S△ABO＝3，S△APO＝a，S△BOP＝1，
∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO＝，
即，解得；
②若点P在第四象限时，如图2：
∵S△ABO＝3，S△APO＝﹣a，S△BOP＝1，
∴S△ABP＝S△AOB+S△APO﹣S△BOP＝，
即，解得a＝﹣3；
故：当△ABC与△ABP面积相等时，实数a的值为或﹣3．
10．解：（1）∵边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，
∴点A坐标（4，0），点C（4，4），
∴直线OC解析式为：y＝x，
∵点D坐标为（0，2），点A坐标（4，0），
∴直线AD解析式为：y＝﹣x+2，
∴
解得：
∴点E坐标（，）
∴△AOE的面积＝×4×＝，
故答案为：；
（2）如图2，过点E作EH⊥OA，
∵将△AOD沿AD翻折得△AED，
∴AO＝AE＝4，
设点E（a，a），
∴OH＝a，EH＝a，
∴AH＝4﹣a，
∵AE2＝EH2+AH2，
∴16＝a2+（4﹣a）2，
∴a＝0（舍去），a＝，
∴点E（，）
（3）∵将△AOD沿AD翻折得△AED，
∴∠DAO＝∠DAE＝75°，OA＝AE，∠DOA＝∠DEA＝90°，
∴∠OAE＝150°，AE＝AC，∠ACF＝∠AED＝90°，
∴∠CAE＝60°，
∵AE＝AC，AF＝AF，
∴Rt△AEF≌Rt△ACF（HL）
∴∠CAF＝∠EAF＝30°，且AC＝4，
∴CF＝，
∵△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，
∴若∠AFQ＝90°，AF＝FQ，如图3，过点Q作QN⊥BF，
∴∠NQF+∠QFN＝90°，且∠QFN+∠AFC＝90°，
∴∠NQF＝∠AFC，且∠ACF＝∠QNF＝90°，QF＝AF，
∴△QNF≌△FCA（AAS）
∴QN＝CF＝，AC＝NF＝4，
∴点Q（，4+）
同理可求：Q'（8+，4﹣），
若∠FAQ＝90°，AF＝AQ时，
同样方法可求，Q''（0，），Q'''（8，﹣）
购买数量
种类
购买数量少于100个
购买数量不少于100个
A
原价销售
以原价的7.5折销售
B
原价销售
以原价的8折销售