2022年九年级中考数学考点训练——函数专题：一次函数综合(三)及答案

这是一份2022年九年级中考数学考点训练——函数专题：一次函数综合(三)及答案，共20页。试卷主要包含了解答下列各题，如图1所示，已知点A的坐标为，如图，直线l1等内容，欢迎下载使用。
备战2022年九年级中考数学考点训练——函数专题：
一次函数综合（三）

1．如图1，已知一次函数y＝kx+1，经过点C（2，m），交x轴与点A（﹣2，0），过点C作CB⊥x轴于B．
（1）求一次函数解析式及m的值．
（2）如图2，已知M点的坐标为（0，﹣2），在x轴上是否存在点N，使得△AMN和△ABC的面积相等？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）在y轴正半轴上是否存在点P，使得△ACP的面积是△ABC的2倍？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．




2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别为（a，0），（b，0），其中a，b满足+（b﹣3）2＝0，顶点C在y的正半轴上，∠ABC＝30°．
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，点C的坐标为　 　；
（2）将△COB沿BC翻折，得到△CO′B，过点O′作直线O′D垂直x轴于点D．
①求O′B所在直线的解析式；
②直线O′D上有一点P，使得△PBC的面积与△ABC的面积相等，请求出点P的坐标；
③M是直线O′D上一点，点M关于x轴的对称点为N，若点F在y轴上，当|MA﹣MC|最大时，求NF+FC的最小值．




3．如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ．
（1）点C的坐标为　 　；
（2）若CQ将△AOC分成1：2两部分时，t的值为　 　；
（3）若S△ACQ：S四边形CQOB＝1：2时，求直线CQ对应的函数关系式．




4．过点C（﹣6，c）的直线y＝2x+6，交x轴于点A，交y轴于点B．
（1）点A坐标　 　；点B坐标　 　；点C坐标　 　；
（2）如图，在BC左侧有一点D，使△BCD是等腰直角三角形，并且BD＝CD，求点D的坐标；
（3）过点A的直线AE把△BOC的面积分为1：2，交△BOC另一边于点E，求点E的坐标．




5．解答下列各题：
（1）如图1，直线AB与y轴交于A（0，4），与x轴交于B（﹣3，0），求AB的关系式．
（2）在（1）的条件下，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC．若在y轴上有一点M，使得△ACM的面积为14，求M点的坐标．
（3）如图2，矩形ABCO中，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．




6．如图1所示，已知点A的坐标为（﹣3，4）．以OA为边构造菱形OABC，使点C恰好落在x轴上，一次函数y＝kx+b的图象经过点A和点C，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M．

（1）求AO的长．
（2）求一次函数y＝kx+b的表达式和点M的坐标．
（3）如图2，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C时停止．设点P的运动时间为ts，△PMB的面积为S．求S与t的函数关系式．



7．如图所示，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，0），点B坐标为（3，1），将直线AB沿x轴向左平移经过点C（1，1）．
（1）求平移后直线L的解析式；
（2）若点P从点C出发，沿（1）中的直线L以每秒1个单位长度的速度向直线L与x轴的交点运动，点Q从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向点A运动，两点中有任意一点到达终点运动即停止，设运动时间为t．是否存在t，使得△OPQ为等腰三角形？若存在，直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．



8．已知，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（8，0），点C为AB中点．
（1）求点B的坐标；
（2）点M为直线AB上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线OC于点Q，设点M的横坐标为m，线段MQ的长度为d，求d与m的函数关系式（请直接写出自变量m的取值范围）
（3）当点M在线段AB（点M不与A、B重合）上运动时，在坐标系内是否存在一点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．



9．如图，直线l1：y＝kx+b分别交x轴、y轴于点B（4，0）、N，直线l2：y＝2x﹣1分别交x轴、y轴于点M、A，l1，l2交点P的坐标（m，2），请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）当x　 　时，kx+b≥2x﹣1；
（2）不等式kx+b＜0的解集是　 　；
（3）在平面内是否存在一点H，使得以A，B，P，H四点组成的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标，若不存在，说明理由．


10．直线y＝﹣x+1分别交x轴、y轴于A、B两点．
（1）求出点A、B的坐标；
（2）已知点G的坐标为（2，7），过点G和B作直线BG，连接AG，求∠AGB的正切值；
（3）在（2）的条件下，在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
















参考答案
1．解：（1）将点A的坐标代入y＝kx+1得：0＝﹣2k+1，解得k＝，
故一次函数的表达式为y＝x+1，
将点C的坐标代入上式并解得：m＝2+1＝2，
故点C的坐标为（2，2）；

（2）存在，理由：
设点N（x，0），
由点A、C的坐标知，BC＝2，AB＝4，
∵△AMN和△ABC的面积相等，即×AB•BC＝×AN×OM，
则×2×4＝×2×|x+2|，解得x＝2或﹣6，
故点N的坐标为（2，0）或（﹣6，0）；

（3）存在，理由：
由点C的坐标知，点B（2，0），
过点B作直线m∥AC，交y轴于点M，设直线AC交y轴于点N（0，1），

∵m∥AC，则设直线m的表达式为y＝x+b，
将点B的坐标代入上式得：0＝×2+b，解得b＝﹣1，故点M（0，﹣1），
则MN＝1﹣（﹣1）＝2，
∵△ACP的面积是△ABC的2倍，在点N上方2MN处作直线n∥AC，n与y轴的交点即为点P，
则PN＝2MN＝4，故点P（0，5）．
2．解：（1）a，b满足+（b﹣3）2＝0，则，解得，
故点A、B坐标分别为（﹣1，0）、（0，3），
则OB＝3，
则Rt△BOC中，∠ABC＝30°，设OC＝m，则BC＝2m，
哟BC2＝OC2+OB2得：（2m）2＝m2＝32，解得m＝，
故点C的坐标为（0，），
故答案为：﹣1，3，（0，）；

（2）①∵∠CBA＝30°，O′B＝3＝OB，则∠OBO′＝60°，
连接OO′，则△O′OB为等边三角形，

则OD＝OB＝，O′D＝＝＝，
故点O′的坐标为（，），
设直线O′B的表达式为y＝kx+t，则，解得，
故直线O′B的表达式为y＝﹣x+3；
②由点B、C的坐标，同理可得直线BC的表达式为y＝﹣x+，
过点A作直线m∥BC交直线O′D于点P，则点P为所求点，
∵直线m∥BC，则设直线m的表达式为y＝﹣x﹣，
当x＝时，y＝﹣，则点P（，﹣）；
在点C的上方与直线m等距离处作直线n∥BC交O′D于点P′，则点P′为所求点，
同理可得，点P′（，）；
故点P的坐标为（，﹣）或（，）；
③连接AC交直线O′D于点M，则此时|MA﹣MC|最大，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y＝x+，
当x＝时，y＝，故点M（，），则点N（，﹣），
过点N作NH⊥AC交于点H，交y轴于点F，则点F为所求点，此时NF+FC最小，

在Rt△AOC中，AC＝＝＝2＝2OA，则∠ACO＝30°＝∠AMN，
则FH＝CF，
故NF+FC＝NF+HF＝HN为最小，
在Rt△MNH中，∠NMH＝30°，
故HN＝MN＝MD＝，
即NF+FC最小值为．
3．解：（1）由题意得：，解得，
故点C的坐标为（2，2），
故答案为（2，2）；

（2）对于y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3，
故点A（6，0），点B（0，3），则OA＝6，OB＝3，
∵CQ将△AOC分成1：2两部分时，
则OQ＝OA或OA，即OQ＝2或4，
即t＝2或4，
故答案为2或4；

（3）若S△ACQ：S四边形CQOB＝1：2时，则若S△ACQ：S△OAB＝1：3，
即（×AQ×yC）：（×OA•OB）＝1：3，
则（×AQ×2）：（×6×3）＝1：3，解得：AQ＝3，
故点Q（3，0），
设直线CQ的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线CQ的表达式为y＝﹣2x+6．
4．解：（1）令y＝0，0＝﹣2x+6，x＝﹣3，则A（﹣3，0）；
令x＝0，y＝6，则B（0，6）；
把x＝﹣6带入直线关系式得：y＝﹣2×（﹣6）+6＝﹣6，
则D（﹣6，﹣6），
故答案为：（﹣3，0），（0，6）、（﹣6，﹣6）；

（2）如图，过点D作DE⊥y于点E，过点C作CF⊥DE与点F，交x轴于点H，

则∠FDC+∠FCD＝90°，∠CFD＝∠DEB＝90°
∵△BDC为等腰直角三角形，BD＝CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDE+∠CDF＝90°，
∴∠BDE＝∠DCF
∵∠CFD＝∠DEB，∠BDE＝∠DCF，BD＝CD，
∴△BDE≌△DCF（AAS），
∴DE＝CF，BE＝DF，
∵C（﹣6，﹣6），
∴CH＝FE＝6，
∴FH＝DF＝BE，
∵B（0，6），
∴BO＝6，
∴EO＝BE＝3，
∴DE＝FE+DF＝6+3＝9，
∴D（﹣9，3）；
（3）△BOC的面积＝×BO×|xC|＝×6×6＝18，
同理可得：S△AOB＝S△AOC＝9，

①当点E（E′）在边BO上时，
由题意得：S△BAE′＝S△BOC＝×18＝6＝×BE′×AO＝×BE′×3，解得BE′＝4，
而点B（0，6），
故点E′的坐标为（0，2）；
②当点E在边CO上时，
由题意得：S△AEC＝S△BOC＝×18＝6，
而S△AOC＝9，故S△AEO＝9﹣6＝3＝×AO×|yE|＝×3×|yE|，解得yE＝﹣2，
由点O、C的坐标知，直线OC的表达式为y＝x，
当y＝﹣2时，y＝x＝﹣2，
故点E的坐标为（﹣2，﹣2），
故点E的坐标为（0，2）或（﹣2，﹣2）．
5．解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b，
将点A、B的坐标代入上式得：，解得，
故直线AB的表达式为y＝x+4；

（2）如图1，过C作CD⊥x轴于点D，

由题意得：∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵∠DCB+∠CBD＝90°，∠CBD+∠ABO＝90°，
∴∠DCB＝∠ABO，∠CBD＝∠BAO，
∴△CDB≌△BAO（AAS），
∴CD＝BO＝3，BD＝AO＝4，
∴OD＝4+3＝7，
∴C（﹣7，3），且A（0，4），
设点M的坐标为（0，m），
则△ACM的面积＝×AM×|xC|＝×|m﹣4|×7＝14，解得m＝0或8，
故点M的坐标为（0，0）或（0，8）；

（3）如图2，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，则D点坐标（4，2）；

如图3，当∠APD＝90°时，AP＝PD，

设点P的坐标为（8，m），则D点坐标为（m+8，14﹣m），
由14﹣m＝2（8+m）﹣6，得m＝，
∴D点坐标（，）；
如图4，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，
同理可求得D点坐标（，）．

综上可知满足条件的点D的坐标分别为（4，2）或（，）或（，）．
6．解：（1）∵A（﹣3，4），
∴AH＝3，OH＝4，
由勾股定理得：AO＝＝＝5，
答：OA的长是5；

（2）∵菱形OABC，
∴OA＝OC＝BC＝AB＝5，
∴5﹣3＝2，
∴B（2，4），C（5，0），
设直线AC的解析式是y＝kx+b，
把A（﹣3，4），C（5，0）代入得：，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+，
当x＝0时，y＝2.5，
∴M（0，2.5），
答：直线AC的解析式是y＝﹣x+，点M的坐标是（0，2.5）；

（3）过M作MN⊥BC于N，

∵菱形OABC，
∴∠BCA＝∠OCA，
∵MO⊥CO，MN⊥BC，
∴OM＝MN，
当0≤t＜2.5时，P在AB上，MH＝4﹣2.5＝，
∴S＝×BP×MH＝×（5﹣2t）×＝﹣t+，
当t＝2.5时，P与B重合，△PMB不存在；
当2.5＜t≤5时，P在BC上，S＝×PB×MN＝×（2t﹣5）×＝t﹣，
∴S＝t﹣，
答：S与t的函数关系式是S＝．
7．解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线AB的表达式为y＝x﹣2，
设抛物线抛物线的表达式为y＝x+s，
将点C的坐标代入上式得：1＝1+s，解得s＝0，
故直线L的表达式为y＝x；

（2）存在，理由：
由题意得：PC＝t，OC＝，OQ＝2t，则OP＝﹣t，如下图：

①当OP＝OQ时，即﹣t＝2t，解得t＝；
当OP＝PQ时，则点P在OQ的中垂线上，故点P的坐标为（t，t），
则OP＝t＝﹣t，解得t＝2﹣；
当OQ＝PQ时，则△OPQ以∠PQO为直角的等腰直角三角形，
则OP＝OQ＝2t＝﹣t，解得t＝，
故t的值为、2﹣、．
8．解：（1）∵直线y＝﹣x+b过点A（8，0），
∴0＝﹣6+b，解得：b＝6，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6．
令y＝﹣x+6中x＝0，则y＝6，
∴点B的坐标为（0，6）．

（2）依照题意画出图形，如图1所示．

∵A（8，0），B（0，6），且点C为AB的中点，
∴C（4，3）．
设直线OC的解析式为y＝kx（k≠0），
则有3＝4k，解得：k＝，
∴直线OC的解析式为y＝x．
∵点M在直线AB上，点Q在直线OC上，点M的横坐标为m，MQ⊥x轴，
∴M（m，﹣m+6），Q（m，m）．
当m＜4时，d＝﹣m+6﹣m＝﹣m+6；
当m＞4时，d＝m﹣（﹣m+6）＝m﹣6．
故d＝；

（3）假设存在，设点M的坐标为（n，﹣n+6）（0＜n＜8）．
∵点P在第一象限，
∴以O，B，M，N为顶点的四边形为菱形有两种情况：
①以BM为对角线时，如图2所示．

∵四边形OMNB为菱形，B（0，6），
∴OM＝OB＝6＝，
解得：n＝或n＝0（舍去），
∴点M（，），
则点N（，）；
②以OM为对角线时，如图3所示．

此时点M在第一象限，但点N在第四象限，故此种情况不合适．
故N点坐标为（，）．
9．解：（1）将点P的坐标代入y＝2x﹣1得，2＝2m﹣1，解得m＝1.5，故点P（1.5，2），
从图象看，当x≤1.5时，kx+b≥2x﹣1，
故答案为：≤1.5；

（2）从图象看，不等式kx+b＜0的解集是x＞4，
故答案为x＞4；

（3）∵直线l2：y＝2x﹣1交y轴于点A，故点A（0，﹣1），
设点H（s，t），
①当AB是边时，
点A向右平移4个单位向上平移1个单位得到点B，同样点P（H）向右平移4个单位向上平移1个单位得到H（P），
则1.5±4＝s且2±1＝t，解得，
故点H的坐标为（5.5，3）或（﹣2.5，1）；
②当AB是对角线时，
由中点公式得：（0+4）＝（s+1.5）且（﹣1+0）＝（t+2），解得，
故点H的坐标为（2.5，﹣3）．
综上，点H的坐标为（5.5，3）或（﹣2.5，1）或（2.5，﹣3）．
10．解：（1）对于y＝﹣x+1，令x＝0，则y＝1，令y＝0，即﹣x+1＝0，解得x＝3，
故点A、B的坐标分别（3，0）、（0，1）；

（2）由A、B、G的坐标知，BG2＝22+（7﹣1）2＝40，
同理AB2＝10，AG2＝50，
故AG2＝AB2+BG2，
故△ABG为直角三角形，
则tan∠AGB＝＝＝；

（3）设直线BG的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线BG的表达式为y＝3x+1，
设点Q（m，3m+1），

当△ABQ∽△AOB时，
则，即＝，
解得m＝，
当△ABQ∽△BOA时，
同理可得：m＝±3，
故点P的坐标为（，2）或（﹣，0）或（3，10）或（﹣3，﹣8）．