2021年九年级中考数学考点训练——函数专题：一次函数综合(五)及答案

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1．如图1，在平面直角坐标系中，点O为原点，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B，tan∠BAO＝，AB＝15．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C在BO上，∠CAO＝∠ABO，点P在OA的延长线上，设P点纵坐标为m，△PAC的面积为S，求出S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，点D在x轴负半轴上，∠DPO＝2∠CPO，CE⊥PD于E，CE交PO于F，若PF＝OD+4，求P点坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2）．点D是线段BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），直线l：y＝+5过点D并与折线O﹣A﹣B交于点E，设△ODE的面积为S，回答下列问题：
探究：（1）当直线l过点A时，k的值是 ；
延伸：（2）如图2，当点E在线段OA上时，矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′，线段C′B′与线段OA交于点H，线段O′A′与线段CB交于点G，得到菱形DHEG．
直接写出菱形DHEG面积的最大值： ，此时k＝ ；
拓展：（3）在点D运动的过程中，直接写出S与k的函数关系式；当k＝ 时，（2）中菱形DHEG的面积与S相等．
3．如图1，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段BC⊥AB且BC＝AB，直线AC交x轴于点D．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）直接写出点C的坐标 ，并求出直线AC的函数关系式；
（3）若点P是图1中直线AC上的一点，连接OP，得到图2．当点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等时，求△AOP的面积．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．
（1）求出点A、点B的坐标；
（2）求△COB的面积；
（3）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别于l1、l2交于点M、N，且点M在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5．用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图①．
经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）的函数图象分别为图②中的线段AB、AC．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在目前电量20%的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用多少小时？
（2）求线段AB、AC对应的函数表达式；
（3）已知该手机正常使用时耗电量为每小时10%，在用快速充电器将其充满电后，正常使用ah，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电﹣耗电﹣充电”的时间恰好是6h，求a的值．
6．如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点Q的坐标；
②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．
7．如图，直线l1的表达式为y＝ax+2，且l1与y轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），B（0，﹣1），两直线交于点C（m，），
（1）求直线l1、l2的表达式．
（2）点D坐标为 ．
（3）求△BCD的面积．
（4）若有过点C的直线CE把△BCD的面积分为2：1两部分，请直接写出符合条件的直线CE的表达式．
8．如图①，长方形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，OA＝9，OC＝8．
（1）连接OB，则OB将长方形面积分成相等的两部分，则直线OB的函数关系式为 ．
（2）如图②，点D在边OA上，点E在边BC上，且OD＝BE，连接DE，此时线段DE将该长方形的面积分成相等的两部分，请说明等分的理由．
（3）如图③，点D在边OA上，且OD＝1．将∠OAB沿DF折叠，折痕交长方形OABC的边于点F，点A落在点A′处，若直线DA′将该长方形面积分成1：2两部分，求直线DF的函数关系式．
9．如图，正方形ABCD的顶点A、B落在x轴正半轴上，点C落在正比例函数y＝kx（k＞0）上，点D落在直线y＝2x上，且点D的横坐标为a．
（1）直接写出A、B、C、D各点的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）求出k的值；
（3）将直线OC绕点O旋转，旋转后的直线将正方形ABCD的面积分成1：3两个部分，求旋转后得到的新直线解析式．
10．在平面直角坐标系中，OA＝AB＝10，点A（6，8）在正比例函数上，点B的坐标为（12，0），联结AB．
（1）求该正比例函数的解析式
（2）若点Q在直线AO上运动，且△OBQ的面积为6，求点Q的坐标；
（3）若点Q在线段AO上由点A向点O运动，点P在线段BO上以每秒2个单位的速度由B向O运动，点C是线段AB的中点，两点同时运动，同时停止，设运动时间为t秒，联结PQ，在运动过程中，△OPQ与△BPC是否会全等？如果全等，请求点Q运动的速度，如果不全等，请说明理由？
参考答案
1．解：（1）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝15，
∴tan∠BAO＝＝，
∴可以假设OB＝4k，OA＝3k，则AB＝5k，
∴5k＝15，
∴k＝3，
∴OA＝9，OB＝12，
∴A（0，9），B（12，0），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
则有，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+9．
（2）如图2中，在x轴的负半轴上取一点T，使得OT＝OC，连接AT．
∵AO⊥CT，OT＝OC，
∴AT＝AC，
∴∠ACT＝∠ATC＝∠CBA+∠BAC，∠CAO＝∠TAO，
∵∠CAO＝∠CBA，
∴∠CAT＝∠CBA，
∵∠BAT＝∠CAT+∠CAB，
∴∠BAT＝∠ATB，
∴BA＝BT＝15，
∴OC＝OT＝15﹣12＝3，
∴S＝•PA•OC＝•（m﹣9）×3＝m﹣（m＞3）．
（3）如图3中，在AF上截取FJ，使得FJ＝OD，作JT∥x轴交CE的延长线于T．
∵TJ∥x轴，
∴∠TLF＝90°，
∵CE⊥PD，
∴∠PEF＝90°，
∴∠PFE+∠FPE＝90°，∠PFE+∠FTJ＝90°，
∴∠OPD＝∠JTF，
∵∠DOP＝∠FJT＝90°，OD＝JF，
∴△DOP≌△FJT（ASA），
∴PJ＝OP，∠OPD＝∠ATF，
构造正方形PRSO，连接PS，则点T在线段SR时上，作∠SCT的角平分线交PS于I，过点I作IM⊥RS于M，IN⊥OS于N，IW⊥CT于W．
∵TJ∥CS，
∴∠JTF＝∠TCS，
∴∠TCS＝∠OPD，
∵∠OPD＝2∠CPO，∠TCS＝2∠NCI，
∴∠ICN＝∠OPC，
∵四边形PRSO是正方形，
∴∠OPS＝∠OSP＝45°，
∵∠CPI＝∠OPS+∠CPO＝45°+∠CPO，∠CIP＝∠CSP+∠ICS＝45°+∠ICN，
∴∠CPI＝∠CIP，
∴CP＝CI，
∵∠JNC＝∠COP＝90°，
∴△INC≌△COP（AAS），
∴IN＝OC＝3，CN＝OP＝RS，
∵I是△TSC的内心，
∴IM＝IW＝IN＝3，
∵∠IMT＝∠IWT＝90°，∠MTI＝∠WTI，TI＝TI，
∴△ITM≌△ITW（AAS），
∴TM＝TW，设TM＝TW＝n，
同法可证CW＝CN，
∵PF＝OD+4＝FJ+PJ，
∴PJ＝RT＝4，
∴OP＝RS＝OS＝n+7，
∴CN＝OS＝n+7，SC＝10+n，TC＝2n+7，
在Rt△CST中，则有（n+3）2+（10+n）2＝（2n+7）2，
解得n＝5或﹣6（舍弃），
∴OP＝12，
∴P（0，12）．
2．解：（1）把A（6，0）代入：y＝+5，得到0＝+5，
∴k＝﹣．
故答案为：﹣．
（2）如图2中，观察图象可知，当点H与原点O重合时，菱形DHEG的面积最大，此时G与O′重合．
由题意F（0，5），C（0，2），
∴OC＝2，OF＝5，CF＝3，
∵EF垂直平分线段OO′，
∴FO＝FO′＝5，
∵∠FCO′＝90°，
∴CO′＝＝4，
设OD＝DO′＝x，
在Rt△CDO中，则有x2＝22+（4﹣x）2，
解得x＝，
∴CD＝4﹣＝，
∴D（，2），菱形DHEG的面积的最大值＝2×＝5，
把D（，2）代入y＝+5，得到2＝+5，
∴k＝﹣．
故答案为：5，﹣．
（3）如图3中，当﹣≤k＜0时，连接OD．
对于直线y＝+5，令y＝0，得到x＝﹣5k，
∴E（﹣5k，0），
∴S＝×（﹣5k）×2＝﹣5k．
如图4中，当﹣2＜k＜﹣时，E（6，+5），设直线EF交x轴于P．
S＝S△DOP﹣S△EOP＝﹣5k﹣×（﹣5k）×（+5）＝k+15，
综上所述，S＝．
如图5中，当（2）中菱形DHEG的面积与S相等时，OH＝HE＝DH，设CD＝m．
∴∠ODE＝90°，
∴DF2＝32+m2，OD2＝22+m2，
∵DF2+OD2＝OF2，
∴32+m2+22+m2＝52，
∴m2＝6，
∵m＞0，
∴m＝，
∴D（，2），
把D（，2）代入y＝+5，得到2＝+5，
∴k＝﹣．
故答案为：﹣．
3．解：（1）把x＝0代入y＝﹣2x+2中，得y＝2，
∴点A的坐标为（0，2），
把y＝0代入y＝﹣2x+2，得﹣2x+2＝0，解得x＝1，
∴点B的坐标为（1，0），
故答案为：（0，2），（1，0）；
（2）如图1中，过点C作CM⊥x轴于M，
∴∠AOB＝∠BMC＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBM＝90°，
∵∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBM，
在△AOB和△BMC中，
，
∴△AOB≌△BMC（AAS），
∴BM＝OA＝2，CM＝OB＝1，
∴OM＝3，
∴点C的坐标为（3，1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
由题意可得 ，
解得 ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，
故答案为：（3，1）；
（3）如图2中，
∵点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等，
∴点P在y＝﹣x上，
∴，
∴
∴点P（﹣3，3），
过点P作PN⊥y轴于点N，
∴PN＝3，
∴S△OAP＝•OA•PN＝×2×3＝3．
4．解：（1）对于直线l2的解析式为y＝﹣x+3，令x＝0，得到y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，得到x＝6，
∴A（6，0）．
∴点A是坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3）．
（2）联立式y＝x，y＝﹣x+3并解得：x＝2，故点C（2，2），
△COB的面积＝×OB×xC＝×3×2＝3．
（3）存在．设点M、N、Q的坐标分别为（m，m）、（m，3﹣m）、（0，n），
①当∠MQN＝90°时，
∵∠GNQ+∠GQN＝90°，∠GQN+∠HQM＝90°，
∴∠MQH＝∠GNQ，
∠NGQ＝∠QHM＝90°，QM＝QN，
∴△NGQ≌△QHM（AAS），
∴GN＝QH，GQ＝HM，
即：m＝3﹣m﹣n，n﹣m＝m，
解得：m＝，n＝．
②当∠QNM＝90°时，
则MN＝QN，即：3﹣m﹣m＝m，解得：m＝，
n＝yN＝3﹣×＝；
③当∠NMQ＝90°时，
同理可得：n＝．
综上，点Q的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．
5．解：（1）由图象可知快速充电器给该手机充满电需2小时，普通充电器给该手机充满电需6小时，
∴用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用4小时；
（2）设线段AB的函数表达式为E1＝k1t+b1，将（0，20），（2，100）代入E1＝k1t+b1，
可得，
∴线段AB的函数表达式为：E1＝40t+20；
设线段AC的函数表达式为E2＝k2t+b2，将（0，20），（6，100）代入E2＝k2t+b2，
可得，
∴线段AC的函数表达式为：E2＝t+20；
（3）根据题意，得×（6﹣2﹣a）＝10a，
解得a＝．
答：a的值为．
6．解：（1）对于y＝x+3，
由x＝0得：y＝3，
∴B（0，3）．
由y＝0得：x+3＝0，解得x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称．
∴C（6，0）
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+3；
（2）①设点M（m，0），则点P（m，m+3），点Q（m，﹣m+3），
过点B作BD⊥PQ与点D，
则PQ＝|﹣m+3﹣（m+3）|＝|m|，BD＝|m|，
则△PQB的面积＝PQ•BD＝m2＝，解得m＝±，
故点Q的坐标为（，3﹣）或（﹣，3+）；
②如图2，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，
∴BM2+BC2＝MC2，
设M（x，0），则P（x，x+3），
∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，
∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝﹣，
∴P（﹣，），
如图2，当点M在y轴的右侧时，
同理可得P（，），
综上，点P的坐标为（﹣，）或（，）．
7．解：（1）设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∵直线l2经过点A（4，0），B（0，﹣1），
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y＝x﹣1，
∵两直线交于点C（m，），
∴﹣＝m﹣1，解得m＝，
∴C（，﹣），
把C的坐标代入y＝ax+2得，﹣＝a+2，
解得a＝﹣2，
∴直线l1的表达式为y＝﹣2x+2；
（2）把x＝0代入y＝﹣2x+2，可得：y＝2，
所以点D的坐标为（0，2），
故答案为：（0，2）；
（3）∵B（0，﹣1），D（0，2），C（，﹣），
∴BD＝3，
∴S△BCD＝＝2；
（4）当过点C的直线CE把△BCD的面积分为2：1两部分时，则DE：EB＝2：1或DE：EB＝1：2，
∵B（0，﹣1），D（0，2），
∴当DE：EB＝2：1时，则点E的坐标为（0，0）
当DE：EB＝1：2时，则E的坐标为（0，1），
设直线CE的解析式为y＝cx或y＝cx+1，
把（，﹣）代入y＝cx得﹣＝c，解得c＝﹣
把（，﹣）代入y＝cx+1得﹣＝c+1，解得c＝﹣
∴直线CE的表达式为：y＝﹣x或y＝﹣x+1．
8．解：（1）∵OA＝9，OC＝8，
故点B的坐标为（9，8），
设直线OB的表达式为y＝kx，
将点B的坐标代入上式得：8＝9k，解得k＝，
故直线OB的表达式为y＝x，
故答案为y＝x；
（2）∵四边形OABC为矩形，则OA＝BC，
∵OD＝BE，故CE＝AD，
S梯形ODEC＝（CE+OD）×OC＝（BE+AD）×OC＝S梯形ABED，
故线段DE将该长方形的面积分成相等的两部分；
（3）∵直线DA′将该长方形面积分成1：2两部分，
则较小部分的面积为×OA•OC＝＝24．
①当直线DA′与BC边相交时，如图1，
过点D作DN⊥BC于点N，延长DA′交BC于点H，
设AF＝a＝A′F，则BF＝8﹣a，
由题意得：S梯形ODHC＝×OC×（OD+HN）＝×8×（1+HC）＝24，解得HC＝5，
则HN＝HC﹣CN＝HC﹣OD＝5﹣1＝4，则BH＝BC﹣CH＝9﹣5＝4，
在Rt△HND中，DH＝＝＝4，则A′H＝DH﹣OA′＝DH﹣OA＝4﹣8，
在Rt△HFB和Rt△HFA′中，HF2＝BF2+BH2＝A′F2+A′H2，
即42+（8﹣a）2＝a2+（4﹣8）2，解得a＝4﹣4，
故点F的坐标为（9，4﹣4），
由点F、D的坐标得，直线FD的表达式为y＝x﹣；
②当直线DA′与AB边相交时，如图2，
同理可得，点F的坐标为（9，），
由点D、F的坐标得，直线FD的表达式为y＝x﹣，
综上，直线FD的表达式为y＝x﹣或y＝x﹣．
9．解：（1）点D的横坐标为a，则点D（a，2a），
则AB＝AD＝2a，则点A、B、C的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a），
故点A、B、C、D的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）；
（2）将点C的坐标代入y＝kx得，2a＝3ak，
解得k＝；
（3）设AF＝m，则点F（a，m），设直线OC旋转后交AD于点F，交CD于点E，
则直线OF的表达式为y＝x，
当y＝2a时，y＝x＝2a，解得x＝，故点E（，2a），
由题意得：S△DEF＝S正方形ABCD＝×（2a）2＝a2，
即×DE•EF＝×（2a﹣m）×（﹣a）＝a2，解得m1＝3a﹣a，m2＝3a+a，
第二种情况，旋转后直线OC和线段BC相交，同理可得k＝．
则函数的表达式为y＝x＝（3﹣）x或y＝x＝x．
10．解：（1）设正比例函数的解析式y＝kx，
把A（6，8）代入得：8＝6k．
解得：k＝，
∴该正比例函数的解析式为y＝x；
（2）设点Q（a，a），
∵△OBQ的面积为6，
∴×12×|a|＝6，
∴a＝或﹣，
∴点Q（，1）或（﹣，﹣1）；
（3）∵AO＝AB＝10，点C是线段AB的中点，
∴BC＝5．
∴∠QOP＝∠CBP．
若△OPQ与△BPC全等，
则有OP＝BC＝5，OQ＝BP或OQ＝BC＝5，OP＝PB．
①当OP＝BC＝5，OQ＝BP时，
∵OP＝5，
∴12﹣2t＝5．
解得：t＝．
∵OP＝5，
∴OQ＝BP＝7．
∴AQ＝3．
∴v＝3．
解得；v＝．
∴点Q运动的速度为个单位/秒．
②当OQ＝BC＝5，OP＝PB＝6时，
由OP＝PB＝OB＝6可知：2t＝6，
解得：t＝3．
∵OQ＝5，
∴AQ＝OA﹣OQ＝10﹣5＝5．
∴3v＝5．
解得：v＝．
∴点Q运动的速度为个单位/秒．
综上所述：当点Q的运动速度是每秒个单位或每秒个单位时，△OPQ与△BPC全等．