近年中考数学压轴题大集合（二）

这是一份近年中考数学压轴题大集合（二），共46页。试卷主要包含了84=5，88,，84，-2，已知，已知抛物线等内容，欢迎下载使用。
近年中考数学压轴题大集合（二）
17.如图，在平面直角坐标系内，⊙C与y轴相切于D
点，与x轴相交于A（2，0）、B（8，0）两点，圆心C在第四象限.
（1）求点C的坐标；
（2）连结BC并延长交⊙C于另一点E，若线段BE上有一点P，使得
AB2＝BP·BE，能否推出AP⊥BE？请给出你的结论，并说明理由；
（3）在直线BE上是否存在点Q，使得AQ2＝BQ·EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，也请说明理由.
[解] （1） C（5，-4）；
（2）能。连结AE ，∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE=90°.
在△ABE与△PBA中，AB2＝BP· BE , 即, 又∠ABE=∠PBA,
∴△ABE∽△PBA .
∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP⊥BE .
（3）分析：假设在直线EB上存在点Q，使AQ2＝BQ· EQ. Q点位置有三种情况：
①若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点C即点Q；
②若无两条等长，且点Q在线段EB上，由Rt△EBA中的射影定理知点Q即为AQ⊥EB之垂足；
③若无两条等长，且当点Q在线段EB外，由条件想到切割线定理，知QA切⊙C于点A.设Q(),并过点Q作QR⊥x轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法.
解题过程：
① 当点Q1与C重合时，AQ1=Q1B=Q1E, 显然有AQ12＝BQ1· EQ1 ,
∴Q1(5, -4)符合题意；
② 当Q2点在线段EB上， ∵△ABE中，∠BAE=90°
∴点Q2为AQ2在BE上的垂足，
∴AQ2== 4.8（或）.
∴Q2点的横坐标是2+ AQ2·∠BAQ2= 2+3.84=5.84,
又由AQ2·∠BAQ2=2.88,
∴点Q2（5.84，-2.88）,
③方法一：若符合题意的点Q3在线段EB外,
则可得点Q3为过点A的⊙C的切线与直线BE在第一象限的交点.
由Rt△Q3BR∽Rt△EBA，△EBA的三边长分别为6、8、10,
故不妨设BR=3t，RQ3=4t，BQ3=5t,
由Rt△ARQ3∽Rt△EAB得，
即得t=，
〖注:此处也可由列得方程； 或由AQ32 = Q3B·Q3E=Q3R2+AR2列得方程)等等〗
∴Q3点的横坐标为8+3t=， Q3点的纵坐标为，
即Q3（，）.
方法二：如上所设与添辅助线, 直线 BE过B(8, 0), C(5, -4),
∴直线BE的解析式是 .
设Q3（，）,过点Q3作Q3R⊥x轴于点R,
∵易证∠Q3AR =∠AEB得 Rt△AQ3R∽Rt△EAB,
∴ , 即 ,
∴t= ,进而点Q3 的纵坐标为，∴Q3（，）.
方法三：若符合题意的点Q3在线段EB外,连结Q3A并延长交轴于F,
∴∠Q3AB =∠Q3EA，,
在R t△OAF中有OF=2×=，点F的坐标为（0，）,
∴可得直线AF的解析式为 ,
又直线BE的解析式是 ,
∴可得交点Q3（，）.

18.如图1，抛物线关于y轴对称，顶点C坐标为（0，h ）(h>0)， 交x轴于点A（d,0）、B（-d,0）（d>0）。
（1）求抛物线解析式（用h、d表示）；
（2）如图2，将ABC视为抛物线形拱桥，①～⑤拉杆均垂直x轴，垂足依次在线段AB的6等分点上。h=9米。
(i )求拉杆⑤DE的长度；
F
G
x
y
C
B
O
A
图4
(ii)若d值增大，其他都不变，如图3。拉杆⑤DE的长度会改变吗？(只需写结论)
（3）如图4，点G在线段OA上，OG=kd（比例系数k是常数，0≤k≤1），GF⊥x轴交抛物线于点F。试探索k为何值时，
tg∠FOG= tg∠CAO？此时点G与OA线段有什么关系？
[解] （1）用顶点式，据题意设y=ax2+h
代入A（d，0）得a=
∴y=x2+h
(2)(i)h=9，代入（1）中解析式得y=x2+9
据题意OE=d，设D（d，yD）
点D在抛物线上，yD=(d)2+9=5，∴DE=5米。
(ii) 拉杆⑤DE的长度不变。
（3）OG=kd，∴点F坐标可设（kd，yF）代入y=x2+h ，得：
yF= h(1－k2)
tg∠FOG= tg∠CAO ， =
解得 （∵0 c，且二次函数的图像经过点（q , - a），试问当自变量x = q +4时，二次函数所对应的函数值y是否大于0？请证明你的结论.
[解]（1）当a = 2，c = -3时，二次函数为，
∵该函数的图像经过点（-1，-2），
∴，解得b=1.
（2）当a = 2，b + c = -2时，二次函数为
∵该函数的图像经过点（p，-2），
∴，即
于是，p为方程的根，
∴判别式△=
又∵b + c = -2，b > c，
∴b > -b -2，即b > -1，有b + 8 > 0
∴.
（3）∵二次函数的图像经过点（q，-a）,
∴.
∴q为方程的根，
于是，判别式△=
又∵
∴△=
又， 且a > b > c，知a > 0，c < 0
∴3a -c > 0
∴
∴q为方程的根，
∴或.
当时，

若，则
.
∵a > b ≥ 0，
∴，即，
∴
若，则
.
∴当时，二次函数所对应的函数值大于0.
5.已知：如图，A（0,1）是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在∠OAB的外部作∠BAE＝∠OAB ，过B作BC⊥AB，交AE于点C.
(1)当B点的横坐标为时，求线段AC的长；
(2)当点B在x轴上运动时，设点C的纵、横坐标分别为y、x，试求y与x的函数关系式（当点B运动到O点时，点C也与O点重合）；
(3)设过点P（0，-1）的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，且x12+x22－6(x1+x2)=8，求直线l的解析式．
[解] (1)方法一：在Rt△AOB中，可求得AB＝
y
A
O
B
x
C
D
G
H
∵∠OAB＝∠BAC，∠AOB＝∠ABC=Rt∠，
∴△ABO∽△ABC，∴，由此可求得：AC＝
方法二：由题意知：tan∠OAB=


(2)方法一：当B不与O重合时，延长CB交y轴于点D，过C作CH⊥x轴，交x轴于点H，则可证得AC＝AD，BD＝
∵AO⊥OB，AB⊥BD，∴△ABO∽△BDO，则OB2＝AO×OD，即
化简得：y=，当O、B、C三点重合时，y=x=0，∴y与x的函数关系式为：y=
方法二：过点C作CG⊥x轴，交AB的延长线于点H，则AC2＝(1－y)2+x2=(1+y)2，化简即可得。
(3)设直线的解析式为y=kx+b，则由题意可得：，消去y得：x2-4kx-4b=0，则有，由题设知：
x12+x22-6(x1+x2)=8，即(4k)2+8b-24k=8，且b=-1，则16k2-24k -16=0，解之得：k1=2，k2=，当k1=2、b=-1时，
△＝16k2+16b=64-16>0，符合题意；当k2=，b=-1时，△＝16k2+16b=4-16