2021年九年级中考数学考点训练——函数专题：一次函数综合(四)及答案

这是一份2021年九年级中考数学考点训练——函数专题：一次函数综合(四)及答案，共23页。试卷主要包含了如图，直线l1等内容，欢迎下载使用。

1．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平面四边形，直线l经过O、C两点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（9，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O→C→B相交于点M，当P、Q两点中有一点到达终点时另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．
（1）点C的坐标为 ．直线l的解析式为 ．
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3）随着PQ两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？
2．如图，一次函数y＝k2x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y＝k1x的图象相交于点A（4，3），且OA＝OB．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P在x轴上，且△POA是以OA为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）求出△ABC的面积；
（3）若P（1，m）为坐标系中的一个动点，连结PA，PB．当△ABC与△ABP面积相等时，求m的值．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣2，0）的直线交y轴正半轴于点B（0，4），过点C（0，3）作直线AB的垂线，交x轴于点D．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）连接BD，求△ABD的面积；
（3）点P是x轴上一点，是否存在这样的点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图1，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（6，8）．D是AB边上一点（不与点A、B重合），将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点E处．
（1）求直线AC所表示的函数的表达式；
（2）如图2，当点E恰好落在矩形的对角线AC上时，求点D的坐标；
（3）如图3，当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△OEA的面积．
6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，4）；D为AB边上的动点．
（Ⅰ）如图1，将△ABC对折，使得点B的对应点B落在对角线AC上，折痕为CD，求此刻点D的坐标：
（Ⅱ）如图2，将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，交AC于点E，求直线CD的解析式；
（Ⅲ）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，直线l1：y＝﹣3x+3与x轴交于点A，直线l2经过点B（4，0），C（3，﹣1.5），并与直线l2交于点D．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）求△ABD的面积；
（3）在平面内是否存在点E，使以A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
8．已知，如图直线l1与直线l2分别与x轴交于点A、B，已知OB＝2OA，l1，l2交于第一象限的点C（1，3），且△ABC是等边三角形．
（1）求直线l1与直线l2的解析式；
（2）点D是线段AB上的一动点，过点D作DE∥AC交BC于E，连结DC，当△CDE的面积最大时，求点D的坐标；
（3）取在（2）中△CDE的面积最大时的点D，在直线l1与直线l2上取点M、N，以点D、M、N为顶点构成的△DMN能否构成等腰直角三角形，若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由．
9．如图，点A为平面直角坐标系第一象限内一点，直线y＝x过点A，过点A作AD⊥y轴于点D，点B是y轴正半轴上一动点，连接AB，过点A作AC⊥AB交x轴于点C．
（1）如图1，当点B在线段OD上时，求证：AB＝AC；
（2）①如图2，当点B在OD延长线上，且点C在x轴正半轴上，写出OA、OB、OC之间的数量关系，并说明理由；
②当点B在OD延长线上，且点C在x轴负半轴上，直接写出OA、OB、OC之间的数量关系；
（3）直线BC分别与直线AD、直线y＝x交于点E、F．若BE＝5，CF＝12，画出符合条件的图形，并直接写出AB的长．
10．八年级数学兴趣小组的同学在一起研究数学问题：已知直线y＝2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC，请你参与解决以下问题：
（1）如图1，请求出点C的坐标；
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，设△ABC的面积为S1，△ADE的面积为S2，请判断S1与S2的大小关系，并说明理由；
（3）如图3，设直线AC交x轴于M，P（﹣2.5，k）是线段BC上一点，在线段BM是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：（1）由题意知：点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（9，4），
且OA＝BC，故C点坐标为C（3，4），
设直线l的解析式为y＝kx，
将C点坐标代入y＝kx并解得k＝，
∴直线l的解析式为y＝x；
故答案为：（3，4），y＝x；
（2）根据题意，得OP＝t，AQ＝2t．分三种情况讨论：
①当0＜t≤时，如图1，M点的坐标是（t，t）．
过点C作CD⊥x轴于D，过点Q作QE⊥x轴于E，
则△AEQ∽△ODC，
∴，即，
∴AE＝，EQ＝，
∴Q点的坐标是（6+t，），
∴PE＝6+﹣t＝6+t，
∴S＝•MP•PE＝××（6+）＝+4t；
②当＜t≤3时，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，
∵BQ＝2t﹣5，
∴OF＝9﹣（2t﹣5）＝14﹣2t，
∴Q点的坐标是（14﹣2t，4），
∴PF＝16﹣2t﹣t＝16﹣3t，
∴S＝•MP•PF＝t（14﹣3t）＝﹣2t2+t；
③当点Q与点M相遇时，16﹣2t＝t，解得t＝．
当3＜t＜时，如图3，MQ＝16﹣2t﹣t＝16﹣3t，MP＝4．
S＝MP•MQ＝•4•（16﹣3t）＝﹣6t+32，
∴S＝；
（3）当M点在线段CB上运动时，点Q一定在线段CB上，
①点Q在点M右侧，QM＝xQ﹣xM＝16﹣2t﹣t＝16﹣3t，NM＝NP﹣MP＝t﹣4，
则有16﹣3t＝t﹣4 解得t＝；
②点Q在点M左侧，QM＝xM﹣xQ＝3t﹣16，NM＝NP﹣MP＝t﹣4，
则有3t﹣16＝t﹣4 解得t＝，
但是，点Q的运动时间为（5+8）÷2＝6.5秒，故将②舍去．
当t＝时，△QMN为等腰三角形．
2．解：（1）∵正比例函数y＝k1x的图象经过点A（4，3），
∴4k1＝3，
∴k1＝，
∴正比例函数解析式为y＝x．
如图1中，过A作AC⊥x轴于C，在Rt△AOC中，OC＝4，AC＝3，
AO＝＝5，
∴OB＝OA＝5，
∴B（0，﹣5），
∴，解得，
∴一次函数解析式为y＝2x﹣5；
（2）如图1中，过A作AD⊥y轴于D，
∵A（4，3），
∴AD＝4，
∴S△AOB＝•OB•AD＝×5×4＝10；
（3）如图2中，
当OP＝OA时，P1（﹣5，0），P2（5，0），
当AO＝AP时，P3（8，0），
∴满足条件的点P的坐标（﹣5，0）或（5，0）或（8，0）．
3．解：（1）设直线AB所在的表达式为：y＝kx+b，则，解得，
故直线l的表达式为：y＝﹣x+2；
（2）在Rt△ABC中，
由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴S△ABC＝AB2＝；
（3）连接BP，PO，PA，
①若点P在第一象限时，如图1：
∵S△ABO＝3，S△APO＝m，S△BOP＝1，
∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO＝，
即1+m﹣3＝，解得m＝；
②若点P在第四象限时，如图2：
∵S△ABO＝3，S△APO＝﹣m，S△BOP＝1，
∴S△ABP＝S△AOB+S△APO﹣S△BOP＝，
即3﹣m﹣1＝，解得m＝﹣3，
故当△ABC与△ABP面积相等时，m的值为或﹣3．
4．解：（1）∵B（0，4），A（﹣2，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则，解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4；
（2）将直线AB绕着点O顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D、C，
设直线CD的解析式为：y＝﹣x+b，
∵C（0，3），
∴b＝3，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+3，
令y＝0，可得：x＝6，
∴D（6，0），
∴△ABD的面积＝＝16；
（3）设点P（x，0），
由P、C、D的坐标得：PC2＝x2+9，CD2＝62+32＝45，PD2＝（x﹣6）2，
当PC＝CD时，即x2+9＝45，解得x﹣6或6（舍去）；
当PC＝PD时，同理可得：x＝0；
当CD＝PD时，同理可得：x＝6±3；
综上，点P的坐标为（﹣6，0）或（0，0）或（6+3，0）或（6﹣3，0）．
5．解：（1）∵点B的坐标为（6，8）且四边形OABC是矩形，
∴点A、C的坐标分别为（6，0）、（0，8），
设AC的表达式为y＝kx+b，
把A、C两点的坐标分别代入上式得，解得，
∴直线AC所表示的函数的表达式是；
（2）∵点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，8），
∴OA＝6，OC＝8．
∴Rt△AOC中，AC＝，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，
∵沿CD折叠，
∴∠CED＝90°，BD＝DE，CE＝6，AE＝4，
∴∠AED＝90°，
设BD＝DE＝a，则AD＝8﹣a，
∵Rt△AED中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
∴42+a2＝（8﹣a）2，解得a＝3，
∴点D的坐标为（6，5）；
（3）过点E分别作x、y轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵EN⊥OC，EM⊥OA，OC⊥OA，
∴∠ENO＝∠NOM＝∠OME＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴EM＝ON．
①当EC＝EO时，
∵EC＝EO，NE⊥OC，
∴ON＝OC＝4＝EM，
△OEA的面积＝×OA×EM＝×6×4＝12；
②当OE＝OC时，
∵EN⊥OC，
∴∠ENC＝∠ENO＝90°，
设ON＝b，则CN＝8﹣b，
在Rt△NEC中，NE2＝EC2﹣CN2，
在Rt△ENO中，NE2＝EO2﹣ON2，
即62﹣（8﹣b）2＝82﹣b2，
解得：b＝，
则EM＝ON＝，
△OEA的面积＝×OA×EM＝×6×＝；
故△OEA的面积为12或．
6．解：（Ⅰ）设D（3，b），根据折叠的性质可得B′D＝BD＝4﹣b，
由勾股定理，得
AC＝＝＝5，
由三角形的面积，得S△ACD＝AD•BC＝AC•B′D，即×3b＝×5×（4﹣b）．
解得b＝，即D（3，）；
（Ⅱ）由折叠可知：CD＝AD，
设AD＝x，则CD＝x，BD＝4﹣x，
由题意得，（4﹣x）2+32＝x2，
解得x＝，
此时AD＝，
∴D（3，），
设直线CD为y＝kx+4，
把D坐标代入上式解得k＝﹣，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4；
（Ⅲ）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）；
②当点P在第一象限时，如图1，
由△APC≌△CBA得：AP＝BC＝3，∠CPA＝∠B＝90°，
∠CDB＝∠ADP，
∴△CBD≌△APD（AAS），
∴CD＝AD，BD＝PD，
设：BD＝PD＝x，则CD＝DA＝4﹣x，而BC＝3，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+9，解得：x＝，
则AD＝4﹣x＝，
由S△ADP＝AD×PQ＝DP×AP得：×PQ＝×3，解得：PQ＝，
而AQ＝＝，
故点P的坐标为（，）；
③当点P在第二象限时，如图2，
同理可求得：故点P（﹣，）；
综合得，满足条件的点P有三个，为（0，0）或（，）或（﹣，）．
7．解：（1）设直线l2的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线l2的表达式为y＝1.5x﹣6；
（2）对于y＝﹣3x+3，令y＝0，则﹣3x+3＝0，解得x＝1，故点A（1，0），
则AB＝3，
联立l1、l2的表达式得，解得，
故点D（2，﹣3），
∴△ABD的面积＝×AB×|yD|＝×3×3＝；
（3）存在，理由：
①当AB是边时，
则DE＝AB＝3，
而点D（2，﹣3），故点E（5，﹣3）或（﹣1，﹣3）；
②当AB是对角线时，
由中点公式得：（1+4）＝（2+xE）且（0+0）＝（﹣3+yE），
解得，故点E（3，3），
综上，点E的坐标为（5，﹣3）或（﹣1，﹣3）或（3，3）．
8．解：（1）∵△ABC是等边三角形，故直线AC的倾斜角为60°，
故设直线l1的表达式为y＝x+b，将点C的坐标代入得：3＝+b，解得b＝2，
故直线l1的表达式为y＝x+2，
令y＝0，即y＝x+2＝0，解得x＝﹣2，故点A（﹣2，0），
同理可得直线l2的表达式为y＝﹣x+4，点B（4，0）；
答：直线l1的表达式为y＝x+2，直线l2的表达式为y＝﹣x+4①；
（2）设点D（m，0），
∵DE∥AC，则直线DE表达式中的k值为，
故设直线DE的表达式为y＝x+m②，
联立①②并解得，故点E的坐标为（，）；
则△CDE的面积＝S△BDC﹣S△BDE＝BD×（yC﹣yE）＝×（4﹣m）×（3﹣）＝﹣（m2﹣2m﹣8），
∵﹣＜0，故△CDE的面积有最大值，此时m＝1，即点D（1，0）；
（3）设点M、N的坐标分别为（m，m+2）、（n，﹣n+4）；
①当∠NMD为直角时，MN＝MD，
过点M作y轴的平行线交x轴于点G，交过点N与x轴的平行线于点H，
∵∠HMN+∠HNM＝90°，∠HMN+∠GMD＝90°，
∴∠GMD＝∠HNM，
∵∠MGD＝∠NHM＝90°，
∴△MGD≌△NHM（AAS），
∴GD＝HM，HN＝GM，
即1﹣m＝﹣n+4﹣m﹣2且m+2＝n﹣m，
解得m＝，故点M（，）；
②当∠MND为直角时，
同理可得，点M（，）；
③当∠MDN为直角时，
同理可得：△MGD≌△DHN（AAS），
∴MG＝DN，GD＝HN，
即n﹣1＝m+2且1﹣m＝﹣n+4，
解得m＝，故点M的坐标为（，），
综上，点M的坐标为M（，）或（，）或（，）．
9．解：（1）如图1，过点A作AH⊥x轴于H，
∵直线y＝x过点A，
∴∠AOD＝∠AOH＝45°，
∵AD⊥OB，
∴AD＝AH，
∵∠DOH＝∠ADO＝∠AHO＝90°，
∴四边形ADOH是正方形，
∴∠DAH＝90°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°＝∠DAH，
∴∠DAB＝∠HAC，
∴△ADB≌△AHC（ASA），
∴AB＝AC；
（2）①OA、OB、OC之间的数量关系为：OA＝（OB+OC），
理由是：如图2，过点A作AH⊥x轴于H，
同理得：△ADB≌△AHC（ASA），
∴AB＝AC，BD＝CH，
∴OB+OC＝OD+BD+OH﹣CH＝2OD+BD﹣BD＝2OD，
∴OD＝（OB+OC），
∵△AOD是等腰直角三角形，
∴OA＝OD＝（OB+OC）；
②OA、OB、OC之间的数量关系为：OA＝（OB﹣OC），
理由是：如图3，过点A作AH⊥x轴于H，
方法同（1）得：四边形ADOH是正方形，△ADB≌△AHC（ASA），AB＝AC，BD＝CH，
∴OB﹣OD＝BD＝OC+OH＝CH，即OB﹣OC＝OD+OH＝2OD，
∵△AOD是等腰直角三角形，
∴OA＝OD，
∴OB﹣OC＝2OD＝OA，
即OA＝OA＝（OB﹣OC）；
（3）分三种情况：
①当点B在线段OD上时，
如图4，将△AFC绕点A顺时针旋转90°，AC与AB重合，变为△ABF'，连接EF'，BF'＝CF＝12，
∠ACB＝∠ABC＝∠ABF'＝45°，∠CBF'＝∠ABC+∠ABF'＝90°，
∴∠EBF'＝90°，
∵BE＝5，
∴EF'＝13，
∵∠F'AO＝90°，∠FAE＝∠F'AE＝45°，AE＝AE，AF＝AF'，
∴△AEF≌△AEF'（SAS），
∴EF＝EF'＝13，BF＝EF﹣EB＝13﹣5＝8，BC＝BF+FC＝8+12＝20，
由（1）得：△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝10；
②当点B在OD的延长线上时，且点C在x轴的正半轴上，
如图5，同①，旋转△AFC到△AF'B，∠EBF'＝90°，EF'＝13＝EF，BC＝BE+EF+CF＝5+13+12＝30，
∴等腰直角三角形直角边AB＝＝15；
③当点B在OD的延长线上时，且点C在x轴的负半轴上，
如图6，过B作BF'⊥BE于点B，截取BF'＝CF＝12，连接EF'，AF'，
∵BE＝5，
∴∠ABF'＝∠ACF＝135°，EF'＝13，
∵AB＝AC，
∴△ABF'≌△ACF（SAS），
∴AF'＝AF，∠BAF'＝∠CAF，
∴∠BAC＝∠F'AF＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝45°＝∠EAF'，
∵AE＝AE，
∴△EAF≌△EAF'（SAS），
∴EF＝EF'＝13，EC＝EF﹣CF＝13﹣12＝1，BC＝BE+EC＝1+5＝6，
∴AB＝＝3；
综上，AB的值为10或15或3．
10．解：（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（﹣1，0），
过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠HCB+∠CBH＝90°，∠CBH+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BCH，
∵∠CHB＝∠BOA＝90°，BC＝BA，
∴△CHB≌△BOA（AAS），
∴BH＝OA＝2，CH＝OB，
则点C（﹣3，1）；
（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+b得：，
解得，
故直线AC的表达式为：y＝x+2；
∵AD＝AC，AB⊥BC，则BC＝BD，故S△ABC＝S△ABD，
由C、D的坐标，同理可得直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣…①，则点E（0，﹣），
直线AD的表达式为：y＝﹣3x+2…②，
联立①②并解得：x＝1，即点D（1，﹣1），
点B、E、D的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣）、（1，﹣1），
故点E是BD的中点，
∴S2＝S△ABD＝S△ABC＝S1，
故S1＝2S2；
（3）将点BC的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣，
将点P坐标代入直线BC的表达式得：k＝，
直线AC的表达式为：y＝x+2，则点M（﹣6，0），
S△BMC＝MB×yC＝×5×1＝，
S△BPN＝S△BCM＝＝NB×k＝NB，
解得：NB＝，则ON＝，
∵BN＜BM，故点N在线段MB上，
故点N（﹣，0）．