2021年九年级中考复习数学考点训练——函数专题：一次函数综合(2)

这是一份2021年九年级中考复习数学考点训练——函数专题：一次函数综合(2)，共20页。试卷主要包含了解答下列各题，综合与探究等内容，欢迎下载使用。

1．如图，平面直角坐标系中，CB∥OA，∠OCB＝90°，CB＝2，OC＝4，直线过A点，且与y轴交于D点．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）试说明：AD⊥BO；
（3）若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2．平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点B、A．
（1）点C与点A关于x轴对称，求点C坐标和直线BC的解析式；
（2）如图1，直线BC与直线y＝﹣x交于E点，点P为y轴上一点，PE＝PB，求P点坐标；
（3）如图2，点P为y轴上一点，∠OEB＝∠PEA，直线EP与直线AB交于点M，求M点的坐标．
3．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，过点C作CD⊥x轴于点D，求点C的坐标；
（2）如图2，在x轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图3，点M为直线AB上一动点，点N（4，0）为x轴上一定点，当点M在直线AB上运动时，在y轴上是否存在点Q，使△QMN是以MN为底边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
4．如图1，直线y＝﹣x+6与y轴交于点A，与x轴交于点D，AB平分∠OAD交x轴于点B．
（1）求OB的长；
（2）如图2，G，F是直线AB上的两点（点E在点F上方），若△DEF是以FG为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（3）如图3，点P是直线AB上点，点Q是直线AD上的动点，点G是x轴上的动点，且以点P、Q、D、G为顶点的四边形是菱形，直接写出点G的坐标 ．
5．如图，A、B分别是y轴上位于原点两侧的两点，点P（m，4）在第二象限内，直线PA交x轴于点C（﹣2，0），直线PB交x轴于点D，且S△AOP＝6．
（1）求点A的坐标及m的值；
（2）若3S△AOP＝S△BOP，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，过原点的直线l与直线BD交于点Q，并且把△BOD的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式．
6．解答下列各题．
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
（2）如图2，直线l1与坐标轴交于点A、B，直线l2：y＝﹣2x﹣4经过点A且与直线l1垂直，求直线l1的函数表达式．
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（4，4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝2x﹣2上的动点且在第一象限内．若△CPD成为等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．
7．如图，四边形ABCO是菱形，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．若点A的坐标为（﹣5，12），直线AC与y轴相交于点D，连接BD．
（1）求菱形ABCO的边长；
（2）求DC的值；
（3）直线BD上是否存在一点P使得△BCP的面积与△BCA的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．综合与探究
如图1，一次函数y＝﹣x+6的图象交x轴、y轴于点A，B，正比例函数y＝x的图象与直线AB交于点C（m，3）．
（1）求m的值并直接写出线段OC的长；
（2）如图2，点D在线段OC上，且与O，C不重合，过点D作DE⊥x轴于点E，交线段CB于点F．
请从A，B两题中任选一题作答．我选择 题．
A．若点D的横坐标为4，解答下列问题：
①求线段DF的长；
②点P是x轴上的一点，若△PDF的面积为△CDF面积的2倍，直接写出点P的坐标；
B．设点D的横坐标为a，解答下列问题：
①求线段DF的长，用含a的代数式表示；
②连接CE，当线段CD把△CEF的面积分成1：2的两部分时，直接写出a的值．
9．如图，在平面直角坐标系中，点C（﹣4，0），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足+|OA﹣1|＝0．
（1）写点A、B的坐标及直线AB的解析式；
（2）在x轴上是否存在点D，使以点B、C、D为顶点的三角形的面积S△BCD＝S△ABC？若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、B，与直线OA交于点A，已知点A、C的坐标分别为（4，2），（6，0）．
（1）分别求出直线AB、OA的解析式；
（2）过点B作AO的平行线交x轴于点D，连接AD，求△ABD的面积．
参考答案
1．解：（1）当y＝0时，﹣x+2＝0，
解得x＝4，
∴点A的坐标是（4，0），
过点B作BF⊥AO于F，则四边形BCOF是矩形，
∴OF＝BC＝2，
而OC＝4，
∴点B的坐标为（2，4）；
（2）当x＝0时，y＝﹣×0+2＝2，
∴点D的坐标为（0，2），
∴OD＝BC＝2，
根据（1）的结论，四边形BCOF是矩形，
∴OC＝BF＝4，
∴AO＝OC＝4，
在△AOD与△OCB中，
，
∴△AOD≌△OCB（SAS），
∴∠OAD＝∠COB，
∵∠COB+∠AOB＝90°，
∴∠OAD+∠AOB＝90°，
∴∠AEO＝90°，
∴AD⊥BO；
（3）存在．
∵点N在x轴上，O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴BM∥x轴，且BM＝ON，
根据（1），点B的坐标为（2，4），
∴﹣x+2＝4，
解得x＝﹣4，
∴点M的坐标为（﹣4，4），
∴BM＝2﹣（﹣4）＝2+4＝6，
①点N在点O的左边时，ON＝BM＝6，
∴点N的坐标为（﹣6，0），
②点N在点O的右边时，ON＝BM＝6，
∴点N的坐标为（6，0），
③作N（﹣6，0）关于A对称的点N′，则N′也符合，
点N′的坐标是（14，0），
综上所述，点N的坐标为（﹣6，0）或（6，0）或（14，0）．
2．解：（1）∵直线y＝2x+4①与x轴、y轴分别交于点B、A．
∴A（0，4），B（﹣2，0），
∵直线AB与直线BC关于x轴对称，
∴C（0，﹣4），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x﹣4②；
（2）将②与y＝﹣x联立并解得，
∴E（﹣4，4），
∴AE⊥AO，
设OP＝a，AP＝4﹣a，
在Rt△BOP和Rt△EAP中，
BP2＝4+a2，PE2＝16+（4﹣a）2，
∵PE＝PB，
∴4+a2＝16+（4﹣a）2，
解得a＝3.5．
∴P（0，3.5）；
（3）①如图，当点P在点A的下方，
∵∠OEB＝∠PEA，∠AEO＝45°，
∴∠PEB＝45°，
过点B作BN⊥BE交直线EP于点N，过点N作NQ⊥OB于Q，过点E作EH⊥OB于点H，
∴△EBN为等腰直角三角形，
∴EB＝BN，
∵∠BEH+∠EBH＝90°，∠EBH+∠NBQ＝90°，
∴∠BEH＝∠NBQ，
又∵∠EHB＝∠BQN＝90°，
∴△EHB≌△BQN（AAS），
∴NQ＝BH＝2，BQ＝EH＝4，
∴N（2，2），
由点E、N的坐标得，直线EN的表达式为y＝﹣x+③，
联立①③并解得，
即M（﹣，）；
②P点在A点的上方，
由①知，直线EN的表达式为y＝﹣x+，
令x＝0，则y＝，故OP＝，则AP＝，
∴OP＝，则点P（0，），
由点E、P的坐标得，直线EP的解析式为y＝x+④，
联立①④并解得，
∴M（0.8，5.6）．
综合以上可得点M的坐标为（﹣，）或（0.8，5.6）．
3．解：（1）∵∠CAD+∠BAO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CAD＝∠ABO，
∴∠ADC＝∠BOA＝90°，AB＝AC，
∴△ADC≌△BOA（AAS），
∴AD＝OB＝6，CD＝OA＝3，
故点C的坐标为（﹣9，3）；
（2）设点P（x，0），
由点A、B、P的坐标得：AP2＝（x+3）2，PB2＝x2+36，AB2＝45，
当PA＝PB时，即（x+3）2＝x2+36，解得x＝4.5；
当PA＝AB时，同理可得x＝﹣3±3；
当PB＝AB时，同理可得x＝3或﹣3（舍去），
故点P的坐标为（4.5，0）或（﹣3+3，0）或（﹣3﹣3，0）或（3，0）；
（3）存在，理由：设点M（m，2m+6），点Q（0，n），
过点Q作x轴的平行线交过点M与y轴的平行线于点G，交过点N与y轴的平行线于点H，
∵△QMN是以MN为底边的等腰直角三角形，则MQ＝NQ，∠MQN＝90°，
则∠MQG+∠NQH＝90°，∠NQH+∠QNH＝90°，
∴∠MQG＝∠QNH，
∵∠MGQ＝∠QHN＝90°，MQ＝NQ，
∴△MGQ≌△QHN（AAS），
∴MG＝QH，GQ＝NH，
即|2m+6﹣n|＝4，﹣m＝|n|，
则2m+6﹣n＝4，﹣m＝﹣n或n﹣2m﹣6＝4，﹣m＝n，
解得，
故点Q的坐标为（0，﹣2）或（0，）．
4．解：（1）对于直线y＝﹣x+6，令x＝0，得到y＝6，可得A（0，6），
令y＝0，得到x＝8，可得D（8，0），
∴AC＝AO＝6，OD＝8，AD＝＝10，
∴CD＝AD﹣AC＝4，设BC＝OB＝x，则BD＝8﹣x，
在Rt△BCD中，∵BC2+CD2＝BD2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴B（3，0），
故OB＝3；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+6，
∵B（3，0），
∴3k+6＝0，
∴k＝﹣2，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+6，
作GM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，
∵△DFG是等腰直角三角形，
∴DG＝FD，∠1＝∠2，∠DMG＝∠FND＝90°，
∴△DMG≌△FND（AAS），
∴GM＝DN，DM＝FN，设GM＝DN＝m，DM＝FN＝n，
∵G、F在直线AB上，
则：m＝﹣2（8﹣n）+6，﹣n＝﹣2（8﹣m）+6，
解得：m＝2，n＝6
∴F（6，﹣6）；
（3）点D（8，0），设点G（x，0），Q（m，﹣m+6），P（n，﹣2n+6），
当以点P、Q、D、G为顶点的四边形是菱形时，yP＝yQ，即﹣m+6＝﹣2n+6），则3m＝8n①，
①当点P在点Q的左侧时，
∴GP∥QD，过点P作PH⊥x轴于H，
在Rt△AOD中，tan∠ADO＝＝，则cs∠ADO＝＝cs∠HGD，
则GP＝＝＝（n﹣x），
∵以点P、Q、D、G为顶点的四边形是菱形，
∴PQ＝GD，GD＝GP，
则m﹣n＝8﹣x②，|8﹣x|＝（n﹣x）③，
联立①②③并解得：x＝﹣2或；
②当点Q在点P的右侧时，
同理可得：m﹣n＝x﹣8④，
联立①③④并解得x＝33或，
综上，点G的坐标为（﹣2，0）或（，0）或（33，0）或（，0），
故答案为（﹣2，0）或（，0）或（33，0）或（，0）．
5．解：（1）∵C（﹣2，0），
∴OC＝2，
∵P的纵坐标是4，
∴S△COP＝×2×4＝4，
∵S△AOP＝6，
∴S△AOC＝6﹣4＝2，
∴OA•OC＝2，即×OA×2＝2，
∴OA＝2，
∴A的坐标是（0，﹣2）．
∴S△AOP＝OA•|m|＝6，
∴|m|＝6，
∵点P（m，4）在第二象限内，
∴m＝﹣6．
（2）∵3S△AOP＝S△BOP，
∴OB＝3OA＝3×2＝6，
∴B（0，6），
设直线BD的解析式为y＝kx+6，把P（﹣6，4）代入得，4＝﹣6k+6，
解得k＝，
∴直线BD的解析式为y＝x+6；
（3）由直线y＝x+6可知D（﹣18，0），
∵过原点的直线l与直线BD交于点Q，并且把△BOD的面积分为2：1的两部分，
∴Q（﹣12，2）或（﹣6，4），
设直线l的解析式为y＝ax，
则2＝﹣12a或4＝﹣6a，
解得a＝﹣或a＝﹣，
∴直线l的解析式为y＝﹣x或y＝﹣x．
6．（1）证明：如图1所示：
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC＝180°，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BEC＝90°，
又∵∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）解：设直线l2交y轴于点C，
对于l2：y＝﹣2x﹣4，令x＝0，则y＝﹣4，令y＝﹣2x﹣4＝0，则x＝﹣2，
故点A、C的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣4），
设点B的坐标为（0，m），
由勾股定理得：BC2＝AB2+AC2，即（m+4）2＝（﹣2）2+22+（﹣4）2，
解得m＝1，故点B（0，1），
设直线AB的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故l1的表达式为y＝x+1；
（3）解：①当点D在四边形OABC内部时，如图3，过点D作MN∥x轴交OC于点M，交AN于点N，
∴∠CMD＝∠PND＝90°，
∵∠CDP＝90°，
∴∠CDM+∠CDM＝90°，
∴∠MCD＝∠PDN，
∴△CDM≌△DPN（AAS），
∴CM＝DN，MD＝PN，
∵点D在直线y＝2x﹣2上，故设点D（m，2m﹣2），
∵点B（4，4），
∴DM＝PN＝m，
设CM＝ND＝n，则，
解得，
故点D的坐标为（2，2）；
②当点D在四边形OABC的外部时，如图4，过点D作MN∥x轴，交y轴于点M，交AB的延长线于点N，
∴∠CMD＝∠DNA＝90°，CD＝DP，
∵∠CDP＝90°，
∴∠MDC+∠NDP＝90°，
又∵∠NDP+∠DPB＝90°，
∴∠MDC＝∠DPB，
在△MDC和△NPD中，
，
∴△MDC≌△NPD（AAS），
∴MC＝DN，MD＝NP，
∵点D在直线y＝2x﹣2上，故设点D（a，2a﹣2），
而点B（4，4），
设CM＝DN＝b，
∴MD＝NP＝2，
则，解得，
故点D（，），
故点D的坐标为（2，2）或（，）．
7．解：（1）∵四边形ABCO为菱形，
∴AB∥CO，
∴∠AEO＝∠EOC＝90°，
在Rt△AEO中，OA＝＝＝13，
∴菱形ABCO的边长为13；
（2）∵四边形ABCO为菱形，
∴OC＝OA＝AB＝13，
∴BE＝AB﹣AE＝13﹣5＝8，
∴点B坐标为（8，12），点C的坐标为（13，0），
设AC所在直线为 y＝kx+b，
根据题意得，解得，
∴AC所在直线为y＝﹣x+①，
∴当x＝0时，y＝；
∴点D的坐标为（0，），
∵点C的坐标为（13，0），
故CD＝＝；
（3）存在，理由：
由B、D的坐标得：BD所在直线为y＝x+；
①当点P在BD的上方时，
过点E作PE∥BD，则△PBD与△EBD的面积相等，
如图，PE∥BD，
设直线PE的解析式为y＝x+t，将点E的坐标代入上式并解得t＝12，
故直线PE的表达式为y＝x+12②；
联立①②并解得，
即点P的坐标为（﹣，）；
②当点P位于直线BD下方时，
同理可得点P的坐标是（，）．
综上所述，点P的坐标为（﹣，）或（，）．
8．解：（1）∵点C（m，3）在函数y＝x的图象上，
∴m＝3，
解得m＝6，
∴C（6，3），
∴OC＝＝3，
∴线段OC的长为3；
（2）A．①∵点D在线段OC上，
∴将x＝4代入y＝x中，得y＝2，
∴点D的坐标为（4，2）
∵DE⊥x轴，
∴DE＝2，
∵DE交线段CB于点F，将x＝4代人y＝﹣x+6中，得y＝4，
∴点F的坐标为（4，4），
∴FE＝4，
∴DF＝FE﹣DE＝4﹣2＝2，即DF＝2；
②∵S△CDF＝×（6﹣4）＝2，△PDF的面积为△CDF面积的2倍，
∴S△PDF＝2×2＝4，
∴DF•PE＝4，
∴＝4，
∴PE＝4，
∵点D的坐标为（4，2），
∴E（4，0），
∴点P的坐标为（0，0）或（8，0）；
B．①∵点D在线段OC上，
∴将x＝a代入y＝x中，得y＝a，
∴点D的坐标为（a，a），
∵DE⊥x轴，
∴DE＝a，
∵DE交线段CB于点F，将x＝a代入y＝﹣x+6中，得y＝﹣a+6，
∴点F的坐标为（a，﹣+6），
∴EF＝﹣a+6，
∴DF＝FE﹣DE＝﹣a+6﹣a＝﹣a+6；
②线段CD将△CEF的面积分成1：2的两份时，则＝或＝2，
∴＝或＝2，
解得a的值为或3．
9．（1）依题意得OB2﹣4＝0，OA﹣1＝0，
∴OB＝2，OA＝1，
∴A的坐标为（1，0），B的坐标为（0，2），
设AB的解析式为y＝kx+2 将A坐标代入得0＝k+2，
∴k＝﹣2
∴y＝﹣2x+2；
（2）存在，
设D的坐标为（x，0），
∵A的坐标为（1，0），B的坐标为（0，2），点C（﹣4，0），
∴AC＝5，
∴S△ABC＝＝5，
∵S△BCD＝S△ABC，
∴S△BCD＝＝，即|x﹣（﹣4）|×2＝，
∴|x+4|＝，
∴x＝﹣或x＝﹣，
∴D的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）．
10．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（4，2），C（6，0）代入得，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；
设直线OA的解析式为y＝ax，
代入A（4，2）得，2＝4a，解得a＝，
∴直线OA的的解析式为y＝；
（2）∵直线AB的解析式为y＝﹣x+6，
∴B（0，6），
∴OB＝6，
∵直线BD与直线OA平行，
∴直线BD为y＝x+6，
令y＝0，则求得x＝﹣12，
∴D（﹣12，0），
∴S△ABD＝S△BCD﹣S△ADC＝×12×6＝36．