初中数学人教版八年级下册18.2.1 矩形导学案及答案

第6课时　矩形的性质

1.掌握矩形的性质定理及推论.

2.能熟练运用矩形的性质进行有关证明和计算.

3.通过探究平行四边形与矩形的区别与联系，体会特殊与一般的关系.

矩形的性质定理及推论.

利用矩形的性质进行证明和计算.

一、情景导入，感受新知

已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质.大家还记得平行四边形都有哪些特殊的性质吗？

同样对于平行四边形来说也有一些特殊情况，今天我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形.利用多媒体展示一组生活中的图片，观察图中有哪些图形是矩形？你能说说为什么吗？

二、自学互研　生成新知

【自主探究】

阅读教材P52～53，思考下列问题：

问题1：思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，它还是一个平行四边形吗？为什么？(动画演示拉动过程如图)

问题2：再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？

归纳：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

问题3：在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线)，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.

(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？

(2)当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？

归纳：性质1，矩形的四个角都是直角.

符号语言：

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.

【合作探究】

问题4：如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，由矩形是特殊的平行四边形可知，AC和BD互相平分，请你通过测量，看看AC和BD之间有什么样的数量关系，并证明你的结论.

解：AC＝BD.

证明：因为四边形ABCD是矩形.

所以AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，BC＝CB.

所以△ABC≌△DCB(SAS)，所以AC＝DB.

归纳：性质2：矩形的对角线相等.

符号语言：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD.

问题5：如图，一张矩形纸片沿着对角线剪去一半，你能得到什么结论？

Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？一般地，这个结论对所有直角三角形都成立吗？

归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

符号语言：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，

∴CD＝AB.

【师生活动】

①明了学情：关注学生对矩形性质的理解与掌握.

②差异指导：对学生在探究中存在的疑惑及时引导与点拨.

③生生互助：在独立思考的基础上，小组内交流讨论，相互释疑.

三、典例剖析　运用新知

【合作探究】

例1：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4.求矩形对角线的长.

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC与BD相等且互相平分.

∴OA＝OB.

又∠AOB＝60°，

∴△OAB是等边三角形.

∴OA＝AB＝4.

∴AC＝BD＝2OA＝8.

例2：已知，如图，矩形ABCD中，AB＝8 cm，对角线BD比AD边长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.

解析：因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法.

解：设AD＝x cm，则对角线BD长为(x＋4) cm，在Rt△ABD中，由勾股定理得x2＋82＝(x＋4)2，解得x＝6.则AD＝6 cm.故BD＝10 cm.

利用三角形面积公式，可得到AE×DB＝AD×AB，解得AE＝4.8 cm.

四、课堂小结　回顾新知

师生归纳总结：

五、检测反馈　落实新知

1.下列说法错误的是(C)

A.矩形的对角线互相平分

B.矩形的对角线相等

C.有一个角是直角的四边形是矩形

D.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

2.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有(B)

A.2对　　　B.4对　　　C.6对　　　D.8对

3.(宁波中考)如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是(B)

A.2.5  B.  C.  D.2

,(第3题图)　　,(第4题图)

4.已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，若AE＝BC.求证：CE＝EF.

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，且AD∥BC，∴∠1＝∠2.

∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°.

∴∠B＝∠AFD.又AD＝AE，

∴△ABE≌△DFA(AAS).

∴AF＝BE，∴EF＝EC.

六、课后作业　巩固新知