初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形学案

第10课时　正方形

1.掌握正方形的概念、性质和判定方法，并会运用它们进行有关的论证和计算.

2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.

正方形的定义、性质及判定方法.

正方形的性质与判定定理的灵活运用.

一、情景导入，感受新知

相框、信封、明信片、田字格，还有在中国流传了数百年的神奇玩具——华容道、七巧板，都有矩形和正方形的影子，同时正方形也是最完美的图形之一.你能说说正方形和前面学习的平行四边形、矩形、菱形在角和边的关系上有哪些异同吗？

二、自学互研　生成新知

【自主探究】

阅读教材P58～59内容，完成下面问题：

操作：将一张矩形纸片沿图①中所示的箭头方向折叠，然后沿虚线剪开，所得的四边形ABCD是__正方形__.其中的依据是有一组邻边__相等__的__矩形__是正方形或有一个角是__90°__的__菱形__是正方形.

问题1：现在，你对正方形有哪些新的认识？

问题2：什么样的四边形是正方形呢？

展示平行四边形、菱形、矩形、正方形四种图形的包含关系图，如图，引导学生回顾正方形的定义和性质，并说出这几种图形之间的联系与区别.

问题3：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形.类比矩形、菱形的性质，你觉得正方形有哪些性质？正方形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？

归纳：由于正方形既是矩形又是菱形，所以正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质.

【合作探究】

问题4：类比矩形、菱形的判定，你觉得什么样的图形是正方形？

怎样判定一个矩形是正方形？

怎样判定一个菱形是正方形？

怎样判定一个平行四边形是正方形？

【师生活动】

①明了学情：关注学生对正方形性质和判定的理解与掌握.

②差异指导：对探究中存在困难的学生及时引导点拨.

③生生互助：学生小组内交流，相互释疑.

三、典例剖析　运用新知

【合作探究】

例：已知，如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.

求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AC＝BD，AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO.

∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.

变式1　已知：如图正方形ABCD，对角线AC，BD交于点O，AC＝4.

则(1)图中∠BAC＝__45°__，∠AOB＝__90°__.

(2)与OA相等的线段有__OB，OD，OC__，AB＝__2__.

(3)正方形的周长是__8__，面积是__8__.

【师生活动】

引导学生观察、分析、类比、猜想，然后小组内交流讨论，相互释疑，形成统一认识，体验知识的生成过程，通过变式训练，为学生提供充分发挥创造力的空间.

四、课堂小结　回顾新知

(1)本节课学习了哪些内容？

(2)正方形与平行四边形、矩形、菱形之间有什么联系与区别？它有什么性质？怎样判定？

(3)回忆从平行四边形到矩形、菱形再到正方形的学习过程，我们研究这些图形的次序是什么？其中体现了什么思想？

五、检测反馈　落实新知

1.下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是(B)

A.平行四边形　　　　　　　B.正方形

C.菱形                                        D.矩形

2.在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(D)

A.∠D＝90°  B.AB＝CD

C.AD＝BC  D.BC＝CD

3.(长春中考)如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为__5__.

,(第3题图)　　,(第4题图)

4.如图所示，已知▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形.

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形.

证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝CO.又∵△ACE是等边三角形，

∴EO⊥AC，即DB⊥AC，

∴▱ABCD是菱形.

(2)∵△ACE是等边三角形，∴∠AEC＝60°.

∵EO⊥AC，∴∠AEO＝∠AEC＝30°.

∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，

∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，

∴菱形ABCD是正方形.

六、课后作业　巩固新知