初中数学人教版八年级下册18.2.1 矩形学案

第5课时　三角形的中位线

1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质.

2.能较熟练地应用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算.

三角形中位线的性质定理及其运用.

灵活运用三角形中位线性质进行证明与运算.

一、情景导入，感受新知

如图，A，B两点被池塘隔开，现在要测量出A，B两点的距离，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点D，E，如果能测量出DE的长度，也就能知道A，B两点间的距离了.这是什么道理呢？本节课我们就来探究其中的学问.

二、自学互研　生成新知

【自主探究】

阅读教材P47～48，思考下列问题：

问题1：将任意一个三角形分成两个全等的三角形，你是如何切割的？(学生尝试回答，答案如图)

图中有几个平行四边形？你是如何判断的？你发现DE与BC从位置和数量上有何关系？你能说明为什么吗？

问题2：准备一张三角形纸片，记作△ABC，分别取AB，AC边的中点D，E.

(1)用直尺分别测量DE，BC的长，比较DE，BC的大小关系，并猜想DE，BC之间存在怎样的数量关系？

(2)借助量角器测量有关角的大小，并猜想DE，BC之间的位置关系.

【合作探究】

问题3：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

思考：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？

问题4：你能通过剪拼的方式，将任意一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？

思考：若四边形BCFD是平行四边形，那么DE与BC有什么位置和数量关系呢？

猜想：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

证明：如图，延长DE到点F，使DE＝EF，连接CF.

在△ADE和△CFE中，∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF，DE＝FE，

∴△ADE≌△CFE，∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，∴CF∥AB.

∵BD＝AD，∴BD＝CF，∴四边形DBCF是平行四边形.

∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝BC.

归纳：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

图形与符号语言：

如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，

∴DE∥BC，DE＝BC.

【师生活动】

①明了学情：关注学生对中位线定理的理解和掌握.

②差异指导：对学生在探究中存在的困惑，及时引导、点拨.

③生生互助：学生先独立动手操作、猜想然后小组合作完成验证.

三、典例剖析　运用新知

【合作探究】

例1：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.

求证：四边形EFGH是平行四边形.

证明：连接AC，在△DAC中，

∵AH＝HD，CG＝GD，

∴HG∥AC，HG＝AC(三角形中位线性质).

同理EF∥AC，EF＝AC.

∴HG∥EF，且HG＝EF.

∴四边形EFGH是平行四边形.

总结：由此题可得结论，顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.

变式

已知，如图，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.

(提示：连接AC，或连接BD)

四、课堂小结　回顾新知

这节课大家通过自学和小组合作，相信每个同学都有所收获，整理一下本节课的所学，写在练习本上.

我掌握的概念： _________________________________________；

我探索的定理： _______________________________________________；

我学会的方法：_______________________________________________；

我还懂得了： _________________________________________________.

学生写完后，全班交流各自的收获和心得，教师及时点评、鼓励.

五、检测反馈　落实新知

1.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是(B)

A.5　　B.10　　C.15　　D.20

2.如图，在▱ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为__6__.

,(第2题图)　　,(第3题图)

3.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN＝20 m，那么A，B两点间的距离是__40__ m，理由是__MN是△ABC的中位线__.

4.如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论.

解：AB∥OF，AB＝2OF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，∴AB＝CE.在△ABF和△ECF中，∴△ABF≌△ECF(ASA)，

∴BF＝CF.∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB∥OF，AB＝2OF.

六、课后作业　巩固新知