人教版第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形精品综合训练题

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18.2.1.1 矩形翻折模型

问题：根据已知信息，求翻折后各边长。
模型一： 思路：

模型二： 思路：






模型三： 思路：









模型四： 思路：







模型五： 思路：








模型六：点M,点N分别为DC，AB中点 思路：






 
一、单选题
1．（2022春·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（   ）

A．1 B．43 C．32 D．53
【答案】D
【分析】设CE=x，则BE=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可．
【详解】解：设CE=x，则BE=3-x，
由折叠性质可知，
EF=CE=x，DF=CD=AB=5
在Rt△DAF中，AD=3，DF=5，
∴AF=，
∴BF=AB-AF=5-4=1，
在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
即(3-x)2+12=x2，
解得x=53，
故选：D．
【点睛】本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．
2．（2022秋·浙江·八年级期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F，且AG=GE，则BM的长度是（    ）

A． B．4 C．245 D．5
【答案】C
【分析】由ASA证明△GAM≌△GEF（ASA），得出GM=GF，AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，因此DF=8-x，CF=x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：设BM=x，
由折叠的性质得：∠E=∠B=90°=∠A，
在△GAM和△GEF中，∠A=∠EAG=GE∠AGM=∠EGF，
∴△GAM≌△GEF（ASA），
∴GM=GF，
∴AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，
∴DF=8-x，CF=8-（6-x）=x+2，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+2）2=（8-x）2+62，
解得：x=245，
∴BM=245．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠有性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
3．（2022春·广东广州·八年级校考期中）如图，折叠矩形ABCD，使点D落在点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长（     ）

A．5cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【分析】根据矩形及折叠的性质可得AD=AF=BC=10cm，AB=CD=8cm，在Rt�ABF中，利用勾股定理得出BF=6cm，CF=4cm，在Rt�ECF中，设EC=xcm，则DE=8-xcm，继续利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，且经过折叠，AB=8cm，BC=10cm，
∴AD=AF=BC=10cm，AB=CD=8cm，
在Rt�ABF中，
BF=AF2-AB2=102-82=6cm，
CF=BC-BF=4cm，
在Rt�ECF中，设EC=xcm，则DE=8-xcm，
∴EF=DE=8-xcm，
∴FC2+EC2=EF2即42+x2=8-x2，
解得：x=3cm，
即EC=3cm，
故选：C．
【点睛】题目主要考查矩形及折叠的性质、勾股定理的应用，理解题意，结合图形，熟练运用勾股定理是解题关键．
4．（2022秋·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，长方形ABCD中，AD=BC=6，AB=CD=10，点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD'E关于直线AE对称，当△AD'B为直角三角形时，DE的长为(　　)

A．2或8 B．83或18 C．83或2 D．2或18
【答案】D
【分析】分两种情况： 当E点在线段DC上时， 当E点在线段DC的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质得出答案即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当E点在线段DC上时，
∵△AD'E≌△ADE，
∴∠AD'E=∠D=90°，

∵∠AD'B=90°，
∴∠AD'B+∠AD'E=180°，
∴B、D'、E三点共线，
∵S△ABE=12BE⋅AD'=12AB⋅AD，AD'=AD，
∴BE=AB=10，
∵BD'=AB2-AD'2=102-62=8，
∴DE=D'E=10-8=2；
②当E点在线段DC的延长线上时，如下图，

∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°，
∴∠CBE=∠BAD″，
在△ABD″和△BEC中，
∵∠D″=∠BCEAD″=BC∠BAD″=∠CBE，
∴△ABD″≌△BEC，
∴BE=AB=10，
∵BD″=102-62=8，
∴DE=D″E=BD″+BE=8+10=18，
综上所知，DE=2或18，
故选：D．
【点睛】本题考查翻折的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、掌握翻折的性质、分类探讨的思想方法是解决问题的关键．
5．（2022春·广东广州·八年级校考期中）如图，将边长分别是4，8的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则的长是（    ）

A．2 B．3 C．10 D．4
【答案】B
【分析】由折叠的性质可得出AF＝CF，设BF＝m，则AF＝8−m，在Rt△ABF中，利用勾股定理可得出关于m的方程，解之即可得出结论．
【详解】解：由折叠的性质可知：AF＝CF．
设BF＝m，则AF＝CF＝8−m，
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，AB＝4，BF＝m，AF＝8−m，
∴AF2=AB2+BF2 ，即8-m2=42+m2 ，
∴m＝3．
故选：B．
【点睛】本题考查了翻转变换、矩形的性质以及勾股定理，在Rt△ABF中，利用勾股定理找出m（AF的长）的方程是解题的关键．
6．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，如果设折痕为EF，那么重叠部分△AEF的面积等于（   ）cm2

A． B．758 C．7316 D．7516
【答案】D
【分析】由矩形及折叠的性质可得AE=AF，再由勾股定理可求得AE的长，从而可求得重叠部分的面积．
【详解】∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠AFE=∠FEC
由折叠的性质知：∠AEF=∠FEC，AE=CE
∴∠AFE=∠AEF
∴AE=AF
设BE=xcm，则AE=CE=(4-x)cm
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
解得：x=78
∴AE=AF=4-78=258(cm)
∴S△AEF=12AFAB=12×258×3=7516(cm2)
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，运用勾股定理建立方程求得AE的长是解题的关键．
7．（2022春·山西运城·八年级统考期中）如图，在长方形ABCD中，cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△BEF的面积为（    ）

A．6 B．7.5 C．10 D．12
【答案】B
【分析】由折叠的性质可得∠G=∠C=90°，BG=CD=3cm，GF=CF，设BF=xcm，则GF=CF=（9-x）cm，Rt△BGF中由勾股定理建立方程求解即可解答；
【详解】解：如图，C点翻折后对应的点为G，

长方形ABCD中，AB=CD=3cm，AD=9cm，∠C=90°，
根据翻折可得：∠G=∠C=90°，BG=CD=3cm，GF=CF，
设BF=xcm，则GF=CF=（9-x）cm，
在Rt△BGF中，根据勾股定理得：
32+（9-x）2=x2，解得x=5，
∴S△BEF=12BF·AB=12×5×3=7.5(cm2)，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．
8．（2022秋·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A(4,0)，，，将沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与BC交于点E，则点D的纵坐标为（　　）

A．165 B．125 C．95 D．4
【答案】A
【分析】根据矩形的性质结合折叠的性质可得出∠EOB=∠EBO，进而可得出OE=BE，设点E的坐标为(m,2)，则，CE=m，利用勾股定理即可求出m值，再根据点E的坐标，过点D作DF⊥CB轴于点F，利用，可以求出DF的长，进而可以解决问题．
【详解】解：，，，，
∴四边形OABC为矩形，
．
，
∴∠EOB=∠EBO，
∴OE=BE．
设点E的坐标为(m,2)，则，CE=m，
在中，OC=2，CE=m，，
∴4-m2=22+m2，
∴m=32，
∴点E的坐标为32,2．
，
，
如图，过点D作DF⊥CB轴于点F，

由翻折得：BD=AB=2，，
，
，
，
，
即点D的纵坐标为165．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，图形的折叠，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，图形的折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
9．（2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，连结EF，若AB＝6，BC＝46，则FD的长为(   )

A．2 B．4 C．6 D．2
【答案】B
【详解】试题分析：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴AE=EG，AB=BG，∴ED=EG，∵在矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴∠EGF=90°，在Rt△EDF和Rt△EGF中，∵ED=EG，EF=EF，∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），∴DF=FG，设DF=x，则BF=6+x，CF=6﹣x，在Rt△BCF中，(46)2+(6-x)2=(6+x)2，解得x=4．故选B．

10．（2022春·山西吕梁·八年级统考期中）如图，已知矩形纸片ABCD中，AB＝15，AD＝10，点E在BC边上，将△ABE沿BE折叠，点A落在点F处，此时点F到CD的距离为1，到AD的距离为3，则AE的长为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】过点F作FG⊥CD于G，过点F作FH⊥AD于H，则FGDH是矩形，FG=1，FH=3；设AE=x，则EF=x，EH=9－x，在Rt△EHF中由勾股定理建立方程求解即可；
【详解】解：如图，过点F作FG⊥CD于G，过点F作FH⊥AD于H，

ABCD是矩形，则∠D=90°，
FG⊥CD，FH⊥AD，则FGDH是矩形，
∴HD=FG=1，FH=3，
设AE=x，则EF=x，EH=AD－HD－AE=9－x，
Rt△EHF中，EF2=EH2+FH2，
x2=9-x2+9，
解得：x=5，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理；正确作出辅助线由勾股定理得到含有参数的方程是解题关键．
二、填空题
11．（2022春·山东泰安·八年级东平县实验中学校考开学考试）如图，在长方形ABCD中，AB=10，BC=8，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为______．

【答案】203##623
【分析】证明，根据全等三角形的性质得到OP=OG，PD=GE，根据翻折变换的性质用x表示出PD、OP，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，，
由折叠的性质可知，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=10，
在和中，
，
，
，PD=GE，
，
设AP=EP=x，则PD=GE=8-x，DG=x，
，BG=10-(8-x)=2+x，
根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，
即82+(10-x)2=(x+2)2，
解得：x=203，
∴AP=203，
故答案为：203．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质．
12．（2022春·上海·八年级上海市进才中学校考期中）如图，已知矩形ABCD的长AD=9，，将其折叠，使点D与点B重合，求折叠后折痕EF的长是______．

【答案】10
【分析】作FM⊥AD于M，设AE=x，则BE=DE=BF=9-x，根据勾股定理得：AB2+AE2=BE2，建立方程，解方程求得AE，即可求得EM，勾股定理即可求解
【详解】作FM⊥AD于M，如图所示：

则∠FME=90°，FM=AB=3，根据题意得：BE=DE，∠BEF=∠DEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BF=BE，
设AE=x，则BE=DE=BF=9-x，
根据勾股定理得：AB2+AE2=BE2，
即32+x2=9-x2，解得：x=4，
∴AE=4，
∴DE=BF=5，
∴CF=DM=4，
∴EM=1，
根据勾股定理得：EF=32+12=10，
故答案为：10.
【点睛】本题考查了矩形折叠问题，利用勾股定理建立方程是解题的关键．
13．（2022春·湖南娄底·八年级统考期中）如图，有一张长方形片ABCD，AB=8cm，BC=10cm．点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边恰好经过点D，则线段DE的长为________cm．

【答案】5
【分析】根据折叠的性质得到线段和角相等，然后在Rt△AB'D中，由勾股定理求出B'D的长，则可得出C'D的长，再在Rt△EC'D利用勾股定理进行计算即可求DE的长.
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC=10,CD=AB=8,∠B=∠C=90°.
根据折叠的性质,得AB=AB'=8, CE=C'E =8-DE, B'C'=CB=10,∠B' =∠B=90°.
在Rt△AB'D中,由勾股定理，得B'D =AD2-AB'2=6.
∴C'D =10-6=4.
在Rt△EC'D中,由勾股定理，得C'E2+C'D2=DE2.
∴（8-DE）2+42=DE2.
解得DE=5.
故答案是：5.
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
14．（2022·全国·八年级假期作业）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE，将△ABE沿AE翻折，点B的对应点为F．若线段AF的延长线经过矩形一边的中点，AB=2，AD=4，则BE长为_________．

【答案】22-2或17-12或2
【分析】主要分三种情况进行讨论：①当线段AF的延长线AG经过BC的中点时，②当线段AF的延长线经过AD的中点时，③当线段AF的延长线AG经过CD的中点时，进行一一求解即可．
【详解】解：分三种情况讨论，
①当线段AF的延长线AG经过BC的中点时，如图1，此时BG=CG=2，

         图1
由折叠的性质可得：AF=AB=2，∠AFE=∠B=90°，
∵Rt△ABG中，AB=BG=2，
∴AG=22，∠AGB=45°，
∴FG==AG-AF=22-2，EF=FG，
∴BE=EF=FG=22-2；
②当线段AF的延长线经过AD的中点时，如图2，此时BE=CE=2，

           图2
由折叠的性质可得：AF=AB=2，∠AFE=∠B=90°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BE=AF=2，
③当线段AF的延长线AG经过CD的中点时，如图3，此时DG=CG=1，

           图3
由折叠的性质可得：AF=AB=2，∠AFE=∠B=90°，
∵Rt△ADG中，AD=4，DG=1，
∴AG=AD2+DG2=42+12=17，
∴FG=AG-AF=17-2，
设BE=x，则EF=x，CE=4-x，
∵EG2=EF2+FG2,EG2=EC2+CG2，
∴EF2+FG2=EC2+CG2，
∴17-22+x2=12+4-x2，
解得：x=17-12，
∴BE=17-12，
故答案为：22-2或17-12或2．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质是解决本题的关键．
15．（2022春·广东深圳·八年级深圳市光明区公明中学校考期中）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于_____．

【答案】10
【分析】要求重叠部分△AEF的面积，选择AF作为底，高就等于AB的长；而由折叠可知∠AEF=∠CEF，由平行得∠CEF=∠AFE，代换后，可知AE=AF，问题转化为在Rt△ABE中求AE的长，进而可得出△AEF的面积．
【详解】解：设AE＝x，由折叠可知，EC＝x，BE＝8－x，
在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即42＋（8－x）2＝x2，
解得：x＝5，
由折叠可知∠AEF＝∠CEF，
∵AD//BC，
∴∠CEF＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠AFE，即AE＝AF＝5，
∴S△AEF=12×AF×AB=12×5×4＝10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应角相等．
三、解答题
16．（2022秋·全国·八年级阶段练习）如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．

【答案】30．
【分析】根据折叠的过程以及矩形的对边相等，得：AF＝AD＝BC，DE＝EF．然后根据勾股定理求得CF的长，再设BF＝x，即可表示AF的长，进一步根据勾股定理进行求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
由折叠可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称，
故AF＝AD，EF＝DE＝DC﹣CE＝8﹣3＝5cm．
在△CEF中，CF＝EF2-CE2=4cm，
设BF＝xcm，则AF＝AD＝BC＝（x+4）cm．
在Rt△ABF中，由勾股定理，得82+x2＝（x+4）2．
解得x＝6，故BC＝10．
所以阴影部分的面积为：10×8﹣2S△ADE＝80﹣50＝30（cm2）．
【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，矩形的性质，折叠的性质，正确分析图形得到直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键．
17．（2022春·安徽亳州·八年级校考期中）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E、F分别在边AD和边BC上，连接EF，将纸片沿EF折叠．

(1)如图（1），若点B落在边AD的延长线上的点G处，求证：GE＝GF；
(2)如图（2），若点B落在边CD的中点M处，求BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)203

【分析】（1）由折叠的性质及矩形的性质得出∠GEF＝∠EFG，则可得出结论；
（2）设BF＝x，由勾股定理得出（12−x）2＋42＝x2，求出x可得出答案．
（1）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠GEF＝∠BFE，
∵将纸片沿EF折叠．
∴∠BFE＝∠EFG，
∴∠GEF＝∠EFG，
∴GE＝GF；
（2）
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝12，AB＝CD＝8，
∵M是CD的中点，
∴CM＝4，
由折叠的性质可知，BF＝FM，
设BF＝x，
∵CF2＋CM2＝FM2，
∴（12−x）2＋42＝x2，
解得x＝203，
∴BF＝203．
【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
18．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．

（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为　 °．
（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长．
（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长．
【答案】（1）18；（2）CE的长为83；（3）CG的长为910．
【分析】（1）由矩形的性质可知∠BAD＝90°，易知∠DAC的度数，由折叠的性质可知∠DAE＝12∠DAC，计算可得∠DAE的度数.
（2）由矩形四个角都是直角及对边相等的性质及折叠后图形对应边相等的性质，结合勾股定理可得BF长，由CF＝BC﹣BF可求出CF长，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，根据勾股定理求出x值即可；
（3）连接EG，由中点及折叠的性质利用HL定理可证Rt△CEG≌△FEG，结合全等三角形对应边相等的性质可设CG＝FG＝y，可用含y的代数式表示出AG、BG，在Rt△ABG中，根据勾股定理求解即可.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝54°，
∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，
由折叠的性质得：∠DAE＝∠FAE，
∴∠DAE＝12∠DAC＝18°；
故答案为：18；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，
∴BF＝AF2-AB2＝102-62＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，
解得：x＝83，
即CE的长为83；
（3）连接EG，如图3所示：
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，
∴∠EFG＝90°＝∠C，
在Rt△CEG和△FEG中，
EG=EGCE=FE，
∴Rt△CEG≌△FEG（HL），
∴CG＝FG，
设CG＝FG＝y，
则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2，
解得：y＝910，
即CG的长为910．

【点睛】本题考查了四边形的折叠问题，涉及了矩形的性质、折叠的性质、直角三角形的判定、勾股定理，灵活利用矩形与折叠的性质是解题的关键.
19．（2022春·云南昆明·八年级云南省昆明市第十四中学校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别为边AD、BC上的一个动点，连接EF，以EF为对称轴折叠四边形CDEF，点D、C的对应点分别为M、N，当点N恰好落在AB的三等分点处时，求CF的长．

【答案】5或174
【分析】分AN=AB=2与AN=AB=4两种情况讨论，设CF=NF=x，在Rt△NBF中利用勾股定理，可分别求出x的值，即CF的长度．
【详解】解：由翻折知，CF=NF，
设CF=NF=x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，
当AN=AB=2时，
在Rt△NBF中，NF=x，BF=BC-CF=8-x，BN=AB-AN=4，
∵NF2=NB2+BF2，
∴x2=42+（8-x）2，
解得，x=5，
∴CF=5；
当AN=AB=4时，
在Rt△NBF中，NF=x，BF=BC-CF=8-x，BN=AB-AN=2，
∵NF2=NB2+BF2，
∴x2=22+（8-x）2，
解得，x=174，
∴CF=174，
故答案为5或174．

【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理等，解题关键是能够运用分类讨论的思想，弄清楚线段的三等分点有两个．
20．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图①，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，6），点B在第一象限．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-A-B-C-O的路线匀速移动（即：沿着长方形移动一周）．点P移动的时间为ts．

（1）点B的坐标为 　 　；当t＝4s时，点P的坐标为 　 　．
（2）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．
（3）如图②，若将长方形OABC沿着AC翻折，点B与点B′重合，边AB′与y轴交于点E，求出点E的坐标.
【答案】（1）（4，6），（4，4）；（2）当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间是4.5s或7.5s；（3）点E的坐标为（0，53）．
【分析】（1）根据正方形的性质，坐标与图形性质解答；
（2）分点P在AB上和点P在OC上两种情况，根据题意计算；
（3）根据翻转变换的性质得到∠B′=∠B=90°，B′C=BC=OA=4，证明△CB′E≌△AOE，根据全等三角形的性质得到BE′=OE，根据勾股定理计算，求出OE，得到答案．
【详解】解：（1）∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，6），
∴点B的坐标为（4，6）；
当t=4s时，点P在AB上，AP=2×4-4=4，
∴点P的坐标为（4，4），
故答案为：（4，6），（4，4）；
（2）当点P在AB上时，AP=5，
∴OA+AB=9，
∴t=92=4.5（s），
当点P在OC上时，OP=5，
则CP=6-5=1，
∴OA+AB+BC+CP=15，
∴t=152=7.5（s），
综上所述，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间是4.5s或7.5s；
（3）由折叠的性质可知，∠B′=∠B=90°，B′C=BC=OA=4，
在△CB′E和△AOE中，
∠B'=∠AOE∠CEB'=∠AEOB'C=OA，
∴△CB′E≌△AOE（AAS）
∴BE′=OE，
在Rt△CB′E中，CE2=B′E2+B′C2，即（6-OE）2=OE2+42，
解得：OE=53，
则点E的坐标为（0，53）．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定和性质，翻转变换的性质，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，翻转变换的性质是解题的关键．