高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式精品学案及答案

基本不等式

【学习目标】

学会转换不等式的形式，基本不等式

【学习过程】

一、自主学习

知识梳理

1．设，为正实数

（1）若(和s为定值)，则当________时，积有最________值为________。

（2）若(积为定值)，则当________时，和有最________值为________。

2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：

（1），必须是________；

（2）求积的最大值时，应看和是否为________；求和的最小值时，应看积xy是否为________。

（3）等号成立的条件是否满足。

利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”。

对点讲练

知识点一　利用基本不等式求函数的最值

例1　已知x≥，则有(　　)

A．最大值

B．最小值

C．最大值1

D．最小值1

总结　本题看似无法使用基本不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用基本不等式的条件。

变式训练1　已知，求函数的最大值。

知识点二　利用基本不等式求代数式的最值

例2　已知，，且，求的最小值。

总结　利用基本不等式求代数式的最值时，经常要对代数式进行变形，配凑出基本不等式满足的条件，同时要注意考察等号成立的条件。

变式训练2　已知正数，满足．求的最小值。

知识点三　基本不等式的实际应用

例3　如图所示，

动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。

（1）现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

（2）若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？

总结　涉及不等式的应用时，要首先建立函数关系式，适时巧用基本不等式求其最值。

变式训练3　甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？

二、课堂小结：

1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值。

2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解。

3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义。

【达标检测】

一、选择题

1．函数的最小值为(　　)

A．

B．3

C．4

D．

2．已知点在经过，两点的直线上，则的最小值为(　　)

A．

B．

C．16

D．不存在

3．若是正数，则的最小值是(　　)

A．3

B．

C．4

D．

4．若关于的不等式的解集是，则对任意实常数k，总有(　　)

A．

B．

C．

D．

二、填空题

5．建造一个容积为，深为的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元。

6．函数的图象恒过点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为________。

7．周长为的直角三角形面积的最大值为______。

三、解答题

8．求下列函数的最小值。

（1）设，都是正数，且，求的最小值；

（2）设，求的最小值。

9．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)？