人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念精品学案

正余弦定理的应用同步练习

正余弦定理在三角形中的应用同步练习

（答题时间：30分钟）

1. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c。若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B的值为（    ）

A. －  　　              　 B. 　　　

C. －1 　　　　　        　   D. 1

2. 若△ABC的内角A、B、C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB的值为（    ）

A.                         B.           

C.                       D.

3. 若△ABC的内角A、B、C所对的边a，b，c满足（a＋b）2－c2＝4且C＝60°，则ab的值为（    ）

A.                           B. 8－4   

C. 1                          D.

4. 在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinB·sinC，则A的取值范围是（    ）

A. （0，]                     B. [，π）    

C. （0，]                     D. [，π）

5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA＝acosC，则角C等于____________。

6. 在△ABC中，若（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）·sin（A＋B），则△ABC的形状是____________。

正余弦定理在三角形中的应用同步练习参考答案

1. 答案：D

解析：根据正弦定理，由acosA＝bsinB得sinAcosA＝sin2B。

∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1，故选D。

2. 答案：D

解析：结合正弦定理得：6a＝4b＝3c

设3c＝12k（k>0）   则a＝2k，b＝3k，c＝4k。

由余弦定理得cosB＝＝＝，选D。

3. 答案：A

解析：由已知得：

两式相减得：ab＝，选A。

4. 答案：C

解析：由已知得：a2≤b2＋c2－bc

由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA  ∴b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc

∴cosA≥    ∵A∈（0，π），∴A∈（0，]，选C。

  5. 答案：

解析：由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC。

因为0＜A＜π，所以sinA＞0，从而sinC＝cosC，

又cosC≠0，所以tanC＝1，则C＝。

6. 答案：等腰或直角三角形

解析：∵（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）sin（A＋B），

∴b2[sin（A＋B）＋sin（A－B）]＝a2[sin（A＋B）－sin（A－B）]，

∴2sin Acos B·b2＝2cos Asin B·a2，

即a2cos Asin B＝b2sin Acos B。           

方法一　由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，

∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B，

又sinA·sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B，

∴sin 2A＝sin 2B。       

在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，

∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝。

∴△ABC为等腰或直角三角形。

方法二　由正弦定理、余弦定理得：

a2b＝b2a，

∴a2（b2＋c2－a2）＝b2（a2＋c2－b2），

∴（a2－b2）（a2＋b2－c2）＝0，

∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0。         

即a＝b或a2＋b2＝c2。∴△ABC为等腰或直角三角形。 

正、余弦定理的实际应用同步练习

（答题时间：30分钟）

1. 江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m。

2. 某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为________。

3. 如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，则AB的长为________。

4. 在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝CD，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝________。

5. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米。

正、余弦定理的实际应用同步练习参考答案

1. 答案：30

解析：如图，OM＝AOtan 45°＝30 （m），

ON＝AOtan 60°＝30（m），

由余弦定理得，

MN＝＝30（m）。

2. 答案：或2

解析：如图，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得（）2＝32＋x2－2×3x×cos 30°，即x2－3x＋6＝0，解得x1＝，x2＝2，经检测均合题意。

3. 答案：a

解析：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，

所以AC＝a。①

在△BCD中，由正弦定理可得BC＝＝a。 ②

在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，

所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为

AB＝＝a。

4. 答案：60°

解析：由A作垂线AH⊥BC于H。

因为S△ADC＝DA·DC·sin 60°＝×2×DC·＝3－，所以DC＝2（－1），又因为AH⊥BC，∠ADH＝60°，所以DH＝ADcos 60°＝1，∴HC＝2（－1）－DH＝2－3。

又BD＝CD，∴BD＝－1，∴BH＝BD＋DH＝。又AH＝AD·sin 60°＝，所以在Rt△ABH中AH＝BH，∴∠BAH＝45°。

又在Rt△AHC中tan∠HAC＝＝＝2－，

所以∠HAC＝15°。又∠BAC＝∠BAH＋∠CAH＝60°，

故所求角为60°。

5. 答案：10

解析：在△BCD中，CD＝10（米），∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10（米）。在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BCtan 60°＝10（米）。