第42讲 空间几何体的表面积与体积-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第42讲：空间几何体的表面积与体积
一、 课程标准
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题
二、 基础知识回顾
知识梳理
1. 空间几何体
(1)多面体
①棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱．侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱．底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
②棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些所围成的几何体叫棱锥．如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．
③棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥．底面与截面之间的部分，叫棱台．棱台的各侧棱延长后交于一点．
(2)旋转体
①旋转面：一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面．
②旋转体：封闭的旋转面围成的几何体．
③圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆柱．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．
④圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
⑤圆台：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台．(或用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥．底面与截面之间的部分，叫做圆台．)圆台的母线延长后交于一点．
⑥球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球．经过球面上两点的大圆劣弧的长叫做球面距离．

2. 柱、锥、台和球的侧面积和体积


面积
体积
圆柱
S侧＝2πrh
V＝Sh＝πr2h
圆锥
S侧＝πrl
V＝Sh＝πr2h＝πr2
圆台
S侧＝π(r1＋r2)l
V＝(S上＋S下＋)h
＝π(r＋r＋r1r2)h


直棱柱
S侧＝Ch
V＝Sh

续表


面积
体积
正棱锥
S侧＝Ch′
V＝Sh
正棱台
S侧＝(C＋C′)h′
V＝(S上＋S下＋)h
球
S球面＝4πR2
V＝πR3
3. 几何体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．
三、 自主热身、归纳总结
1、已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A. 1 cm　　　 B. 2 cm　　 C. 3 cm D. cm
【答案】B
【解析】　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，
∴r2＝4，∴r＝2. 故选B.
2、 正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积(　　)
A. 32 B. 48 C. 64 D.
【答案】 A
【解析】 如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角三角形POE. 因为OE＝2cm，∠OPE＝30°，所以斜高PE＝＝4，所以S正棱锥侧＝×4×4×4＝32.故选A.

3、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )
A. 6　　　 B. 7　　 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】　设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，
解得r＝7. 故选B.
4、如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥PABA1的体积为________．

【答案】
【解析】 因为S△ABA1＝×3×3＝，点P到平面ABA1的距离h为△ABC的高，所以三棱锥PABA1的体积V＝×S△ABA1×h＝.
5、 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若各棱长均为2，且M为A1C1的中点，则三棱锥MAB1C的体积为________．

【答案】
【解析】 在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，则AA1⊥B1M.因为B1M是正三角形A1B1C1的中线，所以B1M⊥A1C1.因为A1C1∩AA1＝A1，所以B1M⊥平面ACC1A1，则VMAB1C＝VB1ACM＝××AC×AA1×B1M＝××2×2×＝.
四、 例题选讲
考点一 空间几何体的的表面积
例1、（南京师大附中2020届高三模拟）在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为(　　)

A．4π B.(4＋)π C．6π D．(5＋)π
【答案】D
【解析】∵在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱减去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥的组合体，∴几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋×2π×1×＝(5＋)π.
变式1、 (1)正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的表面积为____．
(2)已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为____．
【答案】（1）100π（2）6π
【解析】　(1)依题意，该正六棱柱的外接球的球心应是上、下底面中心连线的中点，∴其半径等于＝5，其表面积等于4π×25＝100π.
(2)该圆柱的侧面积为2π×1×2＝4π，一个底面圆的面积是π，∴该圆柱的表面积为4π＋2π＝6π.
变式2、(1)(2019·四川泸州一诊)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为(　　)
A．(5＋)π B．(4＋)π
C．(5＋2)π D.(3＋)π

(2)(2020·河南周口模拟)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为(　　)
A．4＋4 B．4＋4
C．12 D.8＋4
【答案】　(1)A　(2)A
【解析】 (1)∵在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱挖去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥，∴该几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×＝(5＋)π.故选A.

(2)连接A1B.因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2，BC＝.又AB⊥BC，则AB＝，则该三棱柱的侧面积为2×2＋2×2＝4＋4.
变式3、（1）（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为、则有
（2）（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三下学期阶段考试）现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4.若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为_______.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）设球的直径为2R，则
（2）由题意知,圆锥的体积为.设球的半径为
则,解得.所以表面积为.
故答案为:.

方法总结：几何体的表面积的求法
(1) 求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．
(2) 求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．

考点二　空间几何体的体积
例2　(1)直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，E为棱CC1的中点，则三棱锥A1－B1C1E的体积为____．

(2)在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图所示)，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则形成的旋转体的体积是( )　
A. B. C. D.
（3）(2019·江苏南通联考)已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D­BB1C1的体积为________．

【解析】（1） （2）D （3）
【解析】　(1)由题意得S△A1B1C1＝×2×＝，又∵E为棱CC1的中点，∴EC1＝1，
∴V三棱锥A1－B1C1E＝V三棱锥E－A1B1C1＝EC1·S△A1B1C1＝.

(2)依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所示，OA＝AB·cos 30°＝2×＝，∴旋转体的体积为π·()2·(OC－OB)＝.故选D.
（3）如图，取BC中点O，连接AO.∵正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长均为2，∴AC＝2，OC＝1，则AO＝.
∵AA1∥平面BCC1B1，∴点D到平面BCC1B1的距离为.
又S＝×2×2＝2，∴V＝×2×＝.
变式1、（1）（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三阶段测试）如图正四棱柱的体积为27，点E，F分别为棱上的点（异于端点）且，则四棱锥的体积为___________.

（2）（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三9月月考）已知长方体的体积为，则三棱锥的体积为______.
【答案】（1）9 （2）
【解析】（1）连接，

∵正四棱柱的体积为27，
点E，F分别为棱上的点（异于端点），且，
，
，
∴四棱锥的体积．
故答案为：9．
（2）设长方体的底面积为，高为，
则长方体的体积为，
由题意可知，三棱锥的底面积为，高为，
因此，三棱锥的体积为，故答案为.
方法总结：本题考查空间几何体的体积运算．应注意：(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解，其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．

考点三 与球有关的切、接问题
例1、（2017·江苏高考）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是____．
(2)已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，所有侧棱长相等且等于2a，若其外接球的半径为R，则＝____．

【答案】（1） . （2）.
【解析】　(1)设球O的半径为R，∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，∴圆柱的底面半径为R、高为2R，∴＝＝.
(2)如图，设四棱锥的外接球的球心为E，半径为R，则OB＝OC＝a，PO＝a，
∴R2＝＋，解得R＝ a，
∴＝＝.

变式1、（甘肃兰州一中2019届高三调研）把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为(　　)

A．10 cm B.10 cm C．10 cm D．30 cm
【答案】B　
【解析】依题意，在四棱锥S­ABCD中，所有棱长均为20 cm，连接AC，BD交于点O，连接SO，则SO＝AO＝BO＝CO＝DO＝10 cm，易知点O到AB，BC，CD，AD的距离均为10 cm，在等腰三角形OAS中，AO＝SO＝10 cm，SA＝20 cm，所以O到SA的距离d＝10 cm，同理可证O到SB，SC，SD的距离也为10 cm，所以球心为四棱锥底面ABCD的中心O，所以皮球的半径r＝10 cm.

变式2、（陕西工业大学附中2019届高三模拟）(1)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．

(2)已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．
【答案】(1)　(2)－1
【解析】(1)设圆柱内切球的半径为R，
则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R，高为2R，
故＝＝.
(2)如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，

∵△ABC是正三角形，
∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．
∵AB＝2，∴S△ABC＝3，DE＝1，PE＝.
∴S表＝3××2×＋3＝3＋3.
∵PD＝1，∴三棱锥的体积V＝×3×1＝.
设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，
则r＝＝－1.

变式3、（1）已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)
A. B. 2 C. D. 3
（2）已知A，B，C是球O的球面上三点，且AB＝AC＝3，BC＝3，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，求三棱锥DABC体积的最大值．
【答案】 （1）C （2）.
【解析】（1） 如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝BC＝×＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝＝.

（2） 如图，在△ABC中，因为AB＝AC＝3，BC＝3，
所以由余弦定理可得cosA＝＝－，
所以sinA＝.
设△ABC外接圆O′的半径为r，
则＝2r，解得r＝3.
设球的半径为R，连结OO′，BO′，OB，则R2＝＋32，解得R＝2.
由图可知，当点D到平面ABC的距离为R时，三棱锥DABC的体积最大．
因为S△ABC＝×3×3×＝，
所以三棱锥DABC体积的最大值为××3＝.

方法总结：解决与球相关的切、接问题的解题要领：(1)球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．

五、优化提升与真题演练
1、（2020年全国1卷）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，设，则，
由题意，即，化简得，
解得（负值舍去）.
故选：C.

2、（2020年全国1卷）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，
得，为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球的表面积.
故选：A

3、（2020年全国2卷）.已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
设球的半径为，则，解得：.
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离.
故选：C.
4、（2020届江苏省七市第二次调研考试）如图，在体积为V的圆柱中，以线段上的点O为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为，，则的值是______.

【答案】
【解析】由题得，，得.
故答案为：
5、（江苏省南通市、泰州市2019-2020学年高三上学期期末）在正三棱柱ABC - A1B1C1 中，AA1＝AB＝2 ，则三枝锥A1 - BB1C1 的体积为______.
【答案】
【解析】因为正三棱柱,则底面,是等边三角形
又因为,则三棱柱各棱长均为2,
则,
故答案为：
6、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）现有一个半径为的实心铁球，将其高温融化后铸成一个底面圆半径为的圆柱状实心铁器（不计损耗），则该圆柱铁器的高为____.
【答案】4.
【解析】根据题意球圆锥，设圆柱铁器的高为
整理得，
解得.
故答案为：4.
7、（2019年高考天津卷）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．
【答案】
【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，圆柱的底面半径为，故圆柱的体积为.
8、（2019年高考江苏卷）如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E−BCD的体积是 .

【答案】10
【解析】因为长方体的体积为120，所以，
因为为的中点，所以，
由长方体的性质知底面，
所以是三棱锥的底面上的高，
所以三棱锥的体积.
9、(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．
【答案】40π
【解析】如图，∵SA与底面成45°角，
∴△SAO为等腰直角三角形．

设OA＝r，则SO＝r，SA＝SB＝r.
在△SAB中，cos ∠ASB＝，
∴sin ∠ASB＝，
∴S△SAB＝SA·SB·sin ∠ASB
＝×(r)2×＝5，
解得r＝2，
∴SA＝r＝4，即母线长l＝4，
∴S圆锥侧＝πrl＝π×2×4＝40π.