第59讲 古典概型-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第59讲：古典概型
一、 课程标准
1、了解随机事件发生的不确定性与频率的稳定性．
2、理解古典概型的特点及其概率计算公式．

二、 基础知识回顾
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)所有的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件的发生都是等可能的．
3． 如果1试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝．
4．古典概型的概率公式（☆☆☆）
P(A)＝．

三、 自主热身、归纳总结
1、掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】掷两颗均匀的骰子的所有基本事件有种，点数之和为5的有4中，
所以所求概率为．
2、2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为( )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】可能出现的选择有4种，满足条件要求的种数为1种，则P＝.故选B.
3、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】　从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件为，，，，，，，，，，共10个，其中满足勾股数的只有，共1个，∴所求概率p＝.故选A.
4、（多选题） 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，记事件“选中的2人都是女同学”的概率为；事件“选中2人都是男同学”的概率为；事件“选中1名男同学1名女同学”的概率．则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】 BC
【解析】将2名男同学分别记为，，3名女同学分别记为，，，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有，，，，，，，，，共10种，则，，

5、一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3．现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是_____-
【答案】
【解析】基本事件数为6×6＝36，编号之和为4的有：10种，所求概率为＝．
6、在运动会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为________．
【答案】
【解析】 从1，2，3，4，5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，共3种，故选出的火炬手的编号相连的概率为P＝.

四、 例题选讲
考点一　随机事件的概率与频率
例1、某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出






险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
【解析】　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得

保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
∴续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.

变式1、某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【解析】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，由表格数据知，最高气温低于25 ℃的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25 ℃，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20 ℃，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.
所以Y的所有可能值为900,300，－100，
Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.


变式2、某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
　　　商品




顾客人数　　　
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
【解析】　(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.
(3)顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝
0．2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
方法总结：　(1)解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率．
(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，所以有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
考点二 古典概型的概率问题
例1、（1）(2020·武汉部分学校调研)我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是(　　)
A. B.
C. D.
（2）(2019·兰州市诊断考试)某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是(　　)
A. B.
C. D.
（3）(2019·武汉市调研测试)已知某口袋中装有2个红球，3个白球和1个蓝球，从中任取3个球，则其中恰有两种颜色的概率是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】（1）B.（2）D.（3）D
【解析】（1）甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中选一个季节的6幅彩绘绘制，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为，选B.
（2）选D　从5名干部中随机选取2人有C＝10(种)选法，其中只选中A没选中B有C＝3(种)选法，只选中B没选中A有C＝3(种)选法，A和B均选中有1种选法，所以所求概率P＝＝，故选D.
（3）依题意，从口袋中任取3个球，共有C＝20(种)不同的取法，
①当取得三个球颜色相同，则有C＝1种取法；②当取的三个球颜色互不相同，则有CCC＝6种取法；综合①②得：从中任取三个球，其中恰有两种颜色的概率为1－＝.
变式1、（1）甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的4个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为___．
(2)从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为____．
(3)100张卡片上分别写有1，2，3，…，100.从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是____．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】(1)由题意得，从甲、乙两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，共有2×4＝8种情况，编号之和大于6的有(1，6)，(2，5)，(2，6)，共3种，所以取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为.
　(2)从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，基本事件总数n＝15，所取2个数的和能被3整除包含的基本事件有(1，2)，(1，5)，(2，4)，(3，6)，(4，5)，共5个，所以所取2个数的和能被3整除的概率P＝＝.
(3)从100张分别写有1，2，3，…，100的卡片中任取1张，基本事件总数n＝100，所取这张卡片上的数是6的倍数包含的基本事件有1×6，2×6，…，16×6，共16个，所以所取这张卡片上的数是6的倍数的概率P＝＝.

变式2、先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求：
(1) 点数之和是4的倍数的概率；
(2) 点数之和大于5且小于10的概率．
【解析】 从图中容易看出，基本事件与所描点一一对应，共36种．

(1) 记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个：(1，3)，(2，2)，(2，6)，(3，1)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(6，6)，所以P(A)＝.
(2) 记“点数之和大于5且小于10”的事件为B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有20个(已用虚线圈出)，所以P(B)＝＝.
变式3、　在上例的条件下，求：
(1) 点数之和出现7点的概率；
(2) 出现两个4点的概率；
(3) 点数之和能被3整除的概率．
【解析】 如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．

(1) 记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有6个：(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6)，故P(A)＝＝.
(2) 记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件只有1个，即(4，4)．故P(B)＝.
(3) 记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共有12个：(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6)，故P(C)＝＝.
变式4、若先后抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，求点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率．
【解析】 由题意(m，n)的取值情况共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(1，6)；(2，1)，(2，2)，…，(2，6)；…；(6，1)，(6，2)，…，(6，6)共有36种情况，而满足点P(m，n)在直线x＋y＝4上的取值情况有(1，3)，(2，2)，(3，1)共3种情况，故所求概率为＝ .

方法总结：古典概型的概率求解步骤
(1)求出所有基本事件的个数n.
(2)求出事件A包含的所有基本事件的个数m.
(3)代入公式P(A)＝求解．

考点三 古典概型与统计的综合
例3、从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)．由图中数据可知体重的平均值为________ kg；若要从体重在[60,70)，[70,80)，[80,90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为________．

【答案】64．5　
【解析】由频率分布直方图可知，体重在[40,50)内的男生人数为0．005×10×100＝5，同理，体重在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]内的人数分别为35,30,20,10，所以体重的平均值为 ＝64．5．利用分层抽样的方法选取12人，则从体重在[60,70)，[70,80)，[80,90]三组内选取的人数分别为12×＝6,12×＝4,12×＝2，则两人体重不在同一组内的概率为＝．

变式1、在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1，2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n
1
2
3
4
5
成绩xn
70
76
72
70
72
(1)求第6位同学的成绩x6及这6位同学成绩的标准差s；
(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率．
【解析】　(1)∵这6位同学的平均成绩为75分，
所以(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90，这6位同学成绩的方差s2＝×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，所以标准差s＝7.
(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70，76)，(70，72)，(70，70)，(70，72)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，(72，70)，(72，72)，(70，72)，共10种．恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的有：(70，76)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，共4种．
故所求的概率为＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率为0.4.
变式2、某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：m)及体重指标(单位：kg/m2)如下表所示：


A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9

(1)从该小组身高低于1.80 m的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78 m以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70 m以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率．
【解析】　(1)从身高低于1.80 m的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．设“选到的2人身高都在1.78 m以下”为事件M，其包括的基本事件有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个，故P(M)＝＝.
(2)从小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．
设“选到的2人的身高都在1.70 m以上且体重指标都在[18.5，23.9)中”为事件N，则事件N包括的基本事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个，故P(N)＝.
方法总结：解决此类题目步骤是：①根据题目要求求出数据；②列出所有基本事件，计算基本事件总数；③找出所求事件包含的基本事件个数；④根据古典概型公式求解；⑤明确规范表述结论．

五、优化提升与真题演练
1、（2018年高考全国Ⅱ卷理数）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，
随机选取两个不同的数，共有C102=45种方法，
因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，
故所求概率为，故选C．
2、(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
【答案】A
【解析】重卦是由从下到上排列的6个爻组成，而爻有“阳爻”和“阴爻”两种，故所有的重卦共有26＝64种．重卦中恰有3个“阳爻”的共有C×C＝20种．故所求概率P＝＝，故选A.
3、(多选)(2019·山东烟台期中)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是(　　)
A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为
B．四人去了同一餐厅就餐的概率为
C．四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为
D．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为
【答案】ACD　
【解析】四人去餐厅就餐的情况共有64种，其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有A种，则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为＝，故A正确；同理，四人去了同一餐厅就餐的概率为＝，故B错误；四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为＝，故C正确；设四人中去第一餐厅就餐的人数为ξ，则ξ＝0,1,2,3,4.则P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，则四人中去第一餐厅就餐的人数的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P






则四人中去一餐厅就餐的人数的期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，故D正确．
4、（2019年高考全国Ⅱ卷理数）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．
【答案】
【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为，所以该站所有高铁平均正点率约为．
5、（2018年高考江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为______________．
【答案】
【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为．
6、（2017·全国Ⅱ高考]从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为____．
【答案】
【解析】　(1)将第一次抽取的卡片上的数记为a，第二次抽取的卡片上的数记为b，先后两次抽取的卡片上的数记为(a，b)，则有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共25种抽取方法，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的抽取方法有10种，所以所求概率P＝＝.
7．(2019·南昌市第一次模拟测试)2021年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为________．
【答案】
【解析】由题意，从政治、地理、化学、生物中四选二，共有C＝6(种)方法，所以他们选课相同的概率为.
8．(一题两空)一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为，则取得两个同色玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________．
【答案】　
【解析】由于“取得两个红玻璃球”与“取得两个绿玻璃球”是互斥事件，取得两个同色玻璃球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色玻璃球的概率为P＝＋＝.
由于事件A“至少取得一个红玻璃球”与事件B“取得两个绿玻璃球”是对立事件，则至少取得一个红玻璃球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－＝.