第52讲 椭圆的几何性质-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第52讲 椭圆的几何性质
一、 课程标准
1、 掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质
2、 掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围
3、 掌握直线与椭圆的位置关系
二、 基础知识回顾
1、 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形


性质

范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
焦距
＝2c
离心率
e＝，　　e∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
2、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
3、焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
4、．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－.
5、直线与椭圆的关系
将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
再求一元二次方程的判别式Δ，当：
①Δ>0⇔直线与椭圆相交；
②Δ＝0⇔直线与椭圆相切；
③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．
6、设直线l与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线l斜率，则AB＝|x1－x2|．

三、 自主热身、归纳总结
1、直线y＝kx－k＋1(k为实数)与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能
【答案】A
【解析】　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)．∵点(1，1)在椭圆内部，∴直线与椭圆相交．故选A.

第2题图
2、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是____．
【答案】
【解析】　∵kB2F·kAB1＝－1，－·＝－1，b2＝ac，即a2－c2＝ac，∴e＝＝.
3、中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆的方程是____________．
【答案】：＋＝1
【解析】：由题设知c＝5，设椭圆方程为＋＝1，联立方程消去y，整理得
(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝＝1，解得a2＝75，所以椭圆方程为＋＝1.
4、已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是(　　)
A. B.
C. D．2
【答案】B
【解析】由条件知c＝1，e＝＝，所以a＝，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，，所以|AB|＝.
5、(一题两空)已知点F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在此椭圆上，则椭圆离心率为________，△PF1F2的周长为________．
【答案】　18
【解析】由椭圆方程知a＝5，b＝3，c＝4，所以其离心率e＝＝.△PF1F2的周长为2a＋2c＝10＋8＝18.

四、 例题选讲
考点一 椭圆的离心率的值
例1　(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，

第(1)题图
上顶点为B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，则椭圆的离心率是____．
(2)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点．P为椭圆C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为____．
【答案】（1） （2）

【解析】　(1)由∠BAO＋∠BFO＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°，得∠BFO＝∠ABO.又∠AOB＝∠AOB，∴△ABO∽△BFO，∴＝，即＝，
得ac＝b2＝a2－c2，变形得e2＋e－1＝0，解得e＝或(舍)，∴椭圆的离心率为.
(2)设M(－c，m)，则E(0，)，OE的中点为D，则D(0，)，又B，D，M三点共线，∴＝，解得a＝3c，∴e＝.
变式1、(1)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
【答案】　D　
变式2、（四川省乐山一中2019届质检）设F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，P是椭圆C上的点，圆x2＋y2＝与线段PF交于A，B两点，若A，B三等分线段PF，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D　
【解析】如图，取线段PF的中点H，连接OH，OA.设椭圆另一个焦点为E，连接PE.
∵A，B三等分线段PF，∴H也是线段AB的中点，即OH⊥AB.
设|OH|＝d，则|PE|＝2d，|PF|＝2a－2d，|AH|＝.

在Rt△OHA中，|OA|2＝|OH|2＋|AH|2，解得a＝5d.
在Rt△OHF中，|FH|＝a，|OH|＝，|OF|＝c.
由|OF|2＝|OH|2＋|FH|2，
化简得17a2＝25c2，＝.
即椭圆C的离心率为.故选D.
变式3、焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C　
【解析】由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×2c×b＝(2a＋2c)×，得a＝2c，即e＝＝，故选C.
变式4、(2017苏北四市一模） 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是________．

【答案】　
【解析】因为F(c,0)，B2(0，b)，B1(0，－b)，A(a,0)，所以＝(c，－b)，＝(a，b)．因为FB2⊥AB1，所以ac－b2＝0，即c2＋ac－a2＝0，故e2＋e－1＝0，解得e＝(负值舍去)．

方法总结：求离心率的值关键是找到等式关系，解出a与c的关系，进而求出离心率。常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。

考点二 椭圆离心率的范围
例2、(2020·福州模拟)过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是________．

【答案】

【解析】　(1)如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2c.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝c，|BF2|＝c，故|AB|＝a＋c＋c＝a＋2c，tan∠PAB＝＝＝，解得a＝4c，所以e＝＝.

(2)由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤ ，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤.

变式1、设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝120°，则椭圆离心率e的取值范围是____．
【答案】[，1)
【解析】　(方法1)易知P点在短轴端点时∠F1PF2取最大值，∴只要在此情况下椭圆变得扁就行了，点P在短轴端点时，若∠F1PF2＝120°，则e＝＝sin60°＝.∴e∈[，1)．
(方法2)若∠F1PF2＝120°，则有PF＋PF－2PF1·PF2cos120°＝F1F，且PF1＋PF2＝2a，∴4a2－PF1·PF2＝4c2，∴PF1·PF2＝4b2，又PF1·PF2≤2＝a2，
∴a2≥4b2.∴3a2≤4c2即e2≥，∴e∈[，1)．
(方法3)也可利用焦半径公式结合余弦定理将P点横坐标表示出来，再解不等式－a≤x0≤a即可．

变式2、(2020·上饶模拟)已知两定点A(－1,0)和B(1,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为________．
【答案】：
【解析】由题意知c＝1，离心率e＝，
因为P在直线l：y＝x＋2上移动，
所以2a＝|PA|＋|PB|.
点A关于直线y＝x＋2的对称点C，
设C(m，n)，则
解得即有C(－2,1)，
则2a＝|PA|＋|PB|＝|PC|＋|PB|≥|BC|＝，
当C，P，B共线时，a有最小值，
对应的离心率e有最大值.
变式3、已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e.
(1)若e＝，求椭圆的方程；
(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且＜e≤，求k的取值范围．
【解析】(1)由题意得c＝3，＝，所以a＝2，又因为a2＝b2＋c2，所以b2＝3.所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝0，x1x2＝，依题意易知，OM⊥ON，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2.
因为＝(x1－3，y1)， ＝(x2－3，y2)，
所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋9＝0.
即＋9＝0，
将其整理为k2＝＝－1－.
因为＜e≤，所以2≤a＜3，即12≤a2＜18.
所以k2≥，即k∈∪.
变式4、(2018苏中三市、苏北四市三调）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，为右准线上一点．点在椭圆上，且．
（1）若椭圆的离心率为，短轴长为．
① 求椭圆的方程；
（2）若在轴上方存在两点，使四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．


【思路分析】（1）列出关于的方程组，解出值，从而求得椭圆的方程；
（2）设出，求出P坐标，三点确定以为直径的圆，要使四点共圆，则第四点O在圆上，有两种思路：思路1，求出圆方程，将点坐标代入圆方程，思路2，的中垂线经过圆心，求出，根据点P，Q均在x轴上方，得到，转化为的不等式，求出范围.
规范解答 （1）①设椭圆的焦距为2c，
由题意，得 所以．所以椭圆的方程为．
②由①得，焦点，准线为，

（2）解法1 设，，
因为FP⊥FQ，
则△FPQ的外接圆即为以PQ为直径的圆．
由题意，焦点F，原点O均在该圆上，所以
消去得，
所以，
因为点P，Q均在x轴上方，所以，即，
所以，又因为，
所以．
解法2 因为O，F，P，Q四点共圆且FP⊥FQ，所以PQ为圆的直径，
所以圆心必为PQ中点M，
又圆心在弦OF的中垂线上，
所以圆心M 的横坐标为，
所以点Q的横坐标为．（以下同方法1）

求离心率的值关键是找到不等关系，解出a与c的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式关系主要有：1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则研究此点到焦点的范围；要特别注意离心率的范围。
考点三 直线与椭圆的综合问题
例3、[2018·江苏高考]如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点(，)，焦点

F1(－，0)，F2(，0)，圆O的直径为F1F2.
(1)求椭圆C及圆O的方程；
(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于A，B两点，若△AOB的面积为，求直线l的方程．
【解析】　(1)∵椭圆C的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．又点(，)在椭圆C上，

∴
解得
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
∵圆O的直径为F1F2，∴其方程为x2＋y2＝3.
(2)①设直线l与圆O相切于P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则x＋y＝3，∴直线l的方程为y＝－(x－x0)＋y0，即y＝－x＋.
由，消去y，得(4x＋y)x2－24x0x＋36－4y＝0(*)，
∵直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
∴Δ＝(－24x0)2－4(4x＋y)(36－4y)＝0.
∵x0，y0>0，∴x0＝，y0＝1.
∴点P的坐标为(，1)．
②∵三角形OAB的面积为，∴AB·OP＝，从而AB＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(*)得
x1，2＝，
∴AB2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝
·.
∵x＋y＝3，∴AB2＝＝，即2x－45x＋100＝0，解得x＝，x＝20，由椭圆的范围得－2≤x0≤2，∴x＝，∴y＝，∴P的坐标为.∴直线l的方程为y＝－x＋3.

变式1、在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝b2经过椭圆E：＋＝1(00)的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且OP⊥AF.
(1) 若点P坐标为(，1)，求椭圆C的方程；
(2) 延长AF交椭圆C于点Q，若直线OP的斜率是直线BQ的斜率的2倍，求椭圆C的离心率；

思路分析 第(1)问根据条件求出a，b，c的值，从而可得椭圆的方程；第(2)问根据条件转化为a，b，c的等量关系，即可求得椭圆的离心率，对运算求解的能力要求较高；第
规范解答 (1) 因为点P(，1)，所以kOP＝，
又因为AF⊥OP，则－×＝－1，
所以c＝b，所以3a2＝4b2.(2分)
又点P(，1)在椭圆上，所以＋＝1，
解得a2＝，b2＝.故椭圆方程为＋＝1.(4分)
(2) 解法1 由题意，直线AF的方程为＋＝1，与椭圆C方程＋＝1联立消去y，得x2－＝0,
解得x＝0或x＝，所以点Q的坐标为.(7分)
所以直线BQ的斜率为kBQ＝＝，
又OP⊥AF，所以kOP＝.
由题意得＝，所以a2＝2b2.(9分)
所以椭圆的离心率e＝＝ ＝.(10分)
解法2 设点Q坐标为(x0，y0)，则有＋＝1，得y＝b2，
又kAQ＝，kBQ＝，所以kAQ·kBQ＝，
将y＝b2代入上式，化简得kAQ·kBQ＝－.(7分)
又kAQ＝－，所以kBQ＝.
因为OP⊥AF，所以kOP＝.
由题意得＝，所以a2＝2b2.(9分)
所以椭圆的离心率e＝＝ ＝.(10分)
解后反思 从阅卷的情况看，主要的问题是考生运算与化简的能力差，对复杂式子的运算缺乏信心和耐心，缺乏方法；问题的解决缺乏严谨，综合运用知识的能力差，
8、(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B.
(1) 已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；
(2) 已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝－x上，求椭圆的离心率e的值．

【解】(1)因为椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，所以＝，则a＝2c.
因为线段AF中点的横坐标为，所以＝.
所以c＝，则a2＝8，b2＝a2－c2＝6.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.(4分)

(2)因为A(a，0)，F(－c，0)，
所以线段AF的中垂线方程为：x＝.
又因为△ABF外接圆的圆心C在直线y＝－x上，
所以C.(6分)
因为A(a，0)，B(0，b)，所以线段AB的中垂线方程为：y－＝.
由C在线段AB的中垂线上，得－－＝，
整理得，b(a－c)＋b2＝ac，(10分)
即(b－c)(a＋b)＝0.
因为a＋b>0，所以b＝c.(12分)
所以椭圆的离心率e＝＝＝.(14分)