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第54讲 抛物线-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
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第54讲 抛 物 线
一、 课程标准
1、了解抛物线的实际背景,了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;
2、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
二、 基础知识回顾
1、、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
2 、抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
F
F
F
F
离心率
e=1
准线
x=-
x=
y=-
y=
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0,y0))
=
x0+
=
-x0+
=
y0+
=
-y0+
3 、 与焦点弦有关的常用结论
设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)y1y2=-p2,x1x2=.
(2)|AB|=x1+x2+p=(θ为AB的倾斜角).
(3)+为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切.
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
三、 自主热身、归纳总结
1、抛物线y2=4x的准线方程为( )
A. x=1 B. x=-1 C. y=1 D. y=-1
【答案】 B
【解析】 由题意得抛物线的焦点在x轴上,且2p=4,即p=2,所以抛物线的准线方程为直线x=-=-1.
2、 设抛物线y2=8x上的一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
【答案】 B
【解析】 如图所示,抛物线的准线l的方程为x=-2,F是抛物线的焦点,过点P作PA⊥y轴,垂足为A,延长PA交直线l于点B,则AB=2.因为点P到y轴的距离为4,所以点P到准线l的距离PB=4+2=6,所以点P到焦点的距离PF=PB=6.故选B.
3、过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|=( )
A.9 B.8
C.7 D.6
【答案】B
【解析】抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.
4、拋物线y=2ax2(a≠0)的焦点是( )
A. B.或
C. D.或
【答案】C
【解析】抛物线的方程化成标准形式为x2=y(a≠0),其焦点在y轴上,所以焦点坐标为.故选C.
5、已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程为________.
【答案】y2=±4 x
【解析】:由已知可知双曲线的焦点为(-,0),(,0).设抛物线方程为y2=±2px(p>0),则=,所以p=2 ,所以抛物线方程为y2=±4 x.
6、设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是________.
【答案】[-1,1]
【解析】:Q(-2,0),当直线l的斜率不存在时,不满足题意,故设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,当k=0时,l与抛物线有公共点;当k≠0时,Δ=64(1-k2)≥0得-1≤k<0或0
四、 例题选讲
考点一 抛物线的定义及其应用
例1 (1)已知抛物线定点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线x-y+2=0上,则抛物线方程为____.
(2)动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为____.
【答案】(1)y2=-8x或x2=8y (2)y2=4x
【解析】 (1)直线x-y+2=0与坐标轴的交点分别为(-2,0)和(0,2),当焦点为(-2,0)时,抛物线焦点在x轴负半轴上,且p=4,则抛物线方程为y2=-8x;当焦点为(0,2)时,抛物线焦点在y轴正半轴上且p=4,则抛物线方程为x2=8y;故抛物线方程为y2=-8x或x2=8y.
(2)设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x.
变式1、(1)若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2,O为坐标原点,则△OFP的面积为( )
A. B.1
C. D.2
(2)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为________.
【答案】 (1)B (2)4
【解析】 (1)设P(xP,yP),由题可得抛物线焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
又点P到焦点F的距离为2,
∴由定义知点P到准线的距离为2.
∴xP+1=2,∴xP=1.
代入抛物线方程得|yP|=2,
∴△OFP的面积为S=·|OF|·|yP|=×1×2=1.
(2)如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.
变式2、(1)定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为AB的中点,则点M到y轴的最短距离为( )
A. B.1
C. D.2
(2)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为__________.
【答案】(1)B (2)4
【解析】 (1)如图所示,抛物线y2=2x的准线为l:x=-,过A,B,M分别作AA′,BB′,MM′垂直于l,垂足分别为A′,B′,M′.由抛物线定义知|AA′|=|FA|,|BB′|=|FB|.又M为AB中点,由梯形中位线定理得|MM′|=(|AA′|+|BB′|)=(|FA|+|FB|)≥|AB|=×3=,则M到y轴的距离d≥-=1(当且仅当AB过抛物线的焦点时,等号成立),所以dmin=1,即点M到y轴的最短距离为1.
(2)如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|,则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.故|PB|+|PF|的最小值为4.
方法总结:与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关,实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化.
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解.
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
考点二 抛物线的标准方程及其几何性质
例2 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点,且|AF|=4|FB|,O为坐标原点,若△AOB的面积为,求p的值.
【解析】 易知抛物线y2=2px的焦点F的坐标为,准线为x=-,
不妨设点A在x轴上方,如图,过A、B作准线的垂线AA′,BB′,垂足分别为A′,B′,过点B作BH⊥AA′,交AA′于H,则|BB′|=|A′H|,设|FB|=t,则|AF|=|AA′|=4t,∴|AH|=|AA′|-|A′H|=3t,又|AB|=5t,
∴在Rt△ABH中,cos∠HAB=,
∴tan∠HAB=,
则可得直线AB的方程为y=.由得8x2-17px+2p2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=p+p=p,
易知点O到直线AB的距离为d=p.
∴S△AOB=×p×p==,∴p2=1,又p>0,∴p=1.
变式1、已知点F1,F2分别是双曲线3x2-y2=3a2(a>0)的左、右焦点,点P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点,若+=12,则抛物线的准线方程为__________.
【答案】x=-2
【解析】 将双曲线方程化为标准方程得-=1,抛物线的准线为x=-2a,联立⇒x=3a,即点P的横坐标为3a.而由⇒|PF2|=6-a,又因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同,所以|PF2|=3a+2a=6-a,解得a=1,所以抛物线的准线方程为x=-2.
变式2、(黑龙江省鹤岗一中2019届模拟)顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点P(-4,-2)的抛物线的标准方程是( )
A.y2=-x B.x2=-8y
C.y2=-8x或x2=-y D.y2=-x或x2=-8y
【答案】D
【解析】设抛物线为y2=mx,代入点P(-4,-2),解得m=-1,则抛物线方程为y2=-x;设抛物线为x2=ny,代入点P(-4,-2),解得n=-8,则抛物线方程为x2=-8y.故抛物线方程为y2=-x或x2=-8y.
变式3、(山西省临汾一中2019届模拟)直线l过抛物线y2=-2px(p>0)的焦点,且与该抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是( )
A.y2=-12x B.y2=-8x
C.y2=-6x D.y2=-4x
【答案】B
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义可知|AB|=-(x1+x2)+p=8.又AB的中点到y轴的距离为2,∴-=2,∴x1+x2=-4,∴p=4,∴所求抛物线的方程为y2=-8x.故选B.
方法总结:1.求抛物线标准方程的方法
(1)定义法:若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p),那么只需求出p即可.
(2)待定系数法:若题目未给出抛物线的方程,对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2=ax(a≠0),a的正负由题设来定;焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2=ay(a≠0),这样就减少了不必要的讨论.
2.抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程.
(2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质简化运算
考点三 综合考查直线与抛物线的问题
例3、如图,已知抛物线关于y轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(2,1),A(x1,y1),B(x2,y2)均
在抛物线上.
(1)求抛物线的方程;
(2)若∠APB的平分线垂直于y轴,求证:直线AB的斜率为定值.
【解析】 (1)由已知条件,可设抛物线的方程为x2=2py(p>0).∵点P(2,1)在抛物线上,∴22=2p×1,解得p=2.故所求抛物线的方程为x2=4y.
(2)由题意知kAP+kBP=0,∴+=0,
∴+=0,∴+=0,
∴x1+x2=-4,∴kAB====-1,∴直线AB的斜率为定值-1.
变式1、如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(8,-4),P(2,t)(t<0)在抛物线y2=2px(p>0)上.
(1)求p,t的值;
(2)过点P作PM垂直于x轴,M为垂足,直线AM与抛物线的另一交点为B,点C在直线AM上,若PA,PB,PC的斜率分别为k1,k2,k3,且k1+k2=2k3,求点C的坐标.
【解析】 (1)将点A(8,-4)代入y2=2px,得p=1.将点P(2,t)代入y2=2x,得t=±2.∵t<0,∴t=-2.
(2)由题意知,点M的坐标为(2,0),直线AM的方程为y=-x+.联立,解得B
,∴k1=-,k2=-2,代入k1+k2=2k3,得k3=-,故直线PC的方程为y=-x+,联立,解得C.
变式2、过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若|AF|=2|BF|,则|AB|等于( )
A.4 B.
C.5 D.6
【答案】 B
【解析】易知直线l的斜率存在,设为k,则其方程为y=k(x-1).
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
得xA·xB=1,①
因为|AF|=2|BF|,由抛物线的定义得
xA+1=2(xB+1),
即xA=2xB+1,②
由①②解得xA=2,xB=,
所以|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p=.
[应用结论] 法一:由对称性不妨设点A在x轴的上方,如图,设A,B在准线上的射影分别为D,C,作BE⊥AD于E,
设|BF|=m,直线l的倾斜角为θ,则|AB|=3m,
由抛物线的定义知
|AD|=|AF|=2m,|BC|=|BF|=m,
所以cos θ==,所以tan θ=2,则sin2θ=8cos2θ,所以sin2θ=.又y2=4x,知2p=4,故利用弦长公式|AB|==.
法二:因为|AF|=2|BF|,+=+===1,解得|BF|=,|AF|=3,
故|AB|=|AF|+|BF|=.
方法总结:(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.
(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式=x1+x2+p;若不过焦点,则必须用弦长公式.
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
五、优化提升与真题演练
1、(2020年高考全国Ⅰ卷理数)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=( )
A.2 B.3
C.6 D.9
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知,即,解得.
故选:C.
2、(2020年高考全国Ⅲ卷理数)设为坐标原点,直线与抛物线C:交于,两点,若,则的焦点坐标为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为直线与抛物线交于两点,且,
根据抛物线的对称性可以确定,所以,
代入抛物线方程,求得,所以其焦点坐标为,
故选:B.
3、(2020年高考北京)设抛物线的顶点为,焦点为,准线为.是抛物线上异于的一点,过作于,则线段的垂直平分线( )
A. 经过点 B. 经过点
C. 平行于直线 D. 垂直于直线
【答案】B
【解析】如图所示:
.
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等,又点在抛物线上,根据定义可知,,所以线段的垂直平分线经过点.
故选:B.
4、(2019·全国高考)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点,则p=( )
A.2 B.3
C.4 D.8
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,所以,解得,故选D.
5、(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】D
【解析】由题意知直线MN的方程为y=(x+2).联立消去y并整理,得x2-5x+4=0.解得xN=1,xM=4.所以yN=2,yM=4.又抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),所以=(3,4),=(0,2).所以·=3×0+2×4=8.故选D.
6、(2017·全国高考)过抛物线的焦点,且斜率为的直线交于点(在轴上方),为的准线,点在上且,则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设直线与轴相交于点,与直线相交于点,,
设,因为,所以,
所以,解得:,设,由焦半径公式得:,
所以,,
所以,
所以点到直线的距离为.
7、(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=________.
【答案】2
【解析】解法一:由题意可知C的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k的直线方程为x=+1,
设A,B,
将直线方程与抛物线方程联立得
整理得y2-y-4=0,
从而得y1+y2=,y1·y2=-4.
∵M(-1,1),∠AMB=90°,
∴·=0,
即·+(y1-1)(y2-1)=0,
即k2-4k+4=0,解得k=2.
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
②-①得y-y=4(x2-x1),
从而k==.
设AB的中点为M′,如图,连接MM′.
∵直线AB过抛物线y2=4x的焦点,
∴以线段AB为直径的⊙M′与准线l:x=-1相切.
∵M(-1,1),∠AMB=90°,
∴点M在准线l:x=-1上,同时在⊙M′上,
∴准线l是⊙M′的切线,切点为M,且M′M⊥l,
即MM′与x轴平行,
∴点M′的纵坐标为1,
即=1⇒y1+y2=2,
故k===2.
8、(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知是抛物线上的动点,点在轴上的射影是,点的坐标为,则的最小值是__________.
【答案】
【解析】设抛物线的焦点是,
根据抛物线的定义可知
,,
当三点共线时,等号成立,
的最小值是,
,
的最小值是.
故答案为:
9、(2020届山东省泰安市高三上期末)已知抛物线的焦点为F(4,0),过F作直线l交抛物线于M,N两点,则p=_______,的最小值为______.
【答案】
【解析】∵ 抛物线的焦点为F(4,0),
∴ ,
∴ 抛物线的方程为,
设直线的方程为,设,,
由得,
∴,,
由抛物线的定义得
,
∴,
当且仅当即时,等号成立,
故答案为:.
一、 课程标准
1、了解抛物线的实际背景,了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;
2、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
二、 基础知识回顾
1、、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
2 、抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
F
F
F
F
离心率
e=1
准线
x=-
x=
y=-
y=
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0,y0))
=
x0+
=
-x0+
=
y0+
=
-y0+
3 、 与焦点弦有关的常用结论
设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)y1y2=-p2,x1x2=.
(2)|AB|=x1+x2+p=(θ为AB的倾斜角).
(3)+为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切.
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
三、 自主热身、归纳总结
1、抛物线y2=4x的准线方程为( )
A. x=1 B. x=-1 C. y=1 D. y=-1
【答案】 B
【解析】 由题意得抛物线的焦点在x轴上,且2p=4,即p=2,所以抛物线的准线方程为直线x=-=-1.
2、 设抛物线y2=8x上的一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
【答案】 B
【解析】 如图所示,抛物线的准线l的方程为x=-2,F是抛物线的焦点,过点P作PA⊥y轴,垂足为A,延长PA交直线l于点B,则AB=2.因为点P到y轴的距离为4,所以点P到准线l的距离PB=4+2=6,所以点P到焦点的距离PF=PB=6.故选B.
3、过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|=( )
A.9 B.8
C.7 D.6
【答案】B
【解析】抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.
4、拋物线y=2ax2(a≠0)的焦点是( )
A. B.或
C. D.或
【答案】C
【解析】抛物线的方程化成标准形式为x2=y(a≠0),其焦点在y轴上,所以焦点坐标为.故选C.
5、已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程为________.
【答案】y2=±4 x
【解析】:由已知可知双曲线的焦点为(-,0),(,0).设抛物线方程为y2=±2px(p>0),则=,所以p=2 ,所以抛物线方程为y2=±4 x.
6、设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是________.
【答案】[-1,1]
【解析】:Q(-2,0),当直线l的斜率不存在时,不满足题意,故设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,当k=0时,l与抛物线有公共点;当k≠0时,Δ=64(1-k2)≥0得-1≤k<0或0
四、 例题选讲
考点一 抛物线的定义及其应用
例1 (1)已知抛物线定点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线x-y+2=0上,则抛物线方程为____.
(2)动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为____.
【答案】(1)y2=-8x或x2=8y (2)y2=4x
【解析】 (1)直线x-y+2=0与坐标轴的交点分别为(-2,0)和(0,2),当焦点为(-2,0)时,抛物线焦点在x轴负半轴上,且p=4,则抛物线方程为y2=-8x;当焦点为(0,2)时,抛物线焦点在y轴正半轴上且p=4,则抛物线方程为x2=8y;故抛物线方程为y2=-8x或x2=8y.
(2)设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x.
变式1、(1)若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2,O为坐标原点,则△OFP的面积为( )
A. B.1
C. D.2
(2)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为________.
【答案】 (1)B (2)4
【解析】 (1)设P(xP,yP),由题可得抛物线焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
又点P到焦点F的距离为2,
∴由定义知点P到准线的距离为2.
∴xP+1=2,∴xP=1.
代入抛物线方程得|yP|=2,
∴△OFP的面积为S=·|OF|·|yP|=×1×2=1.
(2)如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.
变式2、(1)定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为AB的中点,则点M到y轴的最短距离为( )
A. B.1
C. D.2
(2)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为__________.
【答案】(1)B (2)4
【解析】 (1)如图所示,抛物线y2=2x的准线为l:x=-,过A,B,M分别作AA′,BB′,MM′垂直于l,垂足分别为A′,B′,M′.由抛物线定义知|AA′|=|FA|,|BB′|=|FB|.又M为AB中点,由梯形中位线定理得|MM′|=(|AA′|+|BB′|)=(|FA|+|FB|)≥|AB|=×3=,则M到y轴的距离d≥-=1(当且仅当AB过抛物线的焦点时,等号成立),所以dmin=1,即点M到y轴的最短距离为1.
(2)如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|,则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.故|PB|+|PF|的最小值为4.
方法总结:与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关,实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化.
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解.
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
考点二 抛物线的标准方程及其几何性质
例2 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点,且|AF|=4|FB|,O为坐标原点,若△AOB的面积为,求p的值.
【解析】 易知抛物线y2=2px的焦点F的坐标为,准线为x=-,
不妨设点A在x轴上方,如图,过A、B作准线的垂线AA′,BB′,垂足分别为A′,B′,过点B作BH⊥AA′,交AA′于H,则|BB′|=|A′H|,设|FB|=t,则|AF|=|AA′|=4t,∴|AH|=|AA′|-|A′H|=3t,又|AB|=5t,
∴在Rt△ABH中,cos∠HAB=,
∴tan∠HAB=,
则可得直线AB的方程为y=.由得8x2-17px+2p2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=p+p=p,
易知点O到直线AB的距离为d=p.
∴S△AOB=×p×p==,∴p2=1,又p>0,∴p=1.
变式1、已知点F1,F2分别是双曲线3x2-y2=3a2(a>0)的左、右焦点,点P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点,若+=12,则抛物线的准线方程为__________.
【答案】x=-2
【解析】 将双曲线方程化为标准方程得-=1,抛物线的准线为x=-2a,联立⇒x=3a,即点P的横坐标为3a.而由⇒|PF2|=6-a,又因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同,所以|PF2|=3a+2a=6-a,解得a=1,所以抛物线的准线方程为x=-2.
变式2、(黑龙江省鹤岗一中2019届模拟)顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点P(-4,-2)的抛物线的标准方程是( )
A.y2=-x B.x2=-8y
C.y2=-8x或x2=-y D.y2=-x或x2=-8y
【答案】D
【解析】设抛物线为y2=mx,代入点P(-4,-2),解得m=-1,则抛物线方程为y2=-x;设抛物线为x2=ny,代入点P(-4,-2),解得n=-8,则抛物线方程为x2=-8y.故抛物线方程为y2=-x或x2=-8y.
变式3、(山西省临汾一中2019届模拟)直线l过抛物线y2=-2px(p>0)的焦点,且与该抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是( )
A.y2=-12x B.y2=-8x
C.y2=-6x D.y2=-4x
【答案】B
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义可知|AB|=-(x1+x2)+p=8.又AB的中点到y轴的距离为2,∴-=2,∴x1+x2=-4,∴p=4,∴所求抛物线的方程为y2=-8x.故选B.
方法总结:1.求抛物线标准方程的方法
(1)定义法:若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p),那么只需求出p即可.
(2)待定系数法:若题目未给出抛物线的方程,对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2=ax(a≠0),a的正负由题设来定;焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2=ay(a≠0),这样就减少了不必要的讨论.
2.抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程.
(2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质简化运算
考点三 综合考查直线与抛物线的问题
例3、如图,已知抛物线关于y轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(2,1),A(x1,y1),B(x2,y2)均
在抛物线上.
(1)求抛物线的方程;
(2)若∠APB的平分线垂直于y轴,求证:直线AB的斜率为定值.
【解析】 (1)由已知条件,可设抛物线的方程为x2=2py(p>0).∵点P(2,1)在抛物线上,∴22=2p×1,解得p=2.故所求抛物线的方程为x2=4y.
(2)由题意知kAP+kBP=0,∴+=0,
∴+=0,∴+=0,
∴x1+x2=-4,∴kAB====-1,∴直线AB的斜率为定值-1.
变式1、如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(8,-4),P(2,t)(t<0)在抛物线y2=2px(p>0)上.
(1)求p,t的值;
(2)过点P作PM垂直于x轴,M为垂足,直线AM与抛物线的另一交点为B,点C在直线AM上,若PA,PB,PC的斜率分别为k1,k2,k3,且k1+k2=2k3,求点C的坐标.
【解析】 (1)将点A(8,-4)代入y2=2px,得p=1.将点P(2,t)代入y2=2x,得t=±2.∵t<0,∴t=-2.
(2)由题意知,点M的坐标为(2,0),直线AM的方程为y=-x+.联立,解得B
,∴k1=-,k2=-2,代入k1+k2=2k3,得k3=-,故直线PC的方程为y=-x+,联立,解得C.
变式2、过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若|AF|=2|BF|,则|AB|等于( )
A.4 B.
C.5 D.6
【答案】 B
【解析】易知直线l的斜率存在,设为k,则其方程为y=k(x-1).
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
得xA·xB=1,①
因为|AF|=2|BF|,由抛物线的定义得
xA+1=2(xB+1),
即xA=2xB+1,②
由①②解得xA=2,xB=,
所以|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p=.
[应用结论] 法一:由对称性不妨设点A在x轴的上方,如图,设A,B在准线上的射影分别为D,C,作BE⊥AD于E,
设|BF|=m,直线l的倾斜角为θ,则|AB|=3m,
由抛物线的定义知
|AD|=|AF|=2m,|BC|=|BF|=m,
所以cos θ==,所以tan θ=2,则sin2θ=8cos2θ,所以sin2θ=.又y2=4x,知2p=4,故利用弦长公式|AB|==.
法二:因为|AF|=2|BF|,+=+===1,解得|BF|=,|AF|=3,
故|AB|=|AF|+|BF|=.
方法总结:(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.
(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式=x1+x2+p;若不过焦点,则必须用弦长公式.
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
五、优化提升与真题演练
1、(2020年高考全国Ⅰ卷理数)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=( )
A.2 B.3
C.6 D.9
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知,即,解得.
故选:C.
2、(2020年高考全国Ⅲ卷理数)设为坐标原点,直线与抛物线C:交于,两点,若,则的焦点坐标为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为直线与抛物线交于两点,且,
根据抛物线的对称性可以确定,所以,
代入抛物线方程,求得,所以其焦点坐标为,
故选:B.
3、(2020年高考北京)设抛物线的顶点为,焦点为,准线为.是抛物线上异于的一点,过作于,则线段的垂直平分线( )
A. 经过点 B. 经过点
C. 平行于直线 D. 垂直于直线
【答案】B
【解析】如图所示:
.
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等,又点在抛物线上,根据定义可知,,所以线段的垂直平分线经过点.
故选:B.
4、(2019·全国高考)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点,则p=( )
A.2 B.3
C.4 D.8
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,所以,解得,故选D.
5、(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】D
【解析】由题意知直线MN的方程为y=(x+2).联立消去y并整理,得x2-5x+4=0.解得xN=1,xM=4.所以yN=2,yM=4.又抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),所以=(3,4),=(0,2).所以·=3×0+2×4=8.故选D.
6、(2017·全国高考)过抛物线的焦点,且斜率为的直线交于点(在轴上方),为的准线,点在上且,则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设直线与轴相交于点,与直线相交于点,,
设,因为,所以,
所以,解得:,设,由焦半径公式得:,
所以,,
所以,
所以点到直线的距离为.
7、(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=________.
【答案】2
【解析】解法一:由题意可知C的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k的直线方程为x=+1,
设A,B,
将直线方程与抛物线方程联立得
整理得y2-y-4=0,
从而得y1+y2=,y1·y2=-4.
∵M(-1,1),∠AMB=90°,
∴·=0,
即·+(y1-1)(y2-1)=0,
即k2-4k+4=0,解得k=2.
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
②-①得y-y=4(x2-x1),
从而k==.
设AB的中点为M′,如图,连接MM′.
∵直线AB过抛物线y2=4x的焦点,
∴以线段AB为直径的⊙M′与准线l:x=-1相切.
∵M(-1,1),∠AMB=90°,
∴点M在准线l:x=-1上,同时在⊙M′上,
∴准线l是⊙M′的切线,切点为M,且M′M⊥l,
即MM′与x轴平行,
∴点M′的纵坐标为1,
即=1⇒y1+y2=2,
故k===2.
8、(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知是抛物线上的动点,点在轴上的射影是,点的坐标为,则的最小值是__________.
【答案】
【解析】设抛物线的焦点是,
根据抛物线的定义可知
,,
当三点共线时,等号成立,
的最小值是,
,
的最小值是.
故答案为:
9、(2020届山东省泰安市高三上期末)已知抛物线的焦点为F(4,0),过F作直线l交抛物线于M,N两点,则p=_______,的最小值为______.
【答案】
【解析】∵ 抛物线的焦点为F(4,0),
∴ ,
∴ 抛物线的方程为,
设直线的方程为,设,,
由得,
∴,,
由抛物线的定义得
,
∴,
当且仅当即时,等号成立,
故答案为:.
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