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第26讲 Y=sin(wx+b)的图像与性质-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
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第26讲:Y=sin(wx+b)的图像与性质
一、 课程标准
1.了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωx+φ)的图象,观察参数A、ω、φ对函数图象变化的影响.
2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
二、 基础知识回顾
1. y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+
φ)(A>0,
ω>0),x∈R
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T=
f==
_ωx+φ_
_φ_
2. 用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)一个周期内的简图时,要找五个特征点
如下表所示:
x
ωx+φ
__0__
__π__
__2π__
y=Asin(ωx
+φ)
0
A
0
-A
0
3. 函数y=sinx的图像经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像的步骤如下:
4、与三角函数奇偶性相关的结论
三角函数中,判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称,奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx+b的形式.常见的结论有:
(1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则有φ=kπ+(k∈Z);若为奇函数,则有φ=kπ(k∈Z).
(2)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数,则有φ=kπ(k∈Z);若为奇函数,则有φ=kπ+(k∈Z).
(3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数,则有φ=kπ(k∈Z).
三、 自主热身、归纳总结
1. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图像如图所示,则f的值为( )
第1题图
A. - B. - C. - D. -1
【答案】D
【解析】 由图像可得A=,最小正周期T=4×
=π,则ω==2.又f=sin=-,得φ=,则f(x)=sin,f=sin=sin=-1.故选D.
2. 将函数f(x)=sin(2x+θ)的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图像,若f(x),g(x)的图像都经过点P,则φ的值可以是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 ∵P在f(x)的图像上,∴f(0)=sinθ=.∵θ∈,∴θ=,∴f(x)=sin.∴g(x)=sin.∵g(0)=,
∴sin=.验证φ=π时,sin=sin=sin=成立.故选B.
3、(2019·安徽江南十校联考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,且∀x∈R,有f(x)≤f成立,则f(x)图象的一个对称中心坐标是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,得ω=.
因为f(x)≤f恒成立,所以f(x)max=f,
即×+φ=+2kπ(k∈Z),
由|φ|<,得φ=,故f(x)=sin.
令x+=kπ(k∈Z),得x=2kπ-(k∈Z),
故f(x)图象的对称中心为(k∈Z),
当k=0时,f(x)图象的对称中心为。
4、(江苏宿迁开学调研)有下列四种变换方式,其中能将正弦曲线的图象变为的图象的是
A.横坐标变为原来的,再向左平移
B.横坐标变为原来的,再向左平移
C.向左平移,再将横坐标变为原来的
D.向左平移,再将横坐标变为原来的.
【答案】.
【解析】.横坐标变为原来的,再向左平移,得,故不正确;
.横坐标变为原来的,再向左平移,得,故正确;
.向左平移,再将横坐标变为原来的,得,故正确;
.向左平移,再将横坐标变为原来的,得,故不正确.
5、(2018苏北四市期末) 若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像与直线y=m的三个相邻交点的横坐标分别是,,,则实数ω的值为________.
【答案】、. 4
【解析】、由题意得函数f(x)的最小正周期T=-=,从而ω=4.
6、(2018镇江期末) 函数y=3sin的图像两相邻对称轴的距离为________.
【答案】、
【解析】、由题知函数最小正周期T==π.图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即.
7、(2020江苏镇江期中考试)设函数为参数,且的部分图象如图所示,则的值为______.
【答案】
【解析】由图象可得最小正周期:,即,,
又,,,,,又,,本题正确结果:.
8、(2020江苏扬州高邮上学期开学考试)在平面直角坐标系中,将函数的图像向右平移个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点,则的值为_________.
【答案】
【解析】函数的图像向右平移 个单位得,因为过坐标原点,所以
9、(一题两空)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)一部分图象如图所示,则ω=________,函数f(x)的单调递增区间为________.
【答案】2 (k∈Z)
【解析】由图象知=-=,则周期T=π,即=π,则ω=2,f(x)=2sin(2x+φ).由五点对应法得2×+φ=2kπ,又|φ|<,所以φ=,则f(x)=2sin.令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得-+kπ≤x≤kπ+,k∈Z,即函数的单调递增区间为,k∈Z.
四、 例题选讲
考点一、函数y=Asin(ωx+φ)的图像及其变换
例1 已知函数y=2sin.
(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像;
(3)说明y=2sin的图像可由y=sinx的图像经过怎样的变换而得到.
【解析】 (1)y=2sin的振幅A=2,周期T==π,初相φ=.
(2)令X=2x+,则y=2sin=2sinX.
列表如下:
x
-
X
0
π
2π
y=sinX
0
1
0
-1
0
y=2sin(2x+)
0
2
0
-2
0
描点画出图像,如图所示:
(3)(方法1)把y=sinx的图像上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sin的图像;再把y=sin的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin的图像;最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图像.
(方法2)将y=sinx的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin2x的图像;再将y=sin2x的图像向左平移个单位长度,得到y=sin=sin的图像;再将y=sin的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),即得到y=2sin的图像.
变式1、 (1)(2019·漳州八校联考)若函数f(x)=cos,为了得到函数g(x)=sin 2x的图象,则只需将f(x)的图象( )
A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
(2)已知函数f(x)=4cos x·sin+a的最大值为2.
①求a的值及f(x)的最小正周期;
②画出f(x)在[0,π]上的图象.
【解析】(1)函数f(x)=cos=sin=sin,为了得到函数g(x)=sin 2x的图象,则只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可.故选A.
(2)①f(x)=4cos xsin+a
=4cos x·+a
=sin 2x+2cos2x+a
=sin 2x+cos 2x+1+a
=2sin+1+a的最大值为2,
所以a=-1,最小正周期T==π.
②由①知f(x)=2sin,列表:
x
0
π
2x+
π
2π
f(x)=2sin
1
2
0
-2
0
1
画图如下:
变式2、(2019苏州三市、苏北四市二调)将函数y=2sin3x的图像向左平移个单位长度得到y=f(x)的图像,则f的值为________.
【答案】、 -
【解析】、解法1 由题意可知:y=f(x)=2sin=2sin,所以f=2sin=-2sin=-.
解法2 根据图像平移前后的关系,f的值应和y=2sin3x中x=+时y值相等,所以f=2sin3=-.
变式3、(2019常州期末) 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈R)是偶函数,点(1,0)是函数y=f(x)图像的对称中心,则ω的最小值为________.
【答案】、
【解析】解法1 令ωx+φ=+k1π,k1∈Z,得x=.因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈R)是偶函数,则x==0得φ=+k1π.因为点(1,0)是函数y=f(x)图像的对称中心,所以f(1)=0,即sin(ω+φ)=0,故ω+φ=k2π,k2∈Z,则ω=k2π-φ=k2π-=-+(k2-k1)π.又因为ω>0,所以当k2-k1=1时,ω取最小值为.
解法2 函数f(x)是偶函数,所以图像关于x=0对称.又(1,0)是函数f(x)的对称中心,所以+T=·=1,得ω=π,k∈Z.又ω>0,所以ωmin=.
变式4、(2019苏北三市期末)将函数f(x)=sin2x的图像向右平移个单位长度得到函数g(x)的图像,则以函数f(x)与g(x)的图像的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________.
【答案】、
【解析】、平移后的函数g(x)=sin.令f(x)=g(x),得sin2x=sin.
解法1 2x-=π-2x+2kπ(k∈Z),即x=+(k∈Z),相邻的三个交点为,(-,-),.故所求面积为S=×π×=π.
解法2 sin2x=sin=sin2xcos-cos2x·sin=sin2x-cos2x,即sin=0,则有2x+=kπ(k∈Z),x=-+(k∈Z),相邻的三个交点为,,.
则所求面积S=×π×=π.
方法总结:1.y=Asin(ωx+φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=ωx+φ计算五点坐标.
2.由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
考点二、求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
例2、(2018苏州暑假测试)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,-<φ<,x∈R的部分图像如图所示.
(1) 求函数y=f(x)的解析式;
(2) 当x∈时,求f(x)的取值范围.
解析: (1) 由图像知,A=2,(2分)
又=-=,ω>0,所以T=2π=,得ω=1.(4分)
所以f(x)=2sin(x+φ),将点,2代入,得+φ=+2kπ(k∈Z),即φ=+2kπ(k∈Z),
又-<φ<,所以φ=.(6分)
所以f(x)=2sinx+.(8分)
(2) 当x∈[-,]时,x+∈[-,],(10分)
所以sinx+∈[-,1],即f(x)∈[-,2].(14分)
变式1、(2019苏北四市期末) 函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图像如图所示,若AB=5,则ω的值为________.
【答案】、
【解析】、如图,过点A作垂直于x轴的直线AM,过点B作垂直于y轴的直线BM,直线AM和直线BM相交于点M,在Rt△AMB中,AM=4,BM=·=,AB=5,由勾股定理得AM2+BM2=AB2,所以16+2=25,=3,ω=.
变式2、(1)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为( )
A.f(x)=2sin B.f(x)=2sin
C.f(x)=2sin D.f(x)=2sin
(2)(2019·皖南八校联考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2,且过点,则函数f(x)=________________.
【答案】、 (1)B (2)sin
【解析】、(1)由题图可知A=2,T=2×=4π,故=4π,解得ω=.
所以f(x)=2sin.
把点代入可得2sin=2,
即sin=1,
所以φ-=2kπ+(k∈Z),
解得φ=2kπ+(k∈Z).
又0<φ<π,所以φ=.
所以f(x)=2sin.
(2)依题意得 =2,
则=2,即ω=,
所以f(x)=sin,由于该函数图象过点,因此sin(π+φ)=-,即sin φ=,而-≤φ≤,故φ=,所以f(x)=sin.
方法总结:确定y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的步骤
(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.
(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=.
(3)求φ,常用方法有以下2种:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入;确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口
考点三、三角函数图象与性质的综合问题
例3、已知关于x的方程2sin2x-sin 2x+m-1=0在上有两个不同的实数根,则m的取值范围是________.
【答案】、 (-2,-1)
【解析】、方程2sin2x-sin 2x+m-1=0可转化为
m=1-2sin2x+sin 2x=cos 2x+sin 2x
=2sin,x∈.
设2x+=t,则t∈,
∴题目条件可转化为=sin t,t∈有两个不同的实数根.
∴y1=和y2=sin t,t∈的图象有两个不同交点,如图:
由图象观察知,的取值范围是,
故m的取值范围是(-2,-1).
变式1、(2019无锡期末)已知直线y=a(x+2)(a>0) 与函数 y =|cosx|的图像恰有四个公共点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 其中 x1
【答案】、-2
【解析】、 根据图形可得直线y=a(x+2)与函数y=-cosx的图像相切于点(x4,-cosx4),其中x4∈.因为y=sinx,由导数的几何意义可得a=sinx4=,化简得x4+=-2.
变式2、(2019南京、盐城一模)如图是函数在一个周期内的图象.已知点,是图象上的最低点,是图象上的最高点.
(1)求函数的解析式;
(2)记,均为锐角,求的值.
解析: (1)因为图象在一个周期内的最低点为,与x轴的交点为,
所以,
又,所以,
所以.
将点代入,得 ,
所以,
所以,
又,所以,
所以.
(2)点R的横坐标,所以.
又因为均为锐角,从而,,
所以,
所以
方法总结:三角函数性质的综合问题:主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性及性质的应用.
函数零点(方程根)问题:三角函数图象与x轴(或y=a)的交点,即数形之间的转化问题.
五、优化提升与真题演练
1、【2019年高考天津卷理数】已知函数是奇函数,将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为.若的最小正周期为,且,则
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵为奇函数,∴;
又∴,
又,∴,
∴,故选C.
2、【2018年高考天津理数】将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数
A.在区间上单调递增 B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增 D.在区间上单调递减
【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知:将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为.
则函数的单调递增区间满足,即,
令可得一个单调递增区间为.
函数的单调递减区间满足:,即,
令可得一个单调递减区间为:.
故选A.
3、【2017年高考全国Ⅰ理数】已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+),则下面结论正确的是
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
【答案】D
【解析】因为函数名不同,所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名,则,则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为,再将曲线向左平移个单位长度得到,故选D.
4、【2017年高考天津卷理数】设函数,,其中,.若,,且的最小正周期大于,则
A., B.,
C., D.,
【答案】A
【解析】由题意得,其中,所以,
又,所以,所以,,
由得,故选A.
5、(2017徐州、连云港、宿迁三检)若函数的图象过点,则函数在上的单调减区间是 ▲ .
【答案】、(或)
【解析】、将点代入得:,因为,所以,所以,由得:,,即函数的单调减区间为(),所以数在上的单调减区间是.
6、【2020江苏南京上学期开学考试】函数(A>0,>0)的部分图象如图所示.若函数在区间[m,n]上的值域为[,2],则n﹣m的最小值是_______.
【答案】3.
【解析】由图象知:,,又,,
,,,,
当时,或,,或,;
当时,,,,若最小,则,,本题正确结果:.
7、【2018年高考北京卷理数】设函数f(x)=,若对任意的实数x都成立,则ω的最小值为__________.
【答案】
【解析】因为对任意的实数x都成立,所以取最大值,
所以,
因为,所以当时,ω取最小值为.
8、【2018年高考全国Ⅲ理数】函数在的零点个数为________.
【答案】
【解析】,,由题可知,或,解得,或,故有3个零点.
9、【2018年高考江苏卷】已知函数的图象关于直线对称,则的值是________.
【答案】
【解析】由题意可得,所以,
因为,所以
10、【2017年高考浙江卷】已知函数.
(1)求的值.
(2)求的最小正周期及单调递增区间.
【答案】(1)2;(2)的最小正周期是;单调递增区间是.
【解析】(1)由,,.
得.
(2)由与得.
所以的最小正周期是.
由正弦函数的性质得,
解得,
所以,的单调递增区间是.
11、【2017年高考山东卷理数】设函数,其中.已知.
(1)求;
(2)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的最小值.
【答案】(1);(2)最小值为.
【解析】(1)因为,
所以
.
由题设知,
所以,.
故,,
又,
所以.
(2)由(1)得.
所以.
因为,
所以,
所以当,即时,取得最小值.
一、 课程标准
1.了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωx+φ)的图象,观察参数A、ω、φ对函数图象变化的影响.
2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
二、 基础知识回顾
1. y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+
φ)(A>0,
ω>0),x∈R
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T=
f==
_ωx+φ_
_φ_
2. 用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)一个周期内的简图时,要找五个特征点
如下表所示:
x
ωx+φ
__0__
__π__
__2π__
y=Asin(ωx
+φ)
0
A
0
-A
0
3. 函数y=sinx的图像经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像的步骤如下:
4、与三角函数奇偶性相关的结论
三角函数中,判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称,奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx+b的形式.常见的结论有:
(1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则有φ=kπ+(k∈Z);若为奇函数,则有φ=kπ(k∈Z).
(2)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数,则有φ=kπ(k∈Z);若为奇函数,则有φ=kπ+(k∈Z).
(3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数,则有φ=kπ(k∈Z).
三、 自主热身、归纳总结
1. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图像如图所示,则f的值为( )
第1题图
A. - B. - C. - D. -1
【答案】D
【解析】 由图像可得A=,最小正周期T=4×
=π,则ω==2.又f=sin=-,得φ=,则f(x)=sin,f=sin=sin=-1.故选D.
2. 将函数f(x)=sin(2x+θ)的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图像,若f(x),g(x)的图像都经过点P,则φ的值可以是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 ∵P在f(x)的图像上,∴f(0)=sinθ=.∵θ∈,∴θ=,∴f(x)=sin.∴g(x)=sin.∵g(0)=,
∴sin=.验证φ=π时,sin=sin=sin=成立.故选B.
3、(2019·安徽江南十校联考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,且∀x∈R,有f(x)≤f成立,则f(x)图象的一个对称中心坐标是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,得ω=.
因为f(x)≤f恒成立,所以f(x)max=f,
即×+φ=+2kπ(k∈Z),
由|φ|<,得φ=,故f(x)=sin.
令x+=kπ(k∈Z),得x=2kπ-(k∈Z),
故f(x)图象的对称中心为(k∈Z),
当k=0时,f(x)图象的对称中心为。
4、(江苏宿迁开学调研)有下列四种变换方式,其中能将正弦曲线的图象变为的图象的是
A.横坐标变为原来的,再向左平移
B.横坐标变为原来的,再向左平移
C.向左平移,再将横坐标变为原来的
D.向左平移,再将横坐标变为原来的.
【答案】.
【解析】.横坐标变为原来的,再向左平移,得,故不正确;
.横坐标变为原来的,再向左平移,得,故正确;
.向左平移,再将横坐标变为原来的,得,故正确;
.向左平移,再将横坐标变为原来的,得,故不正确.
5、(2018苏北四市期末) 若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像与直线y=m的三个相邻交点的横坐标分别是,,,则实数ω的值为________.
【答案】、. 4
【解析】、由题意得函数f(x)的最小正周期T=-=,从而ω=4.
6、(2018镇江期末) 函数y=3sin的图像两相邻对称轴的距离为________.
【答案】、
【解析】、由题知函数最小正周期T==π.图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即.
7、(2020江苏镇江期中考试)设函数为参数,且的部分图象如图所示,则的值为______.
【答案】
【解析】由图象可得最小正周期:,即,,
又,,,,,又,,本题正确结果:.
8、(2020江苏扬州高邮上学期开学考试)在平面直角坐标系中,将函数的图像向右平移个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点,则的值为_________.
【答案】
【解析】函数的图像向右平移 个单位得,因为过坐标原点,所以
9、(一题两空)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)一部分图象如图所示,则ω=________,函数f(x)的单调递增区间为________.
【答案】2 (k∈Z)
【解析】由图象知=-=,则周期T=π,即=π,则ω=2,f(x)=2sin(2x+φ).由五点对应法得2×+φ=2kπ,又|φ|<,所以φ=,则f(x)=2sin.令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得-+kπ≤x≤kπ+,k∈Z,即函数的单调递增区间为,k∈Z.
四、 例题选讲
考点一、函数y=Asin(ωx+φ)的图像及其变换
例1 已知函数y=2sin.
(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像;
(3)说明y=2sin的图像可由y=sinx的图像经过怎样的变换而得到.
【解析】 (1)y=2sin的振幅A=2,周期T==π,初相φ=.
(2)令X=2x+,则y=2sin=2sinX.
列表如下:
x
-
X
0
π
2π
y=sinX
0
1
0
-1
0
y=2sin(2x+)
0
2
0
-2
0
描点画出图像,如图所示:
(3)(方法1)把y=sinx的图像上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sin的图像;再把y=sin的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin的图像;最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图像.
(方法2)将y=sinx的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin2x的图像;再将y=sin2x的图像向左平移个单位长度,得到y=sin=sin的图像;再将y=sin的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),即得到y=2sin的图像.
变式1、 (1)(2019·漳州八校联考)若函数f(x)=cos,为了得到函数g(x)=sin 2x的图象,则只需将f(x)的图象( )
A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
(2)已知函数f(x)=4cos x·sin+a的最大值为2.
①求a的值及f(x)的最小正周期;
②画出f(x)在[0,π]上的图象.
【解析】(1)函数f(x)=cos=sin=sin,为了得到函数g(x)=sin 2x的图象,则只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可.故选A.
(2)①f(x)=4cos xsin+a
=4cos x·+a
=sin 2x+2cos2x+a
=sin 2x+cos 2x+1+a
=2sin+1+a的最大值为2,
所以a=-1,最小正周期T==π.
②由①知f(x)=2sin,列表:
x
0
π
2x+
π
2π
f(x)=2sin
1
2
0
-2
0
1
画图如下:
变式2、(2019苏州三市、苏北四市二调)将函数y=2sin3x的图像向左平移个单位长度得到y=f(x)的图像,则f的值为________.
【答案】、 -
【解析】、解法1 由题意可知:y=f(x)=2sin=2sin,所以f=2sin=-2sin=-.
解法2 根据图像平移前后的关系,f的值应和y=2sin3x中x=+时y值相等,所以f=2sin3=-.
变式3、(2019常州期末) 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈R)是偶函数,点(1,0)是函数y=f(x)图像的对称中心,则ω的最小值为________.
【答案】、
【解析】解法1 令ωx+φ=+k1π,k1∈Z,得x=.因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈R)是偶函数,则x==0得φ=+k1π.因为点(1,0)是函数y=f(x)图像的对称中心,所以f(1)=0,即sin(ω+φ)=0,故ω+φ=k2π,k2∈Z,则ω=k2π-φ=k2π-=-+(k2-k1)π.又因为ω>0,所以当k2-k1=1时,ω取最小值为.
解法2 函数f(x)是偶函数,所以图像关于x=0对称.又(1,0)是函数f(x)的对称中心,所以+T=·=1,得ω=π,k∈Z.又ω>0,所以ωmin=.
变式4、(2019苏北三市期末)将函数f(x)=sin2x的图像向右平移个单位长度得到函数g(x)的图像,则以函数f(x)与g(x)的图像的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________.
【答案】、
【解析】、平移后的函数g(x)=sin.令f(x)=g(x),得sin2x=sin.
解法1 2x-=π-2x+2kπ(k∈Z),即x=+(k∈Z),相邻的三个交点为,(-,-),.故所求面积为S=×π×=π.
解法2 sin2x=sin=sin2xcos-cos2x·sin=sin2x-cos2x,即sin=0,则有2x+=kπ(k∈Z),x=-+(k∈Z),相邻的三个交点为,,.
则所求面积S=×π×=π.
方法总结:1.y=Asin(ωx+φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=ωx+φ计算五点坐标.
2.由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
考点二、求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
例2、(2018苏州暑假测试)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,-<φ<,x∈R的部分图像如图所示.
(1) 求函数y=f(x)的解析式;
(2) 当x∈时,求f(x)的取值范围.
解析: (1) 由图像知,A=2,(2分)
又=-=,ω>0,所以T=2π=,得ω=1.(4分)
所以f(x)=2sin(x+φ),将点,2代入,得+φ=+2kπ(k∈Z),即φ=+2kπ(k∈Z),
又-<φ<,所以φ=.(6分)
所以f(x)=2sinx+.(8分)
(2) 当x∈[-,]时,x+∈[-,],(10分)
所以sinx+∈[-,1],即f(x)∈[-,2].(14分)
变式1、(2019苏北四市期末) 函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图像如图所示,若AB=5,则ω的值为________.
【答案】、
【解析】、如图,过点A作垂直于x轴的直线AM,过点B作垂直于y轴的直线BM,直线AM和直线BM相交于点M,在Rt△AMB中,AM=4,BM=·=,AB=5,由勾股定理得AM2+BM2=AB2,所以16+2=25,=3,ω=.
变式2、(1)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为( )
A.f(x)=2sin B.f(x)=2sin
C.f(x)=2sin D.f(x)=2sin
(2)(2019·皖南八校联考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2,且过点,则函数f(x)=________________.
【答案】、 (1)B (2)sin
【解析】、(1)由题图可知A=2,T=2×=4π,故=4π,解得ω=.
所以f(x)=2sin.
把点代入可得2sin=2,
即sin=1,
所以φ-=2kπ+(k∈Z),
解得φ=2kπ+(k∈Z).
又0<φ<π,所以φ=.
所以f(x)=2sin.
(2)依题意得 =2,
则=2,即ω=,
所以f(x)=sin,由于该函数图象过点,因此sin(π+φ)=-,即sin φ=,而-≤φ≤,故φ=,所以f(x)=sin.
方法总结:确定y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的步骤
(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.
(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=.
(3)求φ,常用方法有以下2种:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入;确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口
考点三、三角函数图象与性质的综合问题
例3、已知关于x的方程2sin2x-sin 2x+m-1=0在上有两个不同的实数根,则m的取值范围是________.
【答案】、 (-2,-1)
【解析】、方程2sin2x-sin 2x+m-1=0可转化为
m=1-2sin2x+sin 2x=cos 2x+sin 2x
=2sin,x∈.
设2x+=t,则t∈,
∴题目条件可转化为=sin t,t∈有两个不同的实数根.
∴y1=和y2=sin t,t∈的图象有两个不同交点,如图:
由图象观察知,的取值范围是,
故m的取值范围是(-2,-1).
变式1、(2019无锡期末)已知直线y=a(x+2)(a>0) 与函数 y =|cosx|的图像恰有四个公共点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 其中 x1
【解析】、 根据图形可得直线y=a(x+2)与函数y=-cosx的图像相切于点(x4,-cosx4),其中x4∈.因为y=sinx,由导数的几何意义可得a=sinx4=,化简得x4+=-2.
变式2、(2019南京、盐城一模)如图是函数在一个周期内的图象.已知点,是图象上的最低点,是图象上的最高点.
(1)求函数的解析式;
(2)记,均为锐角,求的值.
解析: (1)因为图象在一个周期内的最低点为,与x轴的交点为,
所以,
又,所以,
所以.
将点代入,得 ,
所以,
所以,
又,所以,
所以.
(2)点R的横坐标,所以.
又因为均为锐角,从而,,
所以,
所以
方法总结:三角函数性质的综合问题:主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性及性质的应用.
函数零点(方程根)问题:三角函数图象与x轴(或y=a)的交点,即数形之间的转化问题.
五、优化提升与真题演练
1、【2019年高考天津卷理数】已知函数是奇函数,将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为.若的最小正周期为,且,则
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵为奇函数,∴;
又∴,
又,∴,
∴,故选C.
2、【2018年高考天津理数】将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数
A.在区间上单调递增 B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增 D.在区间上单调递减
【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知:将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为.
则函数的单调递增区间满足,即,
令可得一个单调递增区间为.
函数的单调递减区间满足:,即,
令可得一个单调递减区间为:.
故选A.
3、【2017年高考全国Ⅰ理数】已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+),则下面结论正确的是
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
【答案】D
【解析】因为函数名不同,所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名,则,则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为,再将曲线向左平移个单位长度得到,故选D.
4、【2017年高考天津卷理数】设函数,,其中,.若,,且的最小正周期大于,则
A., B.,
C., D.,
【答案】A
【解析】由题意得,其中,所以,
又,所以,所以,,
由得,故选A.
5、(2017徐州、连云港、宿迁三检)若函数的图象过点,则函数在上的单调减区间是 ▲ .
【答案】、(或)
【解析】、将点代入得:,因为,所以,所以,由得:,,即函数的单调减区间为(),所以数在上的单调减区间是.
6、【2020江苏南京上学期开学考试】函数(A>0,>0)的部分图象如图所示.若函数在区间[m,n]上的值域为[,2],则n﹣m的最小值是_______.
【答案】3.
【解析】由图象知:,,又,,
,,,,
当时,或,,或,;
当时,,,,若最小,则,,本题正确结果:.
7、【2018年高考北京卷理数】设函数f(x)=,若对任意的实数x都成立,则ω的最小值为__________.
【答案】
【解析】因为对任意的实数x都成立,所以取最大值,
所以,
因为,所以当时,ω取最小值为.
8、【2018年高考全国Ⅲ理数】函数在的零点个数为________.
【答案】
【解析】,,由题可知,或,解得,或,故有3个零点.
9、【2018年高考江苏卷】已知函数的图象关于直线对称,则的值是________.
【答案】
【解析】由题意可得,所以,
因为,所以
10、【2017年高考浙江卷】已知函数.
(1)求的值.
(2)求的最小正周期及单调递增区间.
【答案】(1)2;(2)的最小正周期是;单调递增区间是.
【解析】(1)由,,.
得.
(2)由与得.
所以的最小正周期是.
由正弦函数的性质得,
解得,
所以,的单调递增区间是.
11、【2017年高考山东卷理数】设函数,其中.已知.
(1)求;
(2)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的最小值.
【答案】(1);(2)最小值为.
【解析】(1)因为,
所以
.
由题设知,
所以,.
故,,
又,
所以.
(2)由(1)得.
所以.
因为,
所以,
所以当,即时,取得最小值.
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