第12讲 指数函数-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第12讲：指数函数

一、课程标准

1.   理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象。
2.   探索并理解指数函数的单调性与特殊点.

3.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.

二、基础知识回顾

指数函数的概念

函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．　形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．

3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质

[常用结论]

1．指数函数图象的画法

画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.

2.指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．

3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．

三、自主热身、归纳总结

1、 设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c  B．a＜c＜b

C．b＜a＜c  D．b＜c＜a

2、函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A.a>1，b<0  B.a>1，b>0

C.0<a<1，b>0  D.0<a<1，b<0

3、若函数y＝(a2－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是(     )

A. 1<a<

B. －<a<－1

C. 1<a<，或－<a<－1

D. <a<1，或1<a<

4、(2019·山东济宁二中期末）若函数f(x)＝a|2x－4|(a＞0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)

A．(－∞，2]   B．[2，＋∞)

C．[－2，＋∞)   D．(－∞，－2]

5、已知函数f(x)＝ax－3＋2的图像恒过定点A，则A的坐标为              ．

6. [课本题改编]若不等式x>对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是      ．

四、例题选讲

考点一 指数函数的性质与应用

例1、已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)

A．f(b)<f(a)<f(c)　　 B．f(c)<f(b)<f(a)

C．f(c)<f(a)<f(b)  D．f(b)<f(c)<f(a)

变式1、（2019·广东韶关一中期末）设x>0，且1<bx<ax，则(　　)

A．0<b<a<1   B．0<a<b<1

C．1<b<a   D．1<a<b

变式2、已知函数f（x）＝（）x，若a＝f（20.3），b＝f（2），c＝f（log25），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a

例2、设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是             ；

变式、(2020·包头模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______.

例3、（1）函数f(x)＝的单调减区间为      ．

（2）(一题两空)已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________．

（3）（2019·福建泉州五中模拟）设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a的值为________．

方法总结　指数函数的性质有着广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．

(1)比较两个幂值的大小问题是常见问题，解决这类问题首先要分清底数是否相同；若底数相同，则可利用函数的单调性解决；若底数不同，则要利用中间变量进行比较．

(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题，常常需要借助换元等手段将其化归于指数函数来解，体现化归与转化思想的运用．

(3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分底数0<a<1和a>1两种情形进行分类讨论，防止错解．

考点二 指数函数的图像与性质

例4、（2019·广西北海一中月考）函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

变式1、 （2019·山西平遥中学模拟）已知f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有(　　)

A．a＜0，b＜0，c＜0　　　　 B．a＜0，b＞0，c＞0

C．2－a＜2c  D．1＜2a＋2c＜2

变式2、已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．

变式3、　已知f(x)＝|2x－1|.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)比较f(x＋1)与f(x)的大小；

(3)试确定函数g(x)＝f(x)－x2的零点的个数．

方法总结：指数函数的图像直观的刻画了指数函数的性质，在解题中有着十分广泛的应用．

(1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除；

(2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；

(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数函数图像，数形结合求解．

考点三  指数函数的综合运用

例5　已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1) 求a，b的值；

(2) 若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

变式1、设a是实数，f(x)＝a－(x∈R)．

(1) 试证明对于任意a，f(x)都为增函数；

(2) 试确定a的值，使f(x)为奇函数．

变式2、 已知函数f(x)＝.

(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值；

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

方法总结：是指数函数性质的综合应用，其方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解以上问题都是指数型函数问题，关键应判断其单调性，对于形如y＝af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；若0<a<1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调减(增)区间

五、优化提升与真题演练

1、函数的值域为（　　）

A． B． C．（0，] D．（0，2]

2、2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　)

A.是偶函数，且在R上是增函数

B.是奇函数，且在R上是增函数

C.是偶函数，且在R上是减函数

D.是奇函数，且在R上是减函数

3、.函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是(　　)

A.y＝    B.y＝|x－2|

C.y＝2x－1    D.y＝log2(2x)

4、(2018·上海卷)已知常数a>0，函数f(x)＝的图象经过点P、Q.若2p＋q＝36pq，则a＝________．

5、(2020·河南商丘模拟)已知函数f(x)＝(a2－2a－2)ax是指数函数．

(1)求f(x)的表达式；

(2)判断F(x)＝f(x)＋的奇偶性，并加以证明．

6、已知函数f(x)＝a|x＋b|(a>0，b∈R)．

(1)若f(x)为偶函数，求实数b的值；

(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求实数a，b应满足的条件．

7、设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1，k∈R)，f(x)是定义域为R的奇函数．

(1)求k的值，

(2)判断并证明当a>1时，函数f(x)在R上的单调性；

(3)已知a＝3，若f(3x)≥λ·f(x)对于x∈[1，2]时恒成立．请求出最大的整数λ．

8、（2019·山东烟台二中模拟）已知函数f(x)＝1－(a>0，a≠1)且f(0)＝0.

(1)求a的值；

(2)若函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点，求实数k的取值范围；

(3)当x∈(0，1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，求实数m的取值范围．