第27讲 正弦定理、余弦定理-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第27讲：正弦定理、余弦定理
一、 课程标准
1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，
2、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

二、 基础知识回顾
1．正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．


正弦定
理的常
见变形

(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)＝.

2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
余弦定理的常见变形
(1)cos A＝；
(2)cos B＝；
(3)cos C＝.

3．三角形的面积公式　

(1)S△ABC＝aha(ha为边a上的高)；
(2)S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．



三、 自主热身、归纳总结
1、在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　)
A. B．
C. D.
【答案】C
【解析】　因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝.故选C.
2、在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝.则S△ABC＝(　　)
A.　　　 B.　　　　
C.　　　　 D．2
【答案】C　
【解析】因为A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°，所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，得c＝2，所以由正弦定理得S△ABC＝acsin B＝，故选C.
3、在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】．
【解析】解：由在中，角，，所对的边分别为，，，知：
在中，由余弦定理得：，故正确；
在中，由正弦定理得：，
，故正确；
在中，，
由余弦定理得：，
整理，得，故正确；
在中，由余弦定理得，
故错误．
4、在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论正确的是　　
A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形
C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形
【答案】．
【解析】对于，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是直角三角形；
对于，当时，，根据正弦定理不妨设，，，
显然是等腰三角形，，
说明为锐角，故是锐角三角形；
对于，当时，，根据正弦定理不妨设，，，
可得，说明为钝角，故是钝角三角形；
对于，当时，，根据正弦定理不妨设，，，
此时，不等构成三角形，故命题错误．

5、在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于________．　
【答案】45°
【解析】由正弦定理知＝，则sin B＝＝＝.又a>b，则A>B，所以B为锐角，故B＝45°.
6．在△ABC中，角A，B，C满足sin Acos C－sin Bcos C＝0，则三角形的形状为________．
【答案】直角三角形或等腰三角形
【解析】由已知有cos C(sin A－sin B)＝0，所以有cos C＝0或sin A＝sin B，解得C＝90°，或A＝B.
7、在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为，则C＝____．
【答案】60°
【解析】　(方法1)∵S△ABC＝·AB·AC·sinA＝，即××1×sinA＝，∴sinA＝1.又A∈(0°，180°)，∴A＝90°，∴C＝60°.
(方法2)由正弦定理，得＝，即＝，即
sinC＝.又C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝≠(舍去)．当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝，符合条件．∴C＝60°.


四、 例题选讲
考点一、运用正余弦定理解三角形

例1、（2020届山东实验中学高三上期中）在中，若 ，则=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
余弦定理将各值代入
得
解得或(舍去)选A.
变式1、．【2020江苏淮阴中学期中考试】在中，如果，那么________．
【答案】
【解析】∵sinA：sinB：sinC＝2：3：4，∴由正弦定理可得：a：b：c＝2：3：4，∴不妨设a＝2t，b＝3t，c＝4t，则cosC，∵C∈(0，π)，∴tanC．故答案为．

变式2、（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，若，，则______．
【答案】4
【解析】
∵，
∴由正弦定理得，
∴，
又，
∴由余弦定理得，
∴，
∵为的内角，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
变式3、(2020·贵阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.
(1)求边长a；
(2)求AB边上的高CD的长．
【解析】(1)由题意得，b＝a＋2，c＝a＋4，
由余弦定理cos C＝得cos 120°＝，即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)．所以a＝3.
(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，
由三角形的面积公式得
absin∠ACB＝c×CD，
所以CD＝＝＝，
即AB边上的高CD＝.
法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，
由正弦定理得＝＝.
即sin A＝，
在Rt△ACD中，CD＝ACsin A＝5×＝.
即AB边上的高CD＝
变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（1）求，的值：
（2）求的值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
（1）由，得，
因为在中，，得，
由余弦定理，得，
因为，所以，
解得，所以.
（2）由，得
由正弦定理得.
方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．
考点二、利用正、余弦定理判定三角形形状

例2　△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
【解析】　(1)由已知，根据正弦定理得：2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－，A＝120°.
(2)由(1)得：sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，∵A＝120°，∴＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，与sinB＋sinC＝1联立方程组解得：sinB＝sinC＝，∵0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B＝C＝30°，∴△ABC是等腰钝角三角形．

变式1、(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形　　　　 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】　(1)B　(2)C
【解析】
　(1)法一：因为bcos C＋ccos B＝asin A，
由正弦定理知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，
得sin(B＋C)＝sin Asin A.
又sin(B＋C)＝sin A，得sin A＝1，
即A＝，因此△ABC是直角三角形．
法二：因为bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a，所以asin A＝a，即sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．
(2)因为＝，所以＝，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝，
所以△ABC是等边三角形．

变式2、△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，试确定△ABC的形状．
【解析】(方法1)利用边的关系来判断：
由正弦定理得＝，由2cosAsinB＝sinC，得cosA＝＝.又由余弦定理得cosA＝，∴＝，即c2＝b2＋c2－a2，∴a2＝b2，∴a＝b.又∵a2＋b2－c2＝ab.∴2b2－c2＝b2，∴b2＝c2，∴b＝c，∴a＝b＝c.
∴△ABC为等边三角形．
(方法2)利用角的关系来判断：
∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin(A＋B)，
又∵2cosAsinB＝sinC，∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0，又∵A与B均为△ABC的内角，∴A＝ B. 又由a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cosC＝＝＝，又0°＜C＜180°，∴C＝60°，∴△ABC为等边三角形．

方法总结：　判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想．
考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积
例3、（2020届山东省临沂市高三上期末）在①，，②，，③，三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，______，求的面积S.
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】
选①
∵，，
∴，，
∴
，
由正弦定理得，
∴.
选②
∵，
∴由正弦定理得.
∵，∴.
又∵，
∴，
∴，
∴.
选③
∵ ，，
∴ 由余弦定理得，即，
解得或（舍去）.
，
∴的面积.
故答案为：选①为；选②为；选③为.
变式1、（2020届山东实验中学高三上期中）在中，分别为内角的对边，若，且，则__________．
【答案】4
【解析】已知等式，利用正弦定理化简得：，可得，，可解得，余弦定理可得，，可解得，故答案为.

变式2、【2020江苏溧阳上学期期中考试】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积是______．
【答案】
【解析】，，由正弦定理可得，又，
由余弦定理可得，，解得，又，．故答案为．

变式3、 [2017·南通调研]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2acosB，b＝2，求△ABC的面积．
【解析】(1)在△ABC中，由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab得(a＋b)2－c2＝ab，进而得＝－，即cosC＝－.∵0＜C＜π，∴C＝.
(2)(方法1)∵c＝2acosB，由正弦定理得sinC＝2sinAcosB，∵A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin(A＋B)，
∴sin(A＋B)＝2sinAcosB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，又－＜A－B＜，∴A－B＝0，即A＝B，∴a＝b＝2.
∴△ABC的面积为S△ABC＝absinC＝×2×2×
sin＝.
(方法2)由c＝2acosB及余弦定理得c＝2a×，化简得a＝b＝2，∴△ABC的面积为S△ABC＝absinC＝×2×2×sin＝.
方法总结：1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．



五、优化提升与真题演练
1、【2018年高考全国Ⅱ理数】在中，，，，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为
所以，故选A.
2、【2018年高考全国Ⅲ理数】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，所以，
由余弦定理，得，因为，所以，故选C.
3、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．
【答案】
【解析】由余弦定理得，所以，即，
解得（舍去），
所以，
4、【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
【答案】，
【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而，
，，所以.
.

5、【2018年高考浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．
【答案】，3
【解析】由正弦定理得，所以
由余弦定理得（负值舍去）

6、【2019年高考北京卷理数】在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=．
（1）求b，c的值；
（2）求sin（B–C）的值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由余弦定理，得
.
因为，
所以.
解得.
所以.
（2）由得.
由正弦定理得.
在中，∠B是钝角，
所以∠C为锐角.
所以.
所以.
7、【2020江苏镇江期中考试】已知的内角所对应的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)因为，由正弦定理，得．
因为，所以．
即，所以．
因为，所以，又因为，所以．
(2)由余弦定理及得，，即．
又因为，所以，所以．
8、【2020江苏盐城中学月考】已知△中，，，．求：
(1)角的大小；
(2)△ABC中最小边的边长．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)= –= – ，所以．
(2)因为，所以最小角为，又因为，所以，，又，所以 ．
9、【2020江苏南京上学期开学考】在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝．
(1)求sinB的值；
(2)若点D在BC边上，AD＝BD，求△ABD的面积．
【答案】(1)；(2)3．
【解析】(1)由余弦定理可得：，，由正弦定理可得：．
(2)为锐角，，由余弦定理得：，
又，，