第32讲 平面向量的应用-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第32讲：平面向量的应用
一、 课程标准
1、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
2、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
3、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
4、会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
二、 基础知识回顾
1. 向量在平面几何中的应用
(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义．
(2)证明线段平行，三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件，a∥b⇔＝⇔x1y2－x2y1＝0(x2≠0，y2≠0)．
(3)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．
(4)求夹角问题：利用夹角公式cosθ＝＝
.
(5)用向量方法解决几何问题的步骤：
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
2. 向量在解析几何中的应用
(1)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系．
设直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a＝(a1，a2)平行于l，则k＝tanα＝；如果已知直线的斜率为k＝，则向量(a1，a2)与向量(1，k)一定都与l平行．
(2)与a＝(a1，a2)平行且过P(x0，y0)的直线方程为y－y0＝(x－x0)，过点P(x0，y0)且与向量a＝(a1，a2)垂直的直线方程为y－y0＝－(x－x0)．

三、 自主热身、归纳总结
1、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
【答案】C　
【解析】由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋＝2(D为BC的中点)，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．故选C.
2、在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是________三角形．( )
A. 等边　 B. 等腰　 C. 直角　 D. 等腰直角
【答案】C.
【解析】　由(＋)·＝|AC|2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，2·＝0，∴⊥，∴A＝90°.又根据已知条件不能得到||＝||，故△ABC一定是直角三角形．
3. 在▱ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·等于( )
A. 48　　　 B. 36　　　 C. 24　 D. 12
【答案】24
【解析】　·＝(＋)·(＋)＝·＝
2－2＝×82－×62＝24.
4. 设a，b，c都是单位向量，且a·b＝0，则(c－a)·(c－b)的最小值为 __．
【答案】1－
【解析】　不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(cosθ，sinθ)，则易得(c－a)·(c－b)＝1－sin(θ＋)．故得其最小值为1－.
5、平面上有三个点A(－2，y)，B(0，)，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为 ___．
【答案】y2＝8x(x≠0)
【解析】　由题意得＝(2，－)，＝(x，)，又⊥，∴·＝0，即(2，－)·(x，)＝0，化简得y2＝8x(x≠0)．
6、在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积的比值是___.
【答案】
【解析】　由题意可得＝－－＝－＝2，∴P是线段AC的三等分点(靠近点A)，易知S△PAB＝S△ABC，即S△PAB∶S△ABC＝1∶3.
7、在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，＝λ.若·＝－，则实数λ的值为________．
【答案】、
【解析】、解法1(基底法) 因为＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝λ＋(1－λ)，所以·＝[λ＋(1－λ)]·(－)＝λ||2＋(λ－1)||2＋(1－2λ)·＝4λ＋9(λ－1)＋(1－2λ)×2×3×cos120°＝19λ－12＝－，解得λ＝.
解法2(坐标运算法) 建立如图所示的平面直角坐标系，

由题意有，A(0，0)，B(3，0)，C(－1，)，设点M的坐标为(x，y)，则(x－3，y)＝λ(－1－3，)，即故·＝(3－4λ，λ)·(－4，)＝19λ－12＝－，解得λ＝.

四、 例题选讲
考点一、向量的平行与垂直
例1、(1)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
【答案】(1)B　(2)
【解析】(1)∵(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝m2－n2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B.
(2)由⊥，知·＝0，即·＝(λ＋)·(－)＝(λ－1)·－λ2＋2＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝.
变式1、(1)平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD的形状是( )
A. 矩形　　 B. 菱形　　 C. 正方形　 D. 梯形
(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 内心　 B. 外心　 C. 重心　 D. 垂心
【答案】C.
【解析】　(1)＋＝0⇒＝－＝⇒平面四边形ABCD是平行四边形，(－)·＝·＝0⇒⊥，∴平行四边形ABCD是菱形．故选B.
(2) 由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，∴点P的轨迹必过△ABC的重心．
【答案】C.
变式2、(2018苏北四市期末） 如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，D为边BC的中点．若CE⊥AD，垂足为E，连结BE，则·的值为________．

【答案】 －　
【解析】 建立平面直角坐标系xOy，写出A，B，C，D各点的坐标，利用坐标法求解．
解法1(坐标法) 以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示)，则A(0，0)，B(3，0)，C(－1，)，D，所以直线AD：y＝x，直线CE：y＝－x＋.联立得E，所以＝，＝，从而·＝－＝－.

解法2(向量的数量积) ·＝ED2－DC2＝－CE2.
由(2)2＝(＋)2，得4AD2＝9＋4－6＝7，即AD＝.因为S△ADC＝S△ABC＝，且S△ADC＝AD·CE＝CE，所以CE2＝.故·＝－.
解法3(基底法) 因为E在中线AD上，所以可设＝λ(＋)，则＝(1－λ)－λ，同理＝(1－λ)－λ，所以·＝－3[(1－λ)2＋λ2]－13λ(1－λ)＝－3－7λ(1－λ)．由·E＝0，得(＋)·[(1－λ)－λ]＝0，可解得λ＝.从而·＝－3－＝－.
方法总结：利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
1、若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数
考点二、　平面向量与三角综合
例2、（2016无锡期末） 已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围为________．
【答案】、. (0，]　
【解析】、思路分析 本题题设虽然简单，但不易入手．实际上，本题隐含条件：|α|，|β|，|β－α|必能构成三角形，故引入α与β的夹角θ，根据正弦定理，用θ表示|α|，利用函数思想求解．
设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得＝，所以|α|＝sin(120°－θ)．因为0°<θ<120°，所以0°<120°－θ<120°，所以0 变式1、(2019苏州三市、苏北四市二调）在平面直角坐标系中，设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(sin(α＋)，cos(α＋))，其中0<α<.
(1) 若a∥b，求α的值；
(2) 若tan2α＝－，求a·b的值．
【解析】(1)因为a∥b，所以cosαcos－sinαsin＝0，(2分)
所以cos＝0.(4分)
因为0<α<，所以<2α＋<.于是2α＋＝，解得α＝.(6分)
(2)因为0<α<，所以0<2α<π，又tan2α＝－<0，故<2α<π.
因为tan2α＝＝－，所以cos2α＝－7sin2α<0，
又sin22α＋cos22α＝1，
解得sin2α＝，cos2α＝－.(10分)
因此，a·b＝cosαsin＋sinαcos
＝sin(12分)
＝sin2αcos＋cos2αsin
＝·、＋·＝.(14分)
变式2(2019苏锡常镇调研（一））已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(cosα－sinα，cosα＋sinα)．
(1) 求向量a与b的夹角；
(2) 若(λb－a)⊥a，求实数λ的值．
【解析】 (1)设向量a与b的夹角为θ，
因为|a|＝2，|b|＝＝，(4分)
所以cosθ＝
＝
＝＝.(7分)
考虑到0≤θ≤π，得向量a与b的夹角为.(9分)
(2)若(λb－a)⊥a，则(λb－a)·a＝0，即λb·a－a2＝0，(12分)
因为b·a＝2，a2＝4，所以2λ－4＝0，解得λ＝2.(14分)
变式3、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，
||＝，c＝2，求△ABC的面积．
【解析】 　(1)∵m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，
m·n＝0，∴ccos B＋(b－2a)cos C＝0，在△ABC中，由正弦定理得，sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，sinA＝2sin Acos C，又sin A≠0，∴cos C＝，而C∈(0，π)，
∴∠C＝.
(2)由＝知，－＝－，
∴2＝＋，
两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，
∴a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，∴S△ABC＝absin∠ACB＝2.
方法总结：(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法．
(2)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解．
(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量夹角的错误．
考点三、平面向量与解析几何
例3　(1)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A，B，C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．
(2)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
【答案】（1）2x＋y－3＝0.（2）6.
【解析】(1)∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(6，k－5)，且∥，
∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，
解得k＝－2或k＝11.
由k<0可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.
(2)由题意，得F(－1,0)，设P(x0，y0)，
则有＋＝1，解得y＝3，
因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，
所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝＋x0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－2，
因为－2≤x0≤2，
故当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6.
变式1、如图：已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A(2，0)是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且·＝0，|－|＝2|－|.

(1)求椭圆的方程；
(2)若AB上的一点F满足－2＋3＝0，求证：CF平分∠BCA.
【解析】(1)∵·＝0，∴⊥，∠ACB＝90°.
又|－|＝2|－|，即||＝2||，
∴△AOC是等腰直角三角形．
∵A(2，0)，∴C(1，1)，而点C在椭圆上，∴＋＝1，a＝2，∴b2＝.
∴所求椭圆方程为＋＝1.(2)由(1)，得C(1，1)，B(－1，－1)．
又－2＋3＝0，
即＋＝2－2⇒＝2.
设F(x0，y0)．
则x0＝－，∴F(1，－)．CF⊥x轴，
∴∠ACF＝∠FCB＝45°，即CF平分∠BCA.
变式2、(2018苏中三市、苏北四市三调）如图，已知，为的中点，分别以为直径在的同侧作半圆，分别为两半圆上的动点（不含端点），且，则的最大值为 ．

【思路分析】处理向量数量问题，主要是坐标法和基底法，解法1，建立坐标系，设，，得到M,N坐标，建立以角的函数关系式；解法2，两个向量不共起点，可以转化为以为起点的向量，运用向量数量积的定义得到关于的函数，换元转化二次函数，求最值；解法3，
建立坐标系后，设出直线和方程，为直线与圆的交点，联立直线与圆方程，求出的坐标，得到一个关于斜率的函数关系式，换元后求最值.
【答案】
【解析】【解法1】（坐标法）以点为坐标原点，线段所在的直线为轴，建立平面坐标系。设，，则,，，

=，当时，的最大值为.
【解法2】（定义法）设，，





，
令，，，所以的最大值为.
【解法3】（解析几何法）以点为坐标原点，线段所在的直线为轴，建立平面坐标系。，设直线的斜率为，则直线的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为，
联立解得，
联立解得，
因为 ，，
所以，，

令，则，，所以的最大值为.
方法总结：向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用， 对于解析几何中出现的垂直可转化为向量数量积等于0，对于共线的线段长度乘积可转化为向量的数量积等．

五、优化提升与真题演练
1、【2020年全国2卷】.已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
【答案】
【解析】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
2、【2020年全国3卷】.已知向量a，b满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，，.
，
因此，.
故选：D.
3、【2019年高考天津卷理数】在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则___________．
【答案】
【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，则，.
因为∥，，所以，
因为，所以，
所以直线的斜率为，其方程为，
直线的斜率为，其方程为.
由得，，
所以.
所以.

4、【2019年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是___________．

【答案】.
【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．

，

，
得即故