第28讲 正弦定理、余弦定理得应用-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第28讲：正弦定理、余弦定理得应用
一、 课程标准

1.解三角形的实际应用
2.正、余弦定理在平面几何中的应用
3.解三角形与三角函数的综合问题

二、 基础知识回顾

1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．

2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3．方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
区分两种角
(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．
(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
4．坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．

三、 自主热身、归纳总结
1、(2019苏州三市、苏北四市二调）在△ABC中，已知C＝120°，sinB＝2sinA，且△ABC的面积为2，则AB的长为________．
【答案】、 2
【解析】、设角A，B，C的对边分别为a，b，c.因为sinB ＝2 sinA，由正弦定理得b＝2a，因为△ABC的面积为2，所以S＝absin120°＝a2＝2，解得a＝2，所以b＝4，则AB＝c＝＝＝2.
2、(2019南京学情调研）已知△ABC的面积为3，且AC－AB＝2，cosA＝－，则BC的长为________．
【答案】、. 8　
【解析】、在△ABC中，cosA＝－，所以sinA＝＝，由S△ABC＝bcsinA＝bc×＝3得bc＝24，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b－c)2＋2bc－2bccosA＝22＋48＋12＝64，即a＝8.

3、(2019苏锡常镇调研（一））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知5a＝8b，A＝2B，则sin＝________．
【答案】、 　
【解析】、因为5a＝8b，所以由正弦定理可得5sinA＝8sinB，即sinA＝sinB，因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，则sinB＝2sinBcosB，因为sinB>0，所以cosB＝，则sinB＝＝，故sinA＝，因为A＝2B，所以cosA＝cos2B＝2cos2B－1＝，所以sin＝sinAcos－cosAsin＝.
本题综合考查了正弦定理，同角三角函数关系，三角恒等变换等多个知识点的应用．
4、(2018苏北四市期末）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bsinAsinB＋acos2B＝2c，则的值为________．
【答案】、2　
【解析】、由正弦定理得，sinBsinAsinB＋sinAcos2B＝2sinC，即sinA(sin2B＋cos2B)＝2sinC，即sinA＝2sinC，再由正弦定理得，＝＝2.
5、(一题两空)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C，且△ABC的周长为9，△ABC的面积为3sin C，则c＝____，cos C＝________.
【答案】、4　－
【解析】、△ABC中，角A，B，C，所对边分别是a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C，则a＋b＝，
且△ABC的周长为9，则：c＋＝9，
解得c＝4.
若△ABC的面积等于3sin C，则absin C＝3sin C，
整理得ab＝6，由于a＋b＝＝5，
故　解得或
所以cos C＝＝－.

6、(多选)下列命题中，正确的是(　　)
A．在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B
B．在锐角三角形ABC中，不等式sin A＞cos B恒成立
C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
【答案】、ABD　
【解析】、对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B∈，且A＋B＞，则＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c.又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选A、B、D.
四、 例题选讲
考点1　利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题

例1、 如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一
段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.
【答案】　900
【解析】　由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，所以∠AQB＝30°，所以AB＝BQ.
又PB为公共边，所以△PAB≌△PQB，所以PQ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，
所以P，Q两点间的距离为900 m.
变式1、(2017南京、盐城二模）如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝10 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________m.

【答案】 30　
【解析】在△BCD中，由正弦定理得BC＝·10＝10(m)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan60°＝30(m)．

变式2、　如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．

此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：≈2.449)．

【解析】　　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝10t(海里)，BD＝10t(海里)．
在△ABC中，∵AB＝(－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC＝＝(海里)．根据正弦定理，可得sin∠ABC＝＝＝.
∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.
在△BCD中，根据正弦定理，可得sin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝(海里)，则有10t＝，t＝≈0.245小时＝14.7分钟．故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．

变式3、如图，在某港口A处获悉，其正东方向距离20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30°距港口10海里的C处，救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船．


(1)求接到救援命令时救援船距渔船的距离；
(2)试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(已知
cos49°＝)
【解析】　(1)由题意可知在三角形ABC中，AB＝20，AC＝10，∠CAB＝120°，∵CB2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝202＋102－2×20×10×cos120＝700.∴BC＝10，∴接到救援命令时救援船距离渔船的距离为10海里．
(2)三角形ABC中，AB＝20，BC＝10，∠CAB＝120°，由正弦定理得＝，即＝，∴sin∠ACB＝.∵cos49°＝sin41°＝，∴∠ACB＝41°，故救援船应沿北偏东71°的方向救援．

方法总结：(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
题型二 正余弦定理在三角形中的运用
例1、(2015南京、盐城、徐州二模）如图，在△ABC中，D是BC上的一点．已知∠B＝60°，AD＝2，AC＝，DC＝，则AB＝________.


【答案】　
【解析】、在△ACD中，因为AD＝2，AC＝，DC＝，所以cos∠ADC＝＝－，从而∠ADC＝135°，所以∠ADB＝45°.在△ADB中，＝，所以AB＝＝
变式1、(2015南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD的值为________．

【答案】　
【解析】、 从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD＝∠A－45°)，也可以从和的角度(∠A＝∠CAD＋45°)，所以只需从余弦定理入手求出∠A的正切值，问题就迎刃而解了．
解法1 在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，由余弦定理可得cosA＝＝－，所以tanA＝－，于是
tan∠CAD＝tan(A－45°)＝＝.
解法2 由解法1得tanA＝－.由tan(45°＋∠CAD)＝－得＝－，即＝－，解得tan∠CAD＝.

变式2、(2017徐州、连云港、宿迁三检）














如图，在中，已知点在边上，，，，．
（1）求的值；
（2）求的长．


解析：（1）在中，，，
所以．
同理可得，．
所以

．
（2）在中，由正弦定理得，．
又，所以．
在中，由余弦定理得，

．
变式3、(2016徐州、连云港、宿迁三检）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝1，BD＝2，∠CAD＝，tan∠ADC＝－2.
(1) 求CD的长；
(2) 求△BCD的面积．

解析： (1)因为tan∠ADC＝－2，且∠ADC∈(0，π)，所以sin∠ADC＝，cos∠ADC＝－.
所以sin∠ACD＝sin
＝sin
＝sin∠ADC·cos＋cos∠ADC·sin
＝，(6分)
在△ADC中，由正弦定理得CD＝＝
(2) 因为AD∥BC, 所以cos∠BCD＝－cos∠ADC＝，sin∠BCD＝sin∠ADC＝
在△BDC中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD，
得BC2－2BC－35＝0，解得BC＝7, (12分)
所以S△BCD＝BC·CD·sin∠BCD＝×7××＝7.
变式4、（2017年苏北四市模拟）如图，在四边形ABCD中，已知AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝，·＝50.
(1) 求cos∠BAC的值；
(2) 求sin∠CAD的值；
(3) 求△BAD的面积．

解析： (1) 因为·＝cos∠BAC，
所以cos∠BAC＝＝＝.
(2) 在△ADC中，AC＝10，AD＝5，CD＝.
由余弦定理，得cos∠CAD＝＝＝.
因为∠CAD∈(0，π)，所以sin∠CAD＝＝＝.
(3) 由(1)知，cos∠BAC＝.
因为∠BAC∈(0，π)，
所以sin∠BAC＝＝＝.
从而sin∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD)
＝sin∠BACcos∠CAD＋cos∠BACsin∠CAD
＝×＋×＝.
所以S△BAD＝AB·AD·sin∠BAD＝×13×5×
方法总结：正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题，许多题目中往往给出多边形，因此，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决。

考点三、正余弦定理的综合问题
例1、（1）（2020届山东省济宁市高三上期末）在中,,则的面积为( )
A． B．1 C． D．
（2）（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知△的内角的对边分别为，若，，则△面积的最大值是
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）B
【解析】
（1）
故，
（2）由题意知，由余弦定理，，故，有，故.
故选：B
变式1、【2020江苏南京9月调研】已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin2B＝bsinA．
(1)求B的大小；
(2)若cosC＝，求的值．
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)由正弦定理得：，即．
∵A，B∈(0，π)，∴(*)可化简为，∴．
(2)由(1)知，可得，∵，C∈(0，π)，∴．
，
∵A∈(0，π)，∴，
变式2、(2019常州期末）已知△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且b2－bcsinA＋c2＝a2.
(1) 求角A的大小；
(2) 若tanBtanC＝3，且a＝2，求△ABC的周长．
. 规范解答 (1) 由余弦定理得a2＝b2－2bccosA＋c2.
又b2－bcsinA＋c2＝a2，所以b2－2bccosA＋c2＝b2－bcsinA＋c2，即2bccosA＝bcsinA.(3分)
从而sinA＝cosA，若cosA＝0，则sinA＝0，与sin2A＋cos2A＝1矛盾，所以cosA≠0，所以tanA＝.又A∈(0，π)，所以A＝.(7分)
(2) ＝tan(B＋C)＝tan(π－A)＝tan＝－.(9分)
又tanBtanC＝3，所以tanB＋tanC＝－×(－2)＝2，解得tanB＝tanC＝.(11分)
又B，C∈(0，π)，所以B＝C＝，又因为A＝，所以△ABC是正三角形．
由a＝2得△ABC的周长为6.(14分)
方法总结：在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.


五、优化提升与真题演练
1、【2020年江苏卷】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
（2）由于，，所以.
由于，所以，所以
所以
.
由于，所以.
所以.

2、【2020年山东卷】.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】解法一：
由可得：，
不妨设，
则：，即.
选择条件①的解析：
据此可得：，，此时.
选择条件②的解析：
据此可得：，
则：，此时：，则：.
选择条件③的解析：
可得，，
与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.
解法二：∵,
∴,
，
∴,∴,∴,∴,
若选①，,∵,∴,∴c=1;
若选②，,则,;
若选③,与条件矛盾.
3、【2018年高考北京卷理数】在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–．
（1）求∠A；
（2）求AC边上的高．
【解析】（1）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），
∴sinB=．
由正弦定理得=，
∴sinA=．
∵B∈（，π），∴A∈（0，），
∴∠A=．
（2）在△ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．
如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，
∴AC边上的高为．

4、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
【答案】（1）B=60°；（2）.
【解析】（1）由题设及正弦定理得．
因为sinA0，所以．
由，可得，故．
因为，故，
因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得．
由于△ABC为锐角三角形，故0°