第29讲 平面向量的概念与线性运算-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第29讲：平面向量的概念与线性运算

一、课程标准

1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．

2.掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义．

3.掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义．

4.了解向量的线性运算性质及其几何意义.

二、基础知识回顾

知识梳理

1. 向量的有关概念

(1)零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的．

(2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我们规定零向量与任一向量平行．

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．

(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(5)相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．

2. 向量的线性运算

(1)向量加法满足交换律a＋b＝b＋a，结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则．

(2)向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ>0时，λa与a方向相同；

当λ<0时，λa与a方向相反；

当a＝0时，λa＝0；

当λ＝0时，λa＝0．

(3)实数与向量的运算律：设λ，μ∈R，a，b是向量，则有：

①λ(μa)＝(λμ)a；

②(λ＋μ)a＝λa＋μa；

③λ(a＋b)＝λa＋λb．

3. 向量共线定理：

如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa．

三、自主热身、归纳总结

1、在下列结论中，正确的是(      )

A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

B. 模相等的两个平行向量是相等向量

C. 若a和b都是单位向量，则a＝b

D. 两个相等向量的模相等

2、对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(      )

A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件

C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件

3、已知＝4e1＋2e2，＝2e1＋te2，若M、P、Q三点共线，则t＝(      )

A. 1　   B. 2　  C. 4　  D. －1

4、（2019秋•如皋市期末）在梯形中，，，，分别是，的中点，与交于，设，，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

5、在△ABC中，＝＝，则∠BAC＝_____．

6、已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)

A．△ABC的内部   B．AC边所在直线上

C．AB边所在直线上   D．BC边所在直线上

四、例题选讲

考点一、平面向量的有关概念

例1、（2019年徐州开学初考试）给出下列四个命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；

③若a＝b，b＝c，则a＝c；

④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.

其中正确命题的序号是(　　)

A.②③   B.①②   C.③④   D.②④

变式1、设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是(　　)

A．0　　　　　　　　　 B．1

C．2   D．3

变式2、给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；

③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中错误的命题的个数为(　　)

A．0   B．1

C．2   D．3

变式3、（山东泰安一中2019届高三模拟）给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；

③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中错误的命题的个数为(　　)

A．0　　　　　　　　　　 B.1

变式4、下列命题中，正确的是(　　)

A.  ＝⇒a＝b;  B. >⇒a>b；

C. a＝b⇒＝；  D. ＝0⇒a＝0

方法总结：向量有关概念的关键点

(1)向量定义的关键是方向和长度．

(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．

(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．

(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．

(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．

考点2　向量的线性运算

例1、(1)(2019·安徽合肥二模)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　　)

A.a＋b  B．a＋b

C.a－b  D.a－b

(2)(一题多解)(2020·广东一模)已知A，B，C三点不共线，且点O满足16－12－3＝0，则(　　)

A.＝12＋3  B．＝12－3

C.＝－12＋3  D.＝－12－3

变式1、（山西平遥中学2019届期末）在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于(　　)

A.b＋c　　　　　　 B.c－b

C.b－c  D．b＋c

变式2、(2019·衡水中学五调)如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝(　　)

A.－＋           B   .＋

C. －             D     .－

变式3、(1)如图(1)所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝          (用a，b表示)．

图(1)

　                　图(2)

(2)如图(2)，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则＋＋＝____.

变式4、（2019无锡区期末）如图，在平行四边形中，下列计算错误的是　　

A．                     B．

C． D．

变式5、（2019宿迁期末）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是　　

方法总结：向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．

考点3　共线定理的应用

例3、如图，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示.

变式1、(2019·河南郑州第一次质量预测)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2＋x＋＝0成立的实数x的取值集合为(　　)

A.{0}    B.∅

C.{－1}    D.{0，－1}

变式2、（2019秋•清远期末）等边三角形中，，，与交于，则下列结论正确的是　　

A． B．

C．                      D．

变式3、如图，在平行四边形OADB中，设＝a，＝b，＝，＝，试用a，b表示，及.

变式4、设两个非零向量a与b不共线．

(1)＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

方法总结：利用共线向量定理解题的方法

(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔，共线．

(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.

(4)＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.

五、优化提升与真题演练

1、(多选)设a，b是不共线的两个平面向量，已知＝a＋sin α·b，其中α∈(0,2π)，＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为(　　)

A.  B．

C.  D.

2、（2019秋•连云港期末）已知是平行四边形对角线的交点，则　　

A． B． C． D．

3、（2019秋•宿迁期末）如图，已知点为正六边形中心，下列结论中正确的是　　

A． B． 

C． D．

4、设两个非零向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a，tb，(a＋b)的终点在同一条直线上，则实数t的值为________．

5、【2018年高考全国I卷理数】在中，为边上的中线，为的中点，则

A．       B． 

C．       D．

6、【江苏卷】在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．