2020高考数学文科大一轮复习导学案：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.4

知识点一　复数的概念

1．复数的概念

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

2．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

4．复数的模

向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.

1．判断正误

(1)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时复数z为纯虚数．(　×　)

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　×　)

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　)

2．下列各式的运算结果为纯虚数的是(　C　)

A．i(1＋i)2    B．i2(1－i)

C．(1＋i)2    D．i(1＋i)

解析：i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数，排除A；i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数，排除B；i(1＋i)＝－1＋i，不是纯虚数，排除D；(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数．故选C.

知识点二　复数的几何意义

3．(2018·北京卷)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　D　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

解析：＝＝＋i，其共轭复数为－i，对应的点为(，－)，故选D.

知识点三　复数的运算

1．复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

(4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

2．复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

4．(2018·全国卷Ⅱ)＝(　D　)

A．－－i   B．－＋i

C．－－i   D．－＋i

解析：＝＝－＋i，故选D.

5．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　C　)

A．0　　　　B.　　　　C．1　　　　D.

解析：解法1：因为z＝＋2i＝＋2i

＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C.

解法2：因为z＝＋2i＝

＝，所以|z|＝||＝

＝＝1，故选C.

1．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；

i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．

2．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.

3．复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．

4．复数减法的几何意义：复数z1－z2是－＝所对应的复数．

考向一　　复数的概念

【例1】　(1)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)

A．－1   B．0

C．1   D．－1或1

(2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　)

A．－4   B．－

C．4   D.

(3)(2019·合肥模拟)设z2＝z1－i(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为________．

【解析】　(1)由纯虚数的定义得到

解得x＝－1.

(2)因为|4＋3i|＝＝5，

所以z＝＝

＝＝＋i，

所以z的虚部为.

(3)设z1＝a＋bi(a，b∈R)，

所以＝a－bi，z2＝z1－i

＝a＋bi－i(a－bi)＝a＋bi－ai－b＝a－b＋(b－a)i，

因为z2的实部是－1，

所以a－b＝－1，

所以z2的虚部为b－a＝1.

【答案】　(1)A　(2)D　(3)1

　　解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件的问题，只需把复数化为a＋bi(a，b∈R)的形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．

(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．

(1)已知a∈R，复数z＝为纯虚数(i为虚数单位)，则a＝

(　B　)

A．－   B．－1

C．1   D.

(2)若复数z满足i·z＝－(1＋i)，则z的共轭复数的虚部是(　C　)

A．－i   B.i

C．－   D.

解析：(1)z＝＝＋i.

由题意，得＝0且≠0，

解得a＝－1.

(2)由题意，得z＝－·＝－·＝－＋i，所以z的共轭复数的虚部是－，故选C.

考向二　复数的几何意义

【例2】　(1)在复平面内，复数对应的点在(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

(2)在复平面内，若O(0,0)，A(2，－1)，B(0,3)，则在▱OACB中，点C所对应的复数为(　　)

A．2＋2i   B．2－2i

C．1＋i   D．1－i

【解析】　(1)由题意得

＝＝－＋i，

该复数在复平面内所对应的点位于第二象限．故选B.

(2)如图所示，设C(x，y)．

∵O(0,0)，A(2，－1)，B(0,3)，

∴＝(0,3)，＝(x－2，y＋1)．

由题意可得＝，则

解得x＝y＝2，

∴点C所对应的复数为2＋2i，故选A.

【答案】　(1)B　(2)A

(1)已知复数z满足(1－i)2·z＝1＋2i，则复数在复平面内对应的点为(　A　)

A.   B.

C.   D.

(2)复数(a∈R)在复平面内对应的点在第一象限，则a的取值范围为(　A　)

A．a<0   B．0<a<1

C．a>1   D．a<－1

解析：(1)复数z满足(1－i)2·z＝1＋2i，则z＝＝＝＝＝－1＋i，所以＝－1－i，即复数在复平面内对应的点为，故选A.

(2)由题意可得＝－i，则>0，－>0，由此可得a的取值范围为a<0，故选A.

考向三　复数的运算

【例3】　(1)(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝(　　)

A．－3－i   B．－3＋i

C．3－i   D．3＋i

(2)已知＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则|a－bi|＝(　　)

A．1   B.

C.   D.

【解析】　(1)(1＋i)(2－i)

＝2－i＋2i－i2＝3＋i.

(2)由题得i＝(1＋i)(a＋bi)

＝(a－b)＋(a＋b)i，

则

解得

所以＝＝，故选D.

【答案】　(1)D　(2)D

1复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.

2记住以下结论，可提高运算速度：

(1)已知i为虚数单位，则复数＝(　C　)

A．2＋i   B．2－i

C．－1－2i   D．－1＋2i

(2)6＋＝－1＋i.

(3)＝－4i.

解析：(1)复数＝

＝＝－1－2i.故选C.

(2)原式＝6＋

＝i6＋＝－1＋i.

(3)

＝

＝＝i(1＋i)4

＝i[(1＋i)2]2＝i(2i)2＝－4i.