（新高考）2021届高三培优专练9 平面向量解析版

培优9  平面向量一、平面向量的线性运算与共线定理例1：在中，，是直线上一点，若，则实数         ．【答案】【解析】因为，所以，因为是直线上的一点，所以设，则，即，则，．二、平面向量的基本定理（三角形的四心问题）例2：已知，，是平面内不共线三点，是的外心，动点满足，则的轨迹一定通过的（    ）A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心【答案】D【解析】取边的中点，则，由，可得，所以，即点的轨迹为三角形中边上的中线，故选D．三、平面向量的建系坐标化应用例3：已知是边长为的正六边形内的一点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，建立平面直角坐标系，由题意知，，，，设，则，∵，∴，∴的取值范围是．四、平面向量的数量积例4：如图在矩形中，，，点为的中点，点在上，若，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】选基向量和，由题意得，，，∴，∴，即，解得，∵点为的中点，，∴，，∴．五、平面向量与三角函数结合例5：已知，，．（1）求函数的解析式，及的最小正周期；（2）当时，函数的最大值为，求此函数的最小值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）∵，，，∴，故．（2）当时，．由，．                               增分训练一、选择题1．已知向量，其中，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，又∵，∴，即的最小值为．2．在中，是边所在直线上任意一点，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵中，是边所在直线上任意一点，∴存在实数，使得，即，化简得，∵，∴结合平面向量基本定理，得，解之得，．3．若为所在平面内一点，且满足，则的形状为（    ）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】B【解析】∵，，∴原式化为，即对角线构成平行四边形为矩形，∴为直角三角形．4．如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，则三角形的面积为，解得，由，且，，三点共线，可知，，故．以点为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立如图所示坐标系，则，，，，则，，，（当且仅当，即时取“”）．故的最小值为．5．已知，且，，，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，，，且，又，取中点为，可得，∵，∴的终点在以为圆心，为半径的圆上运动，当点在点处，的最小值为；当点在的延长线时，的最大值为，∴的取值范围是．6．已知向量，，若是实数，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴，∴，当时取等号．7．设，，分别是的内角，，的对边，已知，设是边的中点，且的面积为，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴由正弦定理可得，整理可得，∴由余弦定理可得，∴由，可得，又的面积为，即，∴，又．8．是平面上定点，是平面内不共线三点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】设为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为的角平分线的方向，又，所以与的方向相同，由，可得，所以点在上移动，故的轨迹一定是通过的内心，故选B．9．已知，，，；若是所在平面内一点，且，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意建立如图所示的坐标系，可得，，，∵，∴，∴，，∴，当且仅当，即时，取等号，由，可得；由，可得，∴的最大值为，最小值为，则的范围是．10．在平行四边形中，分别是，的中点，交于点，记，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，分别是，的中点，∵三点共线，∴存在实数，使得，∵三点共线，∴存在实数，且，使得，即，解得，，，故．11．（多选题）在中，若，则下列说法错误的是（    ）A．是的外心 B．是的内心C．是的重心 D．是的垂心【答案】ABC【解析】∵，∴，∴，∴，同理由，得到，∴点是的三条高的交点．12．（多选题）在中，下列命题正确的是（    ）A．B．C．点为内一点，且，则为等腰三角形D．，则为锐角三角形【答案】BC【解析】A中，由向量的减法法则可知：，题中的说法错误；B中，由向量加法的三角形法则可得，题中的说法正确；C中，因为，即；又因为，所以，即，所以是等腰三角形，题中的说法正确；D中，若，则，据此可知为锐角，无法确定为锐角三角形，题中的说法错误． 二、填空题13．已知，是单位向量，，，，，若，则实数         ；若，，三点共线，则实数        ．【答案】；【解析】由已知可得，解得实数．∵，，三点共线，又，，∴，解得实数．14．如图，是半径为的圆的直径，是圆上异于的，一点，是线段上靠近的三等分点，且，则的值为        ．【答案】【解析】如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，则圆，设，，，∵是线段上靠近的三等分点，∴，解得，即，，∵，∴，解得，即，故的值为． 三、解答题15．已知向量，．（1）设，求在上的减区间；（2）若，向量与共线，且为第二象限角，求．【答案】（1）减区间为；（2）．【解析】（1），令，可得，取，得在上的减区间为．（2）因为，，与向量共线，所以，即，又因为是第二象限角，所以，，所以：，．16．已知函数，其中，，．（1）求函数的单调递减区间；（2）在中，角，，所对的边分别为，，，，，且向量与向量共线，求的面积．【答案】（1）单调递减区间为；（2）．【解析】（1），令，解得，∴函数的单调递减区间为．（2）∵，∴，即，∴，∴，又∵，∴，∵，∴由余弦定理得①∵向量与共线，∴，由正弦定理得②由①②得，，∴．