（新高考）2021届高三培优专练15 平行垂直关系的证明解析版

培优15  平行垂直关系的证明一、平行关系的判断与证明例1：如图，异面直线、，，，为中点，，，，，，，求证：为中点．【答案】证明见解析．【解析】连交于，连、，，． 二、垂直关系的判断与证明 例2：如图，所在的平面，是的直径，是上的一点，分别是点在上的射影，给出下列结论：①；②；③；④面．其中正确命题的序号是        ．【答案】①②③【解析】，，那么平面，则，又，则平面，可得，那么①③正确；同理②也正确，易知④错误．三、平行垂直关系的判断与证明 例3：如图，为圆的直径，点、在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，．（1）求四棱锥的体积；（2）求证：平面平面；（3）在线段上是否存在一点，使得平面，并说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，详见解析．【解析】（1）∵，∴，作交于点，则，∵平面平面，∴面，则．（2）∵平面平面，，平面平面，∴平面，∵平面，∴，又∵为圆的直径，∴，∴平面，∵面，∴平面平面．（3）取中点记作，设的中点为，连接，，则∥，又∥，则∥，所以为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面． 增分训练 一、选择题1．如图，在正三棱柱中，若，则与所成的角为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中点，连结、，知在平面内的射影为，易得，则，则，那么与所成的角为．2．已知是两条异面直线，点是直线外的任一点，有下面四个结论：①过点一定存在一个与直线都平行的平面；②过点一定存在一条与直线都相交的直线；③过点一定存在一条与直线都垂直的直线；④过点一定存在一个与直线都垂直的平面．则四个结论中正确的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】①错，因为过直线存在一个与直线平行的平面，当点在这个平面内时，就不满足结论；②错，因为过直线存在一个与直线平行的平面，当点在这个平面内时，就不满足结论；③对；④错，若结论成立，则有．3．（多选题），表示直线，表示平面，下列命题中正确的是（    ）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】CD【解析】选项A中，也可能，故不正确；选项B中，也可能，故不正确；C正确；D正确．4．（多选题）已知平面平面，是、外一点，过点的两条直线、分别交于、，交于、，且，，，则的长为（    ）A．20 B．16 C．12 D．4【答案】AD【解析】可得，分两种情况：当点在两平行平面之外时，，则；当点在两平行平面之间时，得，，则． 二、填空题5．是所在平面外一点，是点在平面上的射影，且在的内部．若到三个顶点的距离相等，则是的       心；若、、两两互相垂直，则是的       心．【答案】外心、垂心【解析】由到三个顶点的距离相等，易知到三个顶点的距离相等，则为的外心；由、、两两互相垂直，也可证得为的垂心．6．设有下列四个命题：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．过空间中任意三点有且仅有一个平面．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．若直线平面，直线平面，则．则下列命题中所有真命题的序号是        ．① ② ③ ④【答案】①③④【解析】对于可设与相交，所得平面为．若与相交，则交点必在内，同理，与交点也在内，故直线在内，即在内，故为真命题；对于过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数多平面，故为假命题；对于空间中两条直线的位置关系有相交、平行、异面，故为假命题；对于若平面，则垂直于平面内的所有直线，故，故为真命题，综上可知：为真命题，为假命题，为真命题，为真命题，故正确的有①③④． 三、解答题7．如图，已知是矩形，⊥平面，是上一点．求证：不可能垂直于平面．【答案】证明见解析．【解析】用反证法，假设平面，∵平面，则．∵，∴．又∵，平面，平面，，∴平面，平面，∴，这与中为锐角矛盾，∴不可能垂直于平面．8．如图，、是以为直径的圆上两点，，，是上一点，且，将圆沿直径折起，使点在平面的射影在上．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】（1）依题意：，平面，∴，，∴平面．（2）中，，，∴．连结，在和中，，，，，设，则，在中，，，解得，∴，∴，∴．在平面外，∴平面．（3）由（2）知，，且，∴到的距离等于到的距离为1，∴．平面，∴．9．在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧面底面．（1）若是的中点，求证：；（2）过侧面的对角线的平面交侧棱于，若，求证：截面侧面；（3）过侧面的对角线的平面交侧棱于，是截面侧面的充要条件吗？请你叙述判断理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）是，详见解析．【解析】（1）∵，是的中点，∴，∵底面侧面，∴侧面，∴．（2）延长与交于，连结，∵，∴，又，∴，∴，∵底面侧面，∴侧面，∴截面侧面，∴截面侧面．（3）结论是肯定的，充分性已由（2）证明，下面证必要性．过作于，∵截面侧面，∴侧面．又∵侧面，∴，∴、、、共面，∵侧面，∴，∵，∴，∵是的中点，∴是的中点，∴，∴．10．如图，一棱长为2的正四面体的顶点在平面内，底面平行于平面，平面与平面的交线为．（1）当平面绕顺时针旋转与平面第一次重合时，求平面转过角的正弦值；（2）在上述旋转过程中，在平面上的投影为等腰，的中点为．当平面时，问在线段上是否存在一点，使？请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，详见解析．【解析】（1）∵平面平面，平面平面，平面平面，∴．取中点为，连接，，则，∴，又，平面，平面，∴平面，又平面，∴，设平面平面，则，故为平面与平面所成二面角的平面角，即为所求的转动角．过作于，则为正四面体的高，故，又，故，故所求转过角的正弦值为．（2）在中，，故，，．设在平面上射影为，若平面，则，设交于，则，得，又，故与重合时，．