2020高考数学理科大一轮复习导学案：第八章平面解析几何8.7



　

知识点一 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．

1．判断正误
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　×　)
(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(　×　)
(3)若一抛物线过点P(－2,3)，其标准方程可写为y2＝2px(p>0)．(　×　)
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　B　)
A．9 B．8
C．7 D．6
解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
知识点二 抛物线的标准方程与几何性质



3．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为(　D　)
A．y2＝2x B．y2＝－2x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：由准线x＝1知，抛物线方程为：y2＝－2px(p>0)且＝1，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝－4x.
4．(选修2－1P72练习第1(1)题改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.
解析：很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上．
当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p>0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p×(－2)，解得p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝－8x；
当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p>0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p×(－4)，解得p＝，此时抛物线的标准方程为x2＝－y.
综上可知，抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.
5．(2018·北京卷)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为(1,0)．
解析：由题意知，a>0，对于y2＝4ax，当x＝1时，y＝±2，由于l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，所以4＝4，所以a＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．

1．抛物线定义的两点理解
(1)定点不在定直线上．
(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线．
2．抛物线的方程特点
(1)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝y，是焦点在y轴上的抛物线．
(2)y2＝2px(p>0)：
①p表示焦点到准线的距离；
②2p为通径长．
3．抛物线的图形特点
抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形，不是中心对称图形．
　
考向一 抛物线的定义及标准方程
【例1】　(1)(2019·河南豫南九校联考)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　　)
A．2 B.
C. D．3
(2)(2019·湖北四地七校联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)，点C(－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线方程是(　　)
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
【解析】　(1)由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.故选A.
(2)因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|＝2p，所以S△CAB＝×2p×＝24，解得p＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y2＝8x，所以直线AB的方程为x＝2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x，故选D.
【答案】　(1)A　(2)D



　
1.应用抛物线定义的两个关键点,(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋.
2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.



(1)已知椭圆＋x2＝1与抛物线x2＝ay有相同的焦点F，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为(　A　)
A．2 B．4
C．3 D．4
(2)(2019·保定模拟)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为(　C　)
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
解析：(1)∵椭圆＋x2＝1，∴c2＝5－1＝4，即c＝2，则椭圆的焦点为(0，±2)，不妨取焦点(0,2)，∵抛物线x2＝ay，∴抛物线的焦点坐标为，∵椭圆＋x2＝1与抛物线x2＝ay有相同的焦点F，∴＝2，即a＝8，则抛物线方程为x2＝8y，准线方程为y＝－2，∵|AF|＝4，由抛物线的定义得A到准线的距离为4，y＋2＝4，即点A的纵坐标y＝2，又点A在抛物线上，∴x＝±4，不妨取点A坐标为(4,2)，A关于准线的对称点的坐标为B(4，－6)，则|PA|＋|PO|＝|PB|＋|PO|≥|OB|，即O，P，B三点共线时，有最小值，最小值为|OB|＝＝＝＝2，故选A.
(2)由已知得抛物线的焦点F，
设点M(x0，y0)，则＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，
因而y0＝4，M.由|MF|＝5，
得＝5.又p>0，解得p＝2或p＝8.
考向二 抛物线的几何性质
【例2】　(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.
【解析】　解法1：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以y－y＝4(x1－x2)，则k＝＝，取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2.
解法2：由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1.由消去x得y2＝4(y＋1)，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4，由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2.
【答案】　2

　
在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.



(2019·安徽滁州模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线l：x＝－，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，直线AF的倾斜角为，则|MF|＝5.
解析：设准线与x轴交点为B，由于AF的倾斜角为，
所以∠FAM＝，又|MA|＝|MF|，
所以|MA|＝|MF|＝|FA|＝2|FB|，
又由已知p＝×2＝，
即|FB|＝，
所以|MF|＝5.
考向三 直线与抛物线的位置关系
方向1　焦点弦问题
【例3】　已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)
A．16 B．14
C．12 D．10
【解析】　由抛物线y2＝4x知F(1,0)，故可设直线l1的方程为y＝k(x－1)，直线l1的方程与y2＝4x联立并消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2＋，x1·x2＝＝1，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋，同理l2的方程为y＝－(x－1)，与y2＝4x联立可得|DE|＝4＋4k2.∴|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋＝8＋4(k2＋)≥8＋4×2＝16.当k＝±1时取等号．故选A.
【答案】　A
方向2　直线与抛物线的位置关系
【例4】　(2019·武汉调研测试)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．
【解】　设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.　①
(1)由x2＝2py得y′＝，
则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，
∵点N在以AB为直径的圆上，
∴AN⊥BN，∴－＝－1，∴p＝2.
(2)易得直线AN：y－y1＝(x－x1)，直线BN：y－y2＝(x－x2)，联立，得
结合①式，解得即N(pk，－1)．
|AB|＝|x2－x1|
＝
＝，
点N到直线AB的距离
d＝＝，
则△ABN的面积S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，当k＝0时，取等号，
∵△ABN的面积的最小值为4，∴2＝4，∴p＝2，
故抛物线C的方程为x2＝4y.



　
1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.
2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p或|AB|＝|y1|＋|y2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.,提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.


1．(方向1)过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为(　D　)
A．4 B．8
C．12 D．16
解析：抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2,0)，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为y＝－x＋2，代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16.
2．(方向2)(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　D　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：解法1：过点(－2,0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以＝(0,2)，＝(3,4)，所以·＝8.故选D.
解法2：过点(－2,0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1>0，y2>0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8.故选D.

　

抛物线的拓展结论
对抛物线y2＝2px(p>0)，设θ为过焦点的弦AB的倾斜角，则有：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝≥2p；(3)＋为定值；(4)抛物线焦点三角形面积公式：S△OAB＝；(5)以AB为直径的圆与准线相切；(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
典例　设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则直线l的斜率为________．
【解析】　设直线AB的倾斜角为θ，由题意知p＝2，F(1,0)，＝3.因为＋＝，所以＋＝1，所以|BF|＝，|AF|＝4，所以|AB|＝.又由抛物线焦点弦公式|AB|＝，可得＝，所以sin2θ＝，所以sinθ＝，所以斜率k＝tanθ＝±.
【答案】　±