（新高考）2021届高三培优专练5 导数的应用解析版

培优5  导数的应用一、函数的单调性应用 例1：已知定义域为的偶函数的导函数为，当时，．若，，，则，，的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，又当时，，所以，即函数在区间内单调递减．因为为上的偶函数，所以为上的奇函数，所以函数在区间内单调递减，由，可得，即．例2：若函数在上单调递减，则的取值范围为________．【答案】【解析】因为在上单调递减，所以当时，恒成立，即恒成立．令，则由题意可知，只需，而，因为，所以，所以(此时)，所以，又因为，所以的取值范围是．二、利用导数研究函数极值问题例3：设函数．（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求；（2）若在处取得极小值，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，所以，所以．由题设知，即，解得，此时，所以的值为．（2）由（1）得，若，则当时，；当时，，所以在处取得极小值；若，则当时，，，所以，所以不是的极小值点，综上可知，的取值范围是．三、利用导数解决函数最值问题例4：已知函数，其中为常数．（1）当时，求的最大值；（2）若在区间上的最大值为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）易知的定义域为，当时，，，令，得．当时，；当时，．∴在上是增函数，在上是减函数，∴．∴当时，函数在上的最大值为．（2），，．①若，则，从而在上是增函数，∴，不合题意；②若，令，得，结合，解得；令，得，结合，解得．从而在上为增函数，在上为减函数，∴．令，得，即．∵，∴为所求，故实数的值为．四、判断函数零点个数问题例5：已知二次函数的最小值为，且关于的不等式的解集为．（1）求函数的解析式；（2）求函数的零点个数．【答案】（1）；（2）仅有个零点．【解析】（1）∵是二次函数，且关于的不等式的解集为，∴设，且，∴，，故函数的解析式为．（2）由（1）知，∴的定义域为，，令，得，．当变化时，，的取值变化情况如下表：＋－＋↗极大值↘极小值↗当时，；当时，．又因为在上单调递增，因而在上只有个零点，故仅有个零点．五、由函数零点个数求解参数取值范围问题例6：已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若只有一个零点，且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，所以，故，又，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）由题意得．①当，即时，则当或时，；当时，，所以的极小值为，因为函数的零点，且，所以当函数只有一个零点时，需满足，又，则或；②当，即时，则有，所以为增函数，又，所以只有一个零点，且，所以满足题意；③当，即时，则当或时，；当时，．所以的极小值为，极大值为，因为，，所以，又，所以，综上可得或，即实数的取值范围为．增分训练一、选择题1．函数的导函数有下列信息：①时，；②时，或；③时，或．则函数的大致图象是（    ）A．  B．C．  D．【答案】C【解析】根据信息知，函数在上是增函数，在，上是减函数．2．是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，，若，则必有（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则，所以在上为减函数，又正数，，满足，所以，即，因为是定义在上的非负可导函数，所以，所以，即．当时，，所以，综上：．3．已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，要使函数在其定义域内既有极大值也有极小值，只需方程在有两个不相等实根，即，令，则．在递增，在递减．其图象如下：∴，∴．4．若函数存在个极值点，则称为折函数，例如为折函数．已知函数，则为（    ）A．折函数 B．折函数 C．折函数 D．折函数【答案】C【解析】，令，得或．易知是的一个极值点，又，结合函数图象，与有两个交点．又，∴函数有个极值点，则为折函数． 二、填空题5．若对任意，满足，都有，则的最大值为________．【答案】【解析】∵，，∴，令，，则函数在上单调递增，故，解得，故的最大值是．6．已知函数(是自然对数的底数)，则的极大值为________．【答案】【解析】由题意知，，∴，则，因此，令，得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴在处取极大值． 三、解答题7．已知函数．（1）求的单调区间；（2）设的两个不同的零点是，，求证：．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）∵，∴，．①当时，，在上为减函数；②当时，令，得．当时，，为减函数；时，，为增函数．综上：当时，函数的减区间为，无增区间．当时，函数的增区间为，函数的减区间为．（2）因为有两个不同零点，∴，得，由题意得，两式相减得，解得，要证，即证，即证，不妨设，令，只需证，设，∴，令，∴，∴在上单调递减，∴，∴，∴在为减函数，∴，即在恒成立，∴原不等式成立，即．8．已知函数(为自然对数的底数)．（1）求函数的极值；（2）问：是否存在实数，使得有两个相异零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，．【解析】（1）因为，所以．①当时，，所以时，，所以函数在上单调递减，此时，函数无极值；②当时，令，得，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增．此时，函数有极小值为，无极大值．（2）存在实数，使得有两个相异零点．由（1）知：①当时，函数在上单调递减，又，所以此时函数仅有一个零点；②当时，，因为，则由（1）知，令，则，因为，所以，即在区间上单调递增，所以，即，取，令，易得，所以在单调递减，所以，所以．此时，函数在上也有一个零点，所以，当时，函数有两个相异零点；③当时，，，此时函数仅有一个零点；④当时，，因为，，令函数，易得，所以，所以，即．又，所以函数在上也有一个零点，所以，当时，函数有两个相异零点．综上所述，当时，函数有两个相异零点．