（新高考）2021届高三培优专练3 函数零点解析版

培优3  函数零点一、零点存在性定理的应用例1：函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题，显然函数在区间内连续，因为的一个零点在区间内，所以，即，解得．二、函数零点个数的判定例2：（多选题）已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（    ）A．当时，有个零点 B．当时，有个零点C．当时，有个零点 D．当时，有个零点【答案】CD【解析】由题意可知，，当时：若，则，①时，有，解得；②时，有，解得．若，则，①时，有，解得；②时，有，解得．故当时，有个零点，C正确，当时：若，则，有，解得，因为，所以不满足，舍去；若，则，①时，有，无解；②时，有，解得，故当时，有个零点，D正确．三、求函数零点例3：已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据奇函数满足，可知其周期为，∵函数的一条对称轴为，可由向右平移个单位得到，在同一坐标系作出与的图象如图：根据图象可知函数与的图象均关于点对称，且函数与的图象在区间上有四个交点，所以函数在区间上所有零点之和为，故选D．四、复合函数零点的问题 例4：已知函数，若关于的方程有且只有两个不同实数根，则的取值范围是（    ）A．  B．C． D．【答案】C【解析】当时，，则，，函数在上单调递增，在上单调递减，画出函数图象，如图所示，，即，当时，根据图象知有个解，故有个解，根据图象知．   增分训练一、选择题1．函数的零点一定位于区间（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知函数在其定义域上是增函数，因为，，所以函数的零点一定位于区间内，故选B．2．函数在上的所有零点之和等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，分别作出函数与的图象，由图象可知函数的对称性，可知两函数图象均关于对称，由图可知，函数在上的所有零点之和，等于，故选D．3．已知函数(为自然对数的底数)，若的零点为，极值点为，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∵当时，，即，解得；当时，恒成立，∴的零点为，∴．又当时，为增函数，故在上无极值点；当时，，，当时，；当时，，∴时，取到极小值，即的极值点为，∴，∴．4．已知函数．若函数有个零点，则实数的取值范围为（    ）A．  B．C． D．【答案】D【解析】由，可得是在上以为周期的周期函数．画出的图象，如图．函数有个零点可以转化为函数的图象与的图象有个交点．函数的图象恒过点，结合函数的对称性，只需的图象与的图象在时有个交点，结合函数图象可知，解得或，故选D．5．（多选题）设函数，若函数有三个零点，则下列说法正确的是（    ）A．的值为  B．的值为C．的值无法确定  D．【答案】ABC【解析】作出函数的大致图象如图所示，由图可得关于的方程的根有两个或三个(时有三个，时有两个)，所以关于的方程只能有一个根(若有两个根，则关于的方程有四个或五个根)，由根与系数的关系得，，得，所以A，B正确；不妨设，令，可得的值分别为，则，由，得()，故的值无法确定，所以C正确，D错误．6．（多选题）定义在上的函数满足下列两个条件：①对任意的恒有成立；②当时，．令函数，若函数与轴恰有两个交点，则实数的取值描述中正确的是（    ）A．的最大值为  B．的最小值为C．  D．【答案】BC【解析】当时，，所以，同理可得，，其中，直线恒过定点，如图所示，要满足题意，直线与线段相交即可，(可以与点重合但不能与点重合)，∵，，∴，，所以函数与轴恰有两个交点时需满足． 二、填空题7．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则函数有      个零点．【答案】【解析】由题意知，所以．当时，令，即，令，，因为，所以当时，与的图象有个交点，即时，有个零点，又函数是定义域为的奇函数，所以函数有个零点．8．设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是      ．【答案】【解析】∵在区间上有三个零点，∴在区间上有三个不同的解，令，令，，则当时，，单调递增，单调递减的值域为；当时，在上是增函数，；在上是减函数，，故当时，有三个不同的解．9．设函数，若函数有三个零点，则________，_______．【答案】，【解析】作出函数的大致图象如图所示，由图可得关于的方程的根有两个或三个(时有三个，时有两个)，所以关于的方程只能有一个根(若有两个根，则关于的方程有四个或五个根)，由根与系数的关系得，，所以；不妨设，令，可得的值分别为，则． 三、解答题10．已知函数．（1）当时，求的最值；（2）讨论的零点个数．【答案】（1）最大值为，没有最小值；（2）见解析．【解析】（1）因为，所以，所以，令，得；令，得，则在上单调递增，在上单调递减，故在时，取得最大值，，没有最小值．（2）令，得．设，则，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，而当时，；当时，．所以的图象如图所示：①当时，方程无解，即没有零点；②当时，方程有且只有一解，即有唯一的零点；③当时，方程有两解，即有两个零点；④当时，方程有且只有一解，即有唯一的零点．综上，当时，没有零点；当或时，有唯一的零点；当时，有两个零点．