（新高考）2021届高三培优专练7 导数中的恒成立问题解析版

培优7  导数中的恒成立问题一、证明不等式恒成立 例1：已知函数．（1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由条件得，令，则．①当时，在上，，单调递增，∴，即，∴在上为增函数，∴，∴时满足条件；②当时，令，解得，在上，，单调递减，∴当时，有，即，在上为减函数，∴，不合题意，综上实数的取值范围为．（2）由（1）得，当，时，，即，要证不等式，只需证明，只需证明，只需证，设，则，∴当时，恒成立，故在上单调递增，又，∴恒成立，∴原不等式成立．二、根据不等式恒成立求参数最值例2：若对，，恒成立，则实数a的最小值为（    ）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】，所以对，，恒成立，等价于，恒成立，即，成立，令，则，于是当时，；当时，，即函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，因此，即实数的最小值为，故选D．三、不等式恒成立求参数取值范围 例3：已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）函数的定义域为，．1）当时，，所以函数在单调递减，在单调递增；2）当时，，且方程有两根，．①当时，，所以函数在单调递减，在，单调递增；②当时，，所以函数在，单调递减，在单调递增．综上，当时，函数在单调递减、在单调递增；当时，函数在单调递减、在，单调递增；当时，函数在，单调递减、在单调递增．（2）函数恒成立，即，即，设函数，则，令，解得，所以函数在单调递减，在单调递增，所以函数的最小值，所以，所以的取值范围是．增分训练一、选择题1．已知函数，对任意，不等式恒成立，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以．当时，对任意的，，，有；当时，，恒有，所以在是单调递增的．那么对任意的，不等式恒成立，只要，且，，，所以，即，，故选B．2．若函数有两个不同的极值点，，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，（）所以有两个正根，∴，即，又∵，，，，∴，令，，∴在上单调递减，∴，故选A．3．已知函数，若恒成立，则满足条件的实数的个数为（    ）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】①当时，，满足题意；②当时，，，，故不恒成立；③当时，设，，，都是递增函数，要使恒成立，则，恒同号，所以，与轴交点重合，令，得，，得，方程的解的个数，即，交点个数，设，则，由导数的应用可得在为减函数，在为增函数，则，即有2解，所以存在2个使得成立，综合①②③得：满足条件的的个数是3个，故选A．4．已知函数，若在上恒成立，则实数a的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由在上恒成立，得在上恒成立，由题得当，时，，，令函数，则，所以单调递增，所以，上恒成立，令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，所以实数a的最小值为，故选D．5．设，若，恒成立，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】将不等式变形为，当时，不等式恒成立；当时，不等式变形为，记，则，而，因此在上单调递增，故，∴，故，∴的取值范围是，故选A．6．已知函数，，当时，关于的不等式恒成立，则实数的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得在上恒成立，即在上恒成立．令，，所以在上恒成立，所以在区间上单调递增．所以，得，即，记，所以，所以当时，；当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即实数的最小值为，故选A．7．（多选题）定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是（    ）A．在处取得极小值，极小值为B．只有一个零点C．若在上恒成立，则D．【答案】BCD【解析】对A，，且，可得，可得，故(为常数)又，可得，求得，故，整理可得，，，当，即，解得，，此时单调递增；当，即，解得，，当，即，解得，，此时单调递减，，取得极大值，，故A说法错误；对B，，，，，，，画出草图，如图所示：根据图象可知：只有一个零点，故B说法正确；对C，要保证在上恒成立，即：保证在上恒成立，，可得在上恒成立，故：只需，令，，当时，；当时，；当时，，即，，故C说法正确；对D，根据，单调递增；，单调递减，，可得，又，，由，根据，，故，故D说法正确，综上所述，正确的说法是BCD，故选BCD．8．（多选题）设函数，，给定下列命题，正确的是（    ）A．不等式的解集为B．函数在单调递增，在单调递减C．若时，总有恒成立，则D．若函数有两个极值点，则实数【答案】AC【解析】的导数为，则，，对于A，，即，解得，故正确；对于B，，当时，，在单调递增，故错误；对于C，可化为，设，又，∴在上单调递减，∴在上恒成立，即，又在单调递增，在上单调递减，，∴，故正确；对于D，若函数有两个极值点，则有两个零点，即，，又在单调递增，在上单调递减，，时，，即，，故错误，故选AC． 二、填空题9．若对，不等式恒成立，则实数的最大值为______．【答案】【解析】令，所以，有意义，所以，所以在单调递增，因为当时，，且，所以使得，并且当时，；当时，，所以函数在单调递减，在单调递增，所以，且，所以，，所以，所以，考虑函数，其中，根据复合函数单调性可知在上单调递减，因为，所以解，得到，所以，因为在上单调递增，所以的最大值为，故答案为．10．设，当时，不等式恒成立，则的取值范围是______．【答案】【解析】由题意，令，则，令，可得，当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增，，，即等价于，令，则，令，可得，当时，递减；时，递增，当时，所以的解集为，的取值范围是．11．不等式对于任意正实数恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】由不等式对于任意正实数恒成立，令，求导得，因为，所以按与2比较分类讨论：当时，，所以在区间上是增函数，又，所以．当时，因为是增函数，所以有唯一正数解，设为，所以在区间上，，是减函数，所以在上，，不合题意．综上所述，实数的取值范围是．12．若关于x的不等式恒成立，则的最大值是________．【答案】【解析】由，，原不等式可化为．设，则，当时，，递增；，，递减．所以，在处取得极大值，且为最大值；时，，的图象恒在的图象的上方，显然不符题意；当时，为直线的横截距，其最大值为的横截距，再令，可得，所以取得最大值为，此时，，直线与在点处相切． 三、解答题13．已知函数，，．（1）求函数的极值点；（2）若恒成立，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）函数的定义域为，．当时，，所以在上单调递增，无极值点；当时，解，得；解，得．所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数有极大值点是，无极小值点．（2）由条件可得恒成立，则当时，恒成立，令，则，令，则当时，，所以在上为减函数．又，所以，当时，；当上，，所以在上为增函数，在上为减函数，所以，所以，因此，实数的取值范围是．14．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个极值点，．且不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）因为，所以，则①当时，是常数函数，不具备单调性；②当时，由；由，故此时在单调递增，在单调递减；③当时，由；由，故此时在单调递减，在单调递增．（2）因为，所以，由题意可得有两个不同的正根，即有两个不同的正根，则，不等式恒成立等价于恒成立，又，所以，令（），则，所以在上单调递减，所以，所以．15．已知函数（）．（1）当时，求函数的最小值；（2）若时，，求实数的取值范围．【答案】（1）1；（2）．【解析】（1）当时，函数的解析式为，则，结合导函数与原函数的关系可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，函数的最小值为．（2）若时，，即（*），令，则．①若，由（1）知，即，故，，∴函数在区间上单调递增，∴，∴（*）式成立．②若，令，则，∴函数在区间上单调递增，由于，．故，使得，则当时，，即．∴函数在区间上单调递减，∴，即（*）式不恒成立．综上所述，实数的取值范围是．