（新高考）2021届高三培优专练11 等差数列与等比数列解析版

培优11  等差数列与等比数列

一、等差、等比数列的基本运算

例1：我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列

就是二阶等差数列，数列的前项和是       ．

【答案】

【解析】设，则，，，

∴．

例2：将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为       ．

【答案】

【解析】∵，，

∴数列与的公共项是的非负整数倍加，即，

也就是首项为，公差为的等差数列，∴，

∴的前项和为．

二、等差、等比数列的性质及应用

例3：已知公比大于1的等比数列满足，．

（1）求的通项公式；

（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）480．

【解析】（1）设公比为，∴，，解得或（舍），

∴．

（2）由（1）可得，∴，，…，，，

∴当时，；当时，；

当时，；当时，；

当时，；当时，；

当时，．

∴．

例4：设是公比不为的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设等比数列的公比为，

∵，∴，

又∵，故，解得或（舍）．

（2）由，可得，

设数列的前项和为，

则①

②

①-②，得

，

∴．

三、等差、等比数列的综合应用

例5：已知是无穷数列，给出两个性质：

①对于中任意两项，在中都存在一项，使得．

②对于中任意一项，在都存在两项，使得．

（1）若，判断是否满足性质①，说明理由：

（2）若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

（3）若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列．

【答案】（1）不满足性质①，详见解析；（2）同时满足性质①和性质②，详见解析；（3）证明见解析．

【解析】（1）若不满足性质①，理由如下：

若，，则由性质①，知“不是整数，故不在数列中，不满足性质①．

（2）若，则对中任意两项中任意两项，，符合性质①；

同时，对于中任意一项，，取，，

满足，使得（注：取法不唯一），

综上，若，同时满足性质①和性质②．

（3）显然中所有项非零，是递增数列，满足性质①，

由性质①：任取，则是数列中得某一项，即，

由于是递增数列且，故，

，，即；

又是递增数列，满足性质②，对于中任一项，

在都存在两项，使得，

故，，即，故有．

下面用反证法证明：，若恒成立，

而当时，显然不是恒成立的，矛盾，故，即，

所以，是递增数列，且同时满足性质①和性质②，数列必是等比数列．

四、数列与其他知识的交汇

例6：周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列满足

，且存在正整数，使得成立，则称其为周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期，对于周期为的序列

，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的序列中，满足的序列是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对于A选项：，

，不满足，排除；

对于B选项，，不满足，排除；

对于C选项，，

，

，

，满足；

对于D选项，，不满足，排除，

故选C．

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一、选择题

1．在等差数列中，，，记，则数列（    ）

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

【答案】B

【解析】数列为等差数列，，，

∴，∴数列为递增数列，

∴当时，；当时，，

∴当时，，当时，，

且，

∴数列有最大项，无最小项．

2．（多选题）等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】由等差中项的性质可得为定值，则为定值，为定值，但不是定值，

故选BC．

3．数列中，，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】取，则，

又，所以，

所以是首项为，公比为的等比数列，则，

所以，得．

4．北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块，己知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇形面形石板（不含天心石）（    ）

A．块 B．块 C．块 D．块

【答案】C

【解析】设每一层有环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，

公差，，

由等差数列性质知，，成等差数列，

且，

则，得，

则三层共有扇形面石板为块．

5．（多选题）数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，，，，，，，以下运算和结论正确的是（    ）

A．

B．数列，，，，是等比数列

C．数列，，，，的前项和为

D．若存在正整数，使，，则

【答案】ACD

【解析】以为分母的数共有个，

故，，，故A正确；

为等差数列，B错误；

数列的前项和为，C正确；

根据（3）知：，即；，此时，D正确，

故选ACD．

6．（多选题）在数列中，若，（，，为常数），则称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（    ）

A．若是等差数列，则是等方差数列

B．是等方差数列

C．若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列

D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

【答案】BCD

【解析】对于A选项，取，

则不是常数，

则不是等方差数列，A选项中的结论错误；

对于B选项，为常数，则是等方差数列，B选项中的结论正确；

对于C选项，若是等方差数列，则存在常数，使得，

则数列为等差数列，所以，

则数列（，为常数）也是等方差数列，C选项中的结论正确；

对于D选项，若数列为等差数列，设其公差为，则存在，使得，

则，

由于数列也为等方差数列，所以，存在实数，使得，

则对任意的恒成立，则，得，

此时，数列为常数列，D选项正确，

故选BCD．

7．记为正项等比数列的前项和，若，且正整数，满足，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵是等比数列，设的公比为，∴，，

∴，解得(负值舍去)．

又，∴，∴，

∴，

当且仅当，即，时等号成立，

∴的最小值是，故选C．

二、填空题

8．设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，已知的前项和，则的值是________．

【答案】

【解析】因为的前项和，

当时，，

当时，，

所以当时，，，且当时，成立，

故，，．

9．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗栗，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”；现打算按此比例偿还，问牛的主人应赔偿_______斗栗，羊的主人应赔偿_______斗栗．

【答案】；

【解析】由题意设牛主应赔偿，马主赔偿，羊主应赔偿，

则，，成公比为2的等比数列，

所以，解得，所以，

故答案为；．

10．数列的通项，其前项和为，则________．

【答案】

【解析】由题意可知，，若，

则；

若，则；

若，则，∴，，

∴．

11．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，第行的数字之和为______；去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前46项和为______．

【答案】；2037

【解析】次二项式系数对应杨辉三角形的第行，

例如：，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第三行，

令，就可以求出该行的系数和，第1行为，第2行为，第3行为，

依此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，

即杨辉三角第行的数字之和为，

杨辉三角的前行的所有项的和为．

若去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，…，

可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，

则，且，可得当，

即第11行，再加上第12行的前1个数（去除两边的1），所有项的个数和为46，

则杨辉三角形的前11行所有项的和为．

则此数列前46项的和为，

故答案为，2037．

12．艾萨克·牛顿(1643年1月4日-1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时给出一个数列满足，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点，，数列为牛顿数列，设，已知，，则的通项公式________．

【答案】

【解析】∵函数有两个零点，，

∴，解得，

∴，则，

则，

∴，

则数列是以为公比的等比数列，

又∵，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，

则．

三、解答题

13．（新高考题型）在①，；②；③，是与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．

已知为等差数列的前项和，若________．

（1）求；

（2）记，求数列的前项和．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】（1）选择条件①：设等差数列的公差为，

则，解得，故．

选择条件②：，

当时，，

即，

当时，，也适合上式，

故．

选择条件③：设等差数列的公差为，则，

解得、或、（不合题意），故．

（2）因为，

所以，

故．

14．（新高考题型）在等差数列中，已知，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若________，求数列的前项和．

在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）；（2）选条件①：，选条件②：，选条件③：．

【解析】（1）由题意，解得，，

∴．

（2）选条件①：，

．

选条件②：∵，，∴，

当为偶数时，；

当为奇数时，为偶数，，

．

选条件③：∵，，∴，

∴，①

，②

由①-②，得

，

∴．

15．设数列满足，．

（1）计算，，猜想的通项公式并加以证明；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1），，，证明见解析；（2）．

【解析】（1）由，，﹐，…

猜想的通项公式为．

利用数学归纳法证明：

（i）当时，显然成立；

（ii）假设时猜想成立，即，

则时，，

所以时猜想也成立，

综上（i）（ii），所以．

（2）令，

则……①，

……②，

由①②，

得，

化简得．