初中人教版18.2.3 正方形优秀练习

这是一份初中人教版18.2.3 正方形优秀练习，共24页。试卷主要包含了5°，4＋12等内容，欢迎下载使用。

一．选择题


1．如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（ ）





A．12B．13 C．26D．30


2．如图所示，E．F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（ ）





A．1个B．2个 C．3个D．4个


3．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（ ）





A．①②③B．①②④ C．①③④D．①②③④


4．一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（ ）


A．4B．6 C．10D．12


5．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）





A．75°B．60° C．54°D．67.5°





6．在平面直角坐标系中，称横．纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（ ）





A．13B．21 C．17D．25


7．在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（ ）


A．4条B．8条 C．12条D．16条


8．如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD中点，P为CE中点，F为BP中点，则F到BD的距离等于（ ）





A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0


10．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE=BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM＋PN=（ ）





A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1＋ SKIPIF 1 < 0


11．顶点为A（6，6），B（－4，3），C（－1，－7），D（9，－4）的正方形在第一象限的面积是（ ）


A．25B．36 C．49D．30


12．ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为（ ）





A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0


13．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC＋PE的和最小，则这个最小值为（ ）





A．4B．2 SKIPIF 1 < 0 C．2 SKIPIF 1 < 0 D．2


14.如图是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=( )





A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm


15.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为( )





A.14 B.15 C.16 D.17


二．填空题


1．如图所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是___cm2．





2．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE=FP，则P点坐标为 ．








3．如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为 ，线段O1O2的长为 ．





4．已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为 和 ．（只写一组）


5．如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有 个．





三．解答题


2．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE=BF．














3．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，则∠EAF为多少度．























4．如图，正方形ABCD中，AB=，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15度．


（1）求证：DF＋BE=EF；


（2）求∠EFC的度数；


（3）求△AEF的面积．
































5．已知正方形ABCD的边长为4cm，E，F分别为边DC，BC上的点，BF=1cm，CE=2cm，BE，DF相交于点G，求四边形CEGF的面积．



































参考答案


一．选择题


1．如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（ ）





A．12B．13 C．26D．30


答案：C


知识点：全等三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性质


解析：


解答：解：设AB=3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；


斜边长为的有6个，它们组成15对全等三角形；


斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；


共计26对．


故选C．


分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．本题考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性质，解题的关键是记熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏．





2．如图所示，E．F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（ ）





A．1个B．2个 C．3个D．4个


答案：A


知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质


解析：


解答：解：∵四边形ABCD是正方形，


∴CD=AD


∵CE=DF


∴DE=AF


∴△ADE≌△BAF


∴①AE=BF，S△ADE=S△BAF，∠DEA=∠AFB，∠EAD=∠FBA


∴④S△AOB=S四边形DEOF


∵∠ABF＋∠AFB=∠DAE＋∠DEA=90°


∴∠AFB＋∠EAF=90°


∴②AE⊥BF一定成立．


错误的结论是：③AO=OE．


故选A．


分析：根据四边形ABCD是正方形及CE=DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE=BF，以及△ADE和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB=S四边形DEOF；可以证出∠ABO＋∠BAO=90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO=OE．本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质．





3．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（ ）





A．①②③B．①②④ C．①③④D．①②③④


答案：D


知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质


解析：


解答：解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，


∵BD为正方形ABCD的对角线，


∴∠ADB=∠CDF=45°．


∵AD=CD，DF=DF，


∴△ADF≌△CDF．


∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．


∵∠ALH＋∠LAF=90°，


∴∠LHC＋∠DAF=90°．


∵∠ECF=∠DAF，


∴∠FHC=∠FCH，


∴FH=FC．


∴FH=AF．





（2）∵FH⊥AE，FH=AF，


∴∠HAE=45°．


（3）连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，


∵∠AFO＋∠GFH=∠GHF＋∠GFH，


∴∠AFO=∠GHF．


∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，


∴△AOF≌△FGH．


∴OA=GF．


∵BD=2OA，


∴BD=2FG．





（4）延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，


根据△MEC≌△MIC，可得：CE=IM，


同理，可得：AL=HE，


∴HE＋HC＋EC=AL＋LI＋IM=AM=8．


∴△CEM的周长为8，为定值．


故（1）（2）（3）（4）结论都正确．


故选D．





分析：（1）作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF=CF，故需证明FC=FH，可证：AF=FH；


（2）由FH⊥AE，AF=FH，可得：∠HAE=45°；


（3）作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD=2FG，只需证OA=GF即可，根据△AOF≌△FGH，可证OA=GF，故可证BD=2FG；（4）作辅助线，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则IL=HC，可证AL=HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CI=IM，故△CEM的周长为边AM的长，为定值．


解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等．





4．一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（ ）


A．4B．6 C．10D．12


答案：D


知识点：正方形的性质


解析：


解答：解：∵卡片的边长为1.5，∴卡片的对角线长为2＜ SKIPIF 1 < 0 ＜3，


且小方格的对角线长 SKIPIF 1 < 0 ＜1.5．


故该卡片可以按照如图所示放置：


图示为n取最大值的时候，n=12．


故选D．





分析：要n取最大值，就让边长为1.5的正方形卡片边与小方格的边成一定角度．本题考查的是已知正方形边长正方形对角线长的计算，旋转正方形卡片并且找到合适的位置使得n为最大值，是解题的关键．





5．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）





A．75°B．60° C．54°D．67.5°


答案：B


知识点：正方形的性质；线段垂直平分线的性质


解析：


解答：解：如图，连接BD，


∵∠BCE=∠BCD＋∠DCE=90°＋60°=150°，BC=EC，


∴∠EBC=∠BEC= SKIPIF 1 < 0 （180°－∠BCE）=15°


∵∠BCM= SKIPIF 1 < 0 ∠BCD=45°，


∴∠BMC=180°－（∠BCM＋∠EBC）=120°，


∴∠AMB=180°－∠BMC=60°


∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，


∴∠AMD=∠AMB=60°


故选B．





分析：连接BD，根据BD，AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线，所以∠AMD=AMB，要求∠AMD，求∠AMB即可．本题考查的正方形的对角垂直平分的性质，根据垂直平分线的性质可以求得∠AMD=∠AMB，确定AC和BD垂直平分是解题的关键．





6．在平面直角坐标系中，称横．纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（ ）





A．13B．21 C．17D．25


答案：D


知识点：正方形的性质；坐标与图形性质


解析：


解答：解：正方形边上的整点为（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（4，1）、（5，2）、（1，4）、（2，5）、（3，6）；


在其内的整点有（1，3）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（5，3）．


故选D．


分析：根据正方形边长的计算，计算出边长上的整点，并且根据边长的坐标找出在正方形范围内的整点．本题考查的是正方形四条边上整点的计算，找到每条边上整点变化的规律是解本题的关键．





7．在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（ ）


A．4条B．8条 C．12条D．16条


答案：D


知识点：正方形的性质；点到直线的距离


解析：


解答：解：符合题目要求的一共16条直线，


下图虚线所示直线均符合题目要求．





分析：根据正方形的性质，一个值为另一个值的3倍，所以本题需要分类讨论，①该直线切割正方形，确定直线的位置；②该直线在正方形外，确定直线的位置．本题考查了分类讨论计算点到直线的距离，找到直线的位置是解题的关键．





8．如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD中点，P为CE中点，F为BP中点，则F到BD的距离等于（ ）





A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0


答案：D


知识点：正方形的性质；三角形的面积


解析：


解答：解：连接DP，


S△BDP=S△BDC－S△DPC－S△BPC


= SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ×1× SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ×1× SKIPIF 1 < 0


= SKIPIF 1 < 0 ，


∵F为BP的中点，∴P到BD的距离为F到BD的距离的2倍．


∴S△BDP=2S△BDF，


∴S△BDF= SKIPIF 1 < 0 ，


设F到BD的距离为h，


根据三角形面积计算公式，S△BDF= SKIPIF 1 < 0 ×BD×h= SKIPIF 1 < 0 ，


计算得：h= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ．


故选D．





分析：图中，F为BP的中点，所以S△BDP=2S△BDF，所以要求F到BD的距离，求出P到BD的距离即可．本题考查的是转化思想，先求三角形的面积，再根据三角形面积计算公式，计算三角形的高，即F到BD的距离．





9．搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD．AN．CM将正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中点，N是BC的中点，AN与CM交于O点．已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的△CON的面积为（ ）





A．96cm2B．48cm2 C．24cm2D．以上都不对


答案：B


知识点：正方形的性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质


解析：


解答：解：找到CD的中点E，找到AD的中点F，连接CF，AE，


则CM∥EA，AN∥FC，△BOM∽△BKA，


∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，


同理可证： SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，


故DK=KO=OB，


∴△BOC和△BOA的面积和为 SKIPIF 1 < 0 正方形ABCD的面积，


∵CN=NB=AM=BM，


∴△OCN的面积为 SKIPIF 1 < 0 △BOC和△BOA的面积和，


∴△OCN的面积为 SKIPIF 1 < 0 =48cm2，


故选B．





分析：先证明BO为正方形ABCD的对角线BD的 SKIPIF 1 < 0 ，再求证△CNO，△NBO，△AMO，△BMO的面积相等，即△CON的面积为正方形面积的 SKIPIF 1 < 0 ．本题考查了正方形内中位线的应用，考查了正方形四边均相等的性质，解本题的关键是求证BO= SKIPIF 1 < 0 BD，△OCN的面积为 SKIPIF 1 < 0 △BOC和△BOA的面积和．





10．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE=BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM＋PN=（ ）





A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1＋ SKIPIF 1 < 0


答案：C


知识点：正方形的性质，三角形的面积


解析：


解答：解：连接BP，作EH⊥BC，则PM．PN分别为△BPE和△BCP的高，且底边长均为1，


S△BCE=1－－S△CDE，


∵DE=BD－BE=，△CDE中CD边上的高为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 －1），


∵S△CDE=CD× SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 －1）=－ SKIPIF 1 < 0 ；


S△BCE=1－ SKIPIF 1 < 0 －S△CDE= SKIPIF 1 < 0 ；


又∵S△BCE=S△BPE＋S△BPC=•BC•（PM＋PN）


∴PM＋PN==．


故选C．





分析：连接BP，PM．PN分别为△BPE和△BCP的高，且底边长均为1，因此根据面积计算方法可以求PM＋PN．本题考查的用求三角形面积的方法求三角形的高的转化思想，考查正方形对角线互相垂直且对角线即角平分线的性质，面积转换思想是解决本题的关键．





11．顶点为A（6，6），B（－4，3），C（－1，－7），D（9，－4）的正方形在第一象限的面积是（ ）


A．25B．36 C．49D．30


答案：B


知识点：正方形的性质；坐标与图形性质；三角形的面积


解析：


解答：解：连接OA，


过A．D两点的直线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，即y=－ SKIPIF 1 < 0 ＋16，解得它与x轴的交点E的横坐标是x=7.8，


同理求得过A．B两点的直线方程是y=－ SKIPIF 1 < 0 ＋4.2，解得它与y轴的交点E的纵坐标是y=4.2，


∴S△AOE= SKIPIF 1 < 0 ×7.8×6=23.4，


S△AFO= SKIPIF 1 < 0 ×4.2×6=12.6，


∴S△AOE＋S△AFO=23.4＋12.6=36，即顶点为A（6，6），B（－4，3），C（－1，－7），D（9，－4）的正方形在第一象限的面积是36．





分析：根据正方形的顶点坐标，求出直线AD的方程，由方程式知AD与x轴的交点E的坐标，同理求得AB与y轴的交点F的坐标，连接OA，再去求两个三角形的面积，从而求得正方形在第一象限的面积．解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用直角三角形求面积，在本题中，借助直线方程求的点E．F在坐标轴上的坐标，据此解得所求三角形的边长，代入面积公式求得结果．





12．ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为（ ）





A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0


答案：B


知识点：正方形的性质；三角形的面积；等边三角形的性质


解析：


解答：解：△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积


因此本题求解△BCP．△CDP面积和△BCD的面积即可，


S△BCP= SKIPIF 1 < 0 ，


S△CDP= SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0


S△BCD=×1×1=，


∴S△BPD= SKIPIF 1 < 0 ．


故选B．


分析：根据三角形面积计算公式，找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积的等量关系，并进行求解．本题考查了三角形面积的计算，考查了正方形对角线平分正方形为2个全等的等腰直角三角形．解决本题的关键是找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积的等量关系．





13．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC＋PE的和最小，则这个最小值为（ ）





A．4B．2 SKIPIF 1 < 0 C．2 SKIPIF 1 < 0 D．2


答案：A


知识点：轴对称－最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质


解析：





解答：解：


∵正方形ABCD，


∴AC⊥BD，OA=OC，


∴C．A关于BD对称，


即C关于BD的对称点是A，


连接AE交BD于P，


则此时EP＋CP的值最小，


∵C．A关于BD对称，


∴CP=AP，


∴EP＋CP=AE，


∵等边三角形ABE，


∴EP＋CP=AE=AB，


∵正方形ABCD的面积为16，


∴AB=4，


∴EP＋CP=4，


故选A．


分析：根据正方形的性质，推出C．A关于BD对称，推出CP=AP，推出EP＋CP=AE，根据等边三角形性质推出AE=AB=EP＋CP，根据正方形面积公式求出AB即可．本题考查了正方形的性质，轴对称－最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定P的位置和求出EP＋CP的最小值是AE，题目比较典型，但有一定的难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力．





14.如图是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=( )





A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm


答案：A


知识点：正方形的性质；翻折变换（折叠问题）


解析：


解答：解：∵四边形CEFD是正方形，AD=BC=10cm，BE=6cm，∴CE=EF=CD=10－6=4(cm).


分析：根据正方形的性质，即可轻松解答．





15.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为( )


A.14 B.15 C.16 D.17





答案：C


知识点：正方形的性质；菱形的性质


解析：


解答：解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=4，∴正方形ACEF的周长是AC＋CE＋EF＋FA=4×4=16.


分析：根据正方形和菱形的性质，即可轻松解答．





二．填空题（共5小题）


1．如图所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是___cm2．





答案： SKIPIF 1 < 0


知识点：正方形的性质；探索图形规律


解析：


解答：解：∵点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点


∴两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的，


即 SKIPIF 1 < 0 ×1×1= SKIPIF 1 < 0 ，


当有三个三角形时，其面积为 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0


当有四个时，其面积为 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0


所以当n个三角形时，其面积为 SKIPIF 1 < 0 ．


故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．


分析：求面积问题，因为点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点，所以两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的 SKIPIF 1 < 0 ，由此便可求解．熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的计算问题．





2．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE=FP，则P点坐标为 ．





答案：（0，4）或（0，0）


知识点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质


解析：


解答：解：连接EF，∵OA=3，OC=2，∴AB=2，


∵点E是AB的中点，∴BE=1，


∵BF=AB，∴CF=BE=1，


∵FE=FP，∴Rt△FCP≌Rt△FBE，


∴PC=BF=2，


∴P点坐标为（0，4）或（0，0），


即图中的点P和点P′．


故答案为：（0，4），（0，0）





分析：连接EF，CF=BE=1，若EF=FP，显然Rt△FCP≌Rt△FBE，由此确定CP的长．本题考查了三角形翻折前后的不变量，利用三角形的全等解决问题．





3．如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为 ，线段O1O2的长为 ．





答案： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0


知识点：正方形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质


解析：


解答：解：做O1H∥AE，使O2H⊥O1H，交BG于P，K点，


（1）BP=，


又∵O2H⊥HO1，


∴KP∥HO2，


∴△PKO1∽△HO2O1，


∴ SKIPIF 1 < 0 ，


KP= SKIPIF 1 < 0 ，


阴影部分的面积= SKIPIF 1 < 0 ×BK×（ SKIPIF 1 < 0 ）= SKIPIF 1 < 0 ×[ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ]× SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0


= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ；


（2）HO1= SKIPIF 1 < 0 ，HO2= SKIPIF 1 < 0 ，


根据勾股定理O1O2= SKIPIF 1 < 0


= SKIPIF 1 < 0


= SKIPIF 1 < 0 ．


故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．





分析：阴影部分的面积可以看成两个三角形面积之和，所以求2个三角形面积即可；线段O1O2的长根据勾股定理求解．本题考查的相似三角形的证明即对应边比例相等的性质，三角形面积的计算，考查了根据勾股定理计算直角三角形斜边的应用，解决本题的关键是构建直角三角形HO1O2．





4．已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为 和 ．（只写一组）


答案： （1，0） 和 （1，1）


知识点：正方形的性质；坐标与图形性质


解析：


解答：解：∵正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），


∴BD∥x轴，AC∥x轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，


分别为：C（1，0），D（1，1）．


故答案为：（1，0），（1，1）．





分析：首先根据正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D的坐标．本题主要考查了正方形的性质与坐标内图形的性质，确定已知点的坐标，从而根据正方形的性质，确定其它顶点的坐标是解决问题的关键．





5．如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有 个．





答案：5


知识点：正方形的性质；三角形的面积


解析：


解答：解：图中标出的5个点均为符合题意的点．





故答案为 5．


分析：要使得△ABC的面积为2，即S=ah，则使得a=2、h=2或者a=4、b=1即可，在图示方格纸中找出C点即可．本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了三角形面积的计算公式，本题中正确地找全C点是解题的关键，考生容易漏掉一个或者几个答案．





三．解答题（共5小题）


1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．


（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；


（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E⊥A1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与 SKIPIF 1 < 0 三者之间的数量关系，并证明你的猜想；


（3）在（2）的条件下，当A1E1=6，C1E1=4时，则BD的长为 ．





答案：（1）见解析 （2）AB－EF1=A1C1 （3） SKIPIF 1 < 0


知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理


解析：


解答：解：


（1）过F作FG⊥AB于G，


∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，


∴OF=FG，


∵∠AOF=∠AGF=90°，AF=AF，OF=FG，


∴△AOF≌△AGF，


∴AO=AG，


直角三角形BGF中，∠DGA=45°，


∴FG=BG=OF，


∴AB=AG＋BG=AO＋OF=AC＋OF，


∴AB－OF=AC．


（2）过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1，则四边形F1G1BH1是矩形．


同（1）可得EF1=F1G，因此四边形F1G1BH1是正方形．


∴EF1=G1F1=F1H1，


即：F1是三角形A1BC1的内心，


∴EF1=（A1B＋BC1－A1C1）÷2…①


∵A1B＋BC1=AB＋A1A＋BC－CC1，而CC1=A1A，


∴A1B＋BC1=2AB，


因此①式可写成：EF1=（2AB－A1C1）÷2，


即AB－EF1=A1C1．


（3）由（2）得，F1是三角形A1BC1的内心，且E1、G1、H1都是切点．


∴A1E=（A1C1＋A1B－BC1）÷2，


如果设CC1=A1A=x，


A1E=[A1C1＋（AB＋x）－（AB－x）]÷2=（10＋2x）÷2=6，


∴x=1，


在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理有A1B2＋BC12=AC12，


即：（AB＋1）2＋（AB－1）2=100，


解得AB=7，


∴BD=7．





分析：（1）可通过构建全等三角形来求解，过F作FG⊥AB于G，那么可通过角平分线上的点到角两边的距离相等得出OF=FG，通过全等三角形AOF和AGF可得出AO=AG，那么AB=AO＋OF，而AC=2OA，由此可得证；


（2）本题作辅助线的方法与（1）类似，过F1作F1G1⊥AB，F1H1⊥BC，那么可证得四边形F1G1BH1是正方形，EF1=F1G1=F1H1，那么可得出F1就是三角形A1BC1的内心，根据直角三角形的内心公式可得出EF1=（A1B＋BC1－A1C1）÷2，然后根据用AB分别表示出A1B，BC1，最后经过化简即可得出AB－EF1=A1C1；


（3）求BD的长，首先要求出AB的长，本题可借助（2）中，F1是三角形A1BC1的内心来解，那么我们不难看出E，G1，H1都应该是切点，根据切线长定理不难得出A1E＋A1G1=A1C1＋A1B－C1E－BG1，由于C1E=C1H1，BG1=BH1，A1E=A1G1因此式子可写成2A1E=A1C1＋A1B－BC1，而（A1B－BC1）正好等于2A1A，由此可求出A1A的长，那么可根据勾股定理用AB表示出两条直角边，求出AB的长，然后即可得出BD的值．


本题主要考查了正方形的性质，三角形的内接圆与内心等知识点，要注意的是后两问中，结合圆的知识来解会使问题更简单．





2．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE=BF．





答案：见解析


知识点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质


解析：


解答：


证明：∵∠FAB＋∠BAE=90°，∠DAE＋∠BAE=90°，


∴∠FAB=∠DAE，


∵∠AB=AD，∠ABF=∠ADE，


∴△AFB≌△ADE，


∴DE=BF．


分析：由同角的余角相等知，∠FAB=∠DAE，由正方形的性质知，∠AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，则ASA证得△AFB≌△ADE⇒DE=BF．此题即考查了实数的运算又考查了正方形的性质．学生对学过的知识要系统起来．





3．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，则∠EAF为多少度．





答案：45°


知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质


解析：


解答：解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB=AG，AF=AF，∠B=∠G=90°，


∴△ABF≌△AGF（HL），


∴∠BAF=∠GAF，


同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；


即∠EAF=∠EAG＋∠FAG=∠DAG＋∠BAG=∠DAB=45°，


故∠EAF=45°．


分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF=∠GAF，再证明AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；所以可求∠EAF=45°．主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．





4．如图，正方形ABCD中，AB=，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15度．


（1）求证：DF＋BE=EF；


（2）求∠EFC的度数；


（3）求△AEF的面积．





答案：（1）见解析 （2）30° （3） SKIPIF 1 < 0


知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质


解析：


解答：解：（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG，


∵正方形ABCD，


∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，


∵BG=DF，


∴△ABG≌△ADF，


∴AG=AF，


∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，


∴∠FAE=∠GAE=45°，


∵AE=AE，


∴△FAE≌△GAE，


∴EF=EG=GB＋BE=DF＋BE；


（2）∵△AGE≌△AFE，


∴∠AFE=∠AGE=75°，


∵∠DFA=90°－∠DAF=75°，


∴∠EFC=180°－∠DFA－∠AFE=180°－75°－75°=30°，


∴∠EFC=30°


（3）∵AB=BC= SKIPIF 1 < 0 ，∠BAE=30°，


∴BE=1，CE= SKIPIF 1 < 0 －1，


∵∠EFC=30°，


∴CF=3－ SKIPIF 1 < 0 ，


∴S△CEF=CE•CF=2 SKIPIF 1 < 0 －3，


由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，


∴S△AEF=S正方形ABCD－S△ADF－S△AEB－S△CEF=S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF，


S△AEF=（S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF）=3－ SKIPIF 1 < 0 ．





分析：（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG．利用正方形的性质，证明△AGE≌△AFE，△FAE≌△GAE，得出DF＋BE=EF；


（2）根据△AGE≌△AFE及角之间的关系从而求得∠EFC的度数；


（3）S△AEF=S正方形ABCD－S△ADF－S△AEB－S△CEF=S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF，关键求S△CEF．


解答本题利用正方形的特殊性质，通过证明三角形全等，得出线段间的关系，同时考查了三角函数的运用，及组合图形的面积计算．





5．已知正方形ABCD的边长为4cm，E，F分别为边DC，BC上的点，BF=1cm，CE=2cm，BE，DF相交于点G，求四边形CEGF的面积．





答案： SKIPIF 1 < 0


知识点：正方形的性质；一次函数的性质；两条直线相交或平行的问题


解析：


解答：解：以B点为坐标原点建立坐标系，如下图：


由题意可得几个点的坐标A（0，4），B（0，0），C（4，0），D（4，4），E（4，2），F（1，0）．


设BE所在直线的解析式是y=kx，因为BE所在直线经过E点，因此有


4k=2，k= SKIPIF 1 < 0 ，


因此BE所在直线的解析式是y= SKIPIF 1 < 0 x（1），


同理可得出DF所在直线的解析式是y= SKIPIF 1 < 0 （x－1）（2），


联立（1）（2）可解得点G的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）．


故可求四边形CEGF的面积S=S△BCE－S△BFG= SKIPIF 1 < 0 ×4×2－ SKIPIF 1 < 0 ×1× SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ．





分析：本题的关键是求出G点的坐标，那么就要求出BE，DF所在直线的函数解析式，然后联立两个关系式求出交点坐标，再根据GECF的面积=三角形BEC的面积－三角形BFG的面积，求出GECF的面积．本题主要考查的是正方形的性质，一次函数等知识点的应用．根据BE，DF所在直线求出交点的坐标是解题的关键．