2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第8讲　曲线与方程 (含解析)

第8讲　曲线与方程

一、选择题

1.方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　)

A.两条直线    B.两条射线

C.两条线段   D.一条直线和一条射线

解析　原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.

答案　D

2.(2017·衡水模拟)若方程x2＋＝1(a是常数)，则下列结论正确的是(　　)

A.任意实数a方程表示椭圆 B.存在实数a方程表示椭圆

C.任意实数a方程表示双曲线 D.存在实数a方程表示抛物线

解析　当a>0且a≠1时，方程表示椭圆，故选B.

答案　B

3.(2017·长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　)

A.－＝1    B.＋＝1

C.－＝1    D.＋＝1

解析　∵M为AQ的垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆.

∴a＝，∴c＝1，则b2＝a2－c2＝，

∴M的轨迹方程为＋＝1.

答案　D

4.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是(　　)

A.y2＝2x    B.(x－1)2＋y2＝4

C.y2＝－2x    D.(x－1)2＋y2＝2

解析　如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，

又∵|PA|＝1，

∴|PM|＝＝，

即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.

答案　D

5.平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)

A.直线    B.椭圆

C.圆    D.双曲线

解析　设C(x，y)，因为＝λ1＋λ2，

所以(x，y)＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)，即

解得又λ1＋λ2＝1，

所以＋＝1，即x＋2y＝5 ，

所以点C的轨迹为直线，故选A.

答案　A

二、填空题

6.已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为__________.

解析　设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，

得＝2，

∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.

∴P的轨迹为以(2，0)为圆心，半径为2的圆.

即轨迹所包围的面积等于4π.

答案　4π

7.已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为________.

解析　设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，点A是线段RP的中点，∴即

∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，

∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.

答案　y＝2x

8.在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且||－||＝2，则顶点A的轨迹方程为________.

解析　以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点.

则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，

|AE|＝|AF|.

∴|AB|－|AC|＝2＜|BC|＝4，

∴点A的轨迹为以B，C的焦点的双曲线的右支(y≠0)且a＝，c＝2，∴b＝，

∴轨迹方程为－＝1(x＞).

答案　－＝1(x＞)

三、解答题

9.如图所示，动圆C1：x2＋y2＝t2，1<t<3，与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左、右顶点.求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.

解　由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3，0)，A2(3，0)，

由曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，－y0)，

设点M的坐标为(x，y)，

直线AA1的方程为y＝(x＋3).①

直线A2B的方程为y＝(x－3).②

由①②得y2＝(x2－9).③

又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y＝1－.④

将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0).

因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x<－3，y<0).

10.(2017·广州模拟)已知点C(1，0)，点A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点.

(1)求点P的轨迹T的方程；

(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由.

解　(1)连接CP，OP，由·＝0，知AC⊥BC，

∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|，

由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，

即|OP|2＋|CP|2＝9，

设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，

化简，得x2－x＋y2＝4.

(2)存在.根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1，0)的距离的点都在抛物线y2＝2px(p＞0)上，其中＝1.

∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，

由方程组得x2＋3x－4＝0，

解得x1＝1，x2＝－4，由x≥0，

故取x＝1，此时y＝±2.

故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1，2).

11.已知△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)

A.－＝1    B.－＝1

C.－＝1(x>3)    D.－＝1(x>4)

解析　如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6<10＝|AB|，根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(y≠0)，方程为－＝1(x>3).

答案　C

12.已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为(　　)

A.y2＝8x    B.y2＝－8x

C.y2＝4x    D.y2＝－4x

解析　＝(4，0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y).

∴||＝4，||＝，·＝4(x－2).根据已知条件得4＝4(2－x).

整理得y2＝－8x.∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.

答案　B

13.如图，P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且＝＋，则动点Q的轨迹方程是________.

解析　由于＝＋，

又＋＝＝2＝－2，

设Q(x，y)，则＝－＝，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有＋＝1，即＋＝1.

答案　＋＝1

14.(2016·全国Ⅲ卷)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.

(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；

(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

解　由题设F，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，

且A，B，P，Q，R.

记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.

(1)证明　由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.

记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，

则k1＝＝＝＝－＝－b＝k2.

所以 AR∥FQ.

(2)设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1，0)，

则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，

S△PQF＝.由题设可得|b－a|＝，所以x1＝1，x1＝0(舍去).

设满足条件的AB的中点为E(x，y).

当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1).而＝y，

所以y2＝x－1(x≠1).

当AB与x轴垂直时，E与D重合.

所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.