2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第4章 阶段强化练（三） (含解析)

阶段强化练(三)

一、选择题

1．(2019·福建闽侯五校期中联考)sin215°－cos215°等于(　　)

A. －  B.  C．－  D.

答案　C

解析　sin215°－cos215°＝－(cos215°－sin215°)

＝－cos 30°＝－.故选C.

2．若sin α＝，则sin－cos α等于(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　A

解析　sin－cos α

＝sin αcos ＋cos αsin －cos α＝×＝.

3．(2019·安徽皖中名校联考)已知sin α＝－，且α是第四象限角，则sin的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　由同角三角函数基本关系可得cos α＝＝ ＝，结合两角差的正弦公式可得sin＝sincos α－cossin α＝＝.故选C.

4．(2019·长春质检)函数f(x)＝sin＋sin x的最大值为(　　)

A.  B．2  C．2  D．4

答案　A

解析　函数f(x)＝sin＋sin x

＝sin x＋cos x＋sin x＝sin x＋cos x

＝

＝sin≤.故f(x)的最大值为.

故选A.

5．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，其图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为，若f(x)＞0对x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　由已知得函数f(x)的最小正周期为，则ω＝，

当x∈时，x＋φ∈，

因为f(x)＞0，即cos＞，

所以(k∈Z)，

解得－＋2kπ≤φ≤－＋2kπ(k∈Z)，

又|φ|＜，所以－＜φ≤－，故选B.

6．(2019·山师大附中模拟)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)在x＝时取得最大值，则函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象(　　)

A．关于点对称   B．关于点对称

C．关于直线x＝对称   D．关于直线x＝对称

答案　A

解析　因为当x＝时，f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)取得最大值，所以φ＝，即g(x)＝cos，对称中心为，k∈Z，对称轴x＝－，k∈Z，故选A.

7．(2019·沈阳东北育才学校模拟)如图平面直角坐标系中，角α，角β的终边分别交单位圆于A，B两点，若B点的纵坐标为－，且满足S△AOB＝，则sin ·＋的值为(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　B

解析　由图易知∠xOA＝α，∠xOB＝－β.

由题可知，sin β＝－.

由S△AOB＝知∠AOB＝，即α－β＝，

即α＝＋β.

则sin ＋

＝sin cos －sin2＋

＝sin α－(1－cos α)＋

＝sin α＋cos α＝sin＝sin

＝sin＝cos β＝＝.

故选B.

8．(2019·重庆铜梁一中月考)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)，x∈的图象如图，若f(x1)＝f(x2)，且x1≠x2，则f(x1＋x2) 的值为(　　)

A.  B.  C．1  D．0

答案　C

解析　由图象得＝－，∴T＝π，ω＝＝2，

由2sin＝2sin＝2，

得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，

由x1＋x2＝×2＝，得f(x1＋x2)＝f

＝2sin＝1，故选C.

9．(2019·重庆巴蜀中学期中)已知f(x)＝sin(ωx＋θ) ，f′(x1)＝f′(x2)＝0，|x1－x2|的最小值为，f(x)＝f，将f(x)的图象向左平移个单位长度得g(x)，则g(x)的单调递减区间是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

答案　A

解析　∵f(x)＝sin(ωx＋θ)，

由f′(x1)＝f′(x2)＝0可得x1，x2是函数的极值点，

∵|x1－x2|的最小值为，∴T＝＝，

∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋θ)，

又f(x)＝f，∴f(x)的图象的对称轴为x＝，∴2×＋θ＝kπ＋，k∈Z，又θ∈，

∴θ＝，∴f(x)＝sin.

将f(x)的图象向左平移个单位长度得

g(x)＝sin＝cos 2x的图象，

令2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，∴kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，

则g(x)＝cos 2x的单调递减区间是(k∈Z)，故选A.

10．(2019·成都七中诊断)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(其中ω>0)的最小正周期为π，函数g(x)＝f＋f(x)，若对∀x∈R，都有g(x)≤，则φ的最小正值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　由函数f(x)的最小正周期为π，可求得ω＝2，

∴f(x)＝sin(2x＋φ)，g(x)＝f＋f(x)

＝sin＋sin(2x＋φ)

＝cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)＝2sin，

∴g(x)＝2sin，

又g(x)≤，

∴x＝是g(x)的一条对称轴，代入2x＋φ＋中，

有2×＋φ＋＝＋kπ(k∈Z)，

解得φ＝－＋kπ(k∈Z)，当k＝1时，φ＝，故选B.

11．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c等于(　　)

A．2  B．4  C．2  D．3

答案　C

解析　∵＝2cos C，

由正弦定理，得sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Ccos C，

∴sin(A＋B)＝sin C＝2sin Ccos C，

由于0<C<π，sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝，

∵S△ABC＝2＝absin C＝ab，∴ab＝8，

又a＋b＝6，解得或

c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋16－8＝12，∴c＝2，故选C.

12．(2019·河北衡水中学调研)若函数f(x)＝sin

(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是(　　)

A.∪   B.∪

C.   D.

答案　B

解析　易知函数y＝sin x的单调区间为

，k∈Z.

由kπ＋≤ωx＋≤kπ＋，k∈Z，

得≤x≤，k∈Z.

因为函数f(x)＝sin(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，所以f(x)在区间(π，2π)内单调，

所以(π，2π)⊆，k∈Z，

所以k∈Z，

解得k＋≤ω≤＋，k∈Z.

由k＋≤＋，k∈Z，得k≤，k∈Z.

当k＝0时，得≤ω≤；

当k＝－1时，得－≤ω≤.

又ω>0，所以0<ω≤.

综上，得ω的取值范围是∪.

故选B.

二、填空题

13．(2019·陕西四校联考)已知sin α＝2cos α，则cos 2α＝________.

答案　－

解析　由已知得tan α＝2，cos 2α＝cos2α－sin2α

＝＝＝＝－.

14．(2019·山师大附中模拟)已知sin＝，则sin＝________.

答案　

解析　根据三角函数诱导公式，得

sin＝cos＝，

sin＝－cos＝－2cos2＋1＝.

15．(2019·武汉示范高中联考)函数y＝sin x＋cos x＋2sin xcos x的最大值为________．

答案　＋1

解析　令t＝sin x＋cos x，则t＝sin x＋cos x

＝sin，所以t∈[－，]，

则t2＝1＋2sin xcos x ，所以sin xcos x＝，

所以y＝t2＋t－1＝2－，

对称轴为t＝－，因为t∈[－，]，

所以当t＝时取得最大值，为＋1.

16．(2019·银川一中月考)已知函数f(x)＝cos xsin x(x∈R)，则下列四个命题中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)

①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；

②f(x)的最小正周期是2π；

③f(x)在区间上是增函数；

④f(x)的图象关于直线x＝对称．

答案　③④

解析　f(x1)＝－f(x2)，

即sin 2x1＝－sin 2x2，由f(x)图象(图略)可知，

①错误；

由周期公式可得T＝＝π ，②错误；

由f(x)的图象可知，③正确；

f＝sin ＝－，故④正确．

故填③④.

三、解答题

17．(2019·抚州七校联考)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的图象相邻两个对称轴之间的距离为，且f(x)的图象与y＝sin x的图象有一个横坐标为的交点.

(1)求f(x)的解析式；

(2)当x∈时，求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的值．

解　(1)由题可知，T＝π＝，ω＝2，

又cos＝sin ，|φ|<，得φ＝－.

所以f(x)＝cos.

(2)因为x∈，所以2x－∈，

当2x－＝π，即x＝时，f(x)取得最小值．

f(x)min＝f＝－1.

18．(2019·福建闽侯五校期中联考)已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，－cos x)，f(x)＝a·b.

(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)若x∈，a·b＝－，求cos 2x的值．

解　(1)f(x)＝a·b＝sin xcos x－cos2x

＝sin 2x－＝sin－，

∴f(x)的最小正周期是π.

令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

(2)∵a·b＝sin－＝－，

∴sin＝－.

∵x∈，

∴2x－∈ ，

∴cos＝－，

∴cos 2x＝cos

＝coscos－sinsin

＝－×－×＝.