2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第5章 阶段强化练（四） (含解析)

阶段强化练(四)

一、选择题

1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)

A．a与λa的方向相反   B．a与λ2a的方向相同

C．|－λa|≥|a|   D．|－λa|≥|λ|·a

答案　B

解析　对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．

2．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)已知向量a＝(0,1)，b＝(2,1)，且(b＋λa)⊥a，则实数λ的值为(　　)

A．2  B．－2  C．1  D．－1

答案　D

解析　已知向量a＝(0,1)，b＝(2,1)，b＋λa＝(2,1＋λ)，(b＋λa)⊥a，即(b＋λa)·a＝1＋λ＝0⇒λ＝－1. 故选D.

3．(2019·四省联考诊断)若向量a＝(1,2)，b＝(1，m)，且a－b与b的夹角为钝角，则实数m的取值范围是(　　)

A．(0,2)   B．(－∞ ,2)

C．(－2,2)   D．(－∞，0)∪(2，＋∞)

答案　D

解析　a－b＝(0,2－m)，由于两个向量的夹角为钝角，由夹角公式得＝<0，即2m－m2<0，解得m<0或m>2.故选D.

4．(2019·成都七中诊断)已知向量a＝(4，－7)，b＝(3，－4)，则a－2b在b方向上的投影为(　　)

A．2  B．－2  C．－2  D．2

答案　B

解析　向量a＝(4，－7)，b＝(3，－4)，

∴a－2b＝(－2,1)，

∴(a－2b)·b＝(－2,1)·(3，－4)＝－10，

|b|＝＝5，

∴向量a－2b在向量b方向上的投影为

|a－2b|cos〈(a－2b)，b〉＝＝－＝－2.

故选B.

5.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

答案　B

解析　∵O为BC的中点，

∴＝(＋)

＝(m＋n)＝＋，

∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，

∴m＋n＝2.

6．(2019·沈阳东北育才学校模拟)已知△ABC为等腰三角形，满足AB＝AC＝，BC＝2，若P为底边BC上的动点，则·(＋)(　　)

A．有最大值8   B．是定值2

C．有最小值1   D．是定值4

答案　D

解析　如图，设AD是等腰三角形底边BC上的高，长度为＝.故·(＋)＝(＋)·2＝22＋2·＝22＝2×()2＝4.故选D.

7．(2019·福建闽侯五校期中联考)设单位向量e1，e2对于任意实数λ，都有≤|e1－λe2|成立，则向量e1，e2的夹角为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　设单位向量e1，e2的夹角为θ，

∵对于任意实数λ都有≤|e1－λe2|成立，

∴对于任意实数λ都有2≤|e1－λe2|2成立，

即e＋e＋|e1||e2|cos θ≤e＋λ2e－2λ|e1||e2|cos θ，

即1＋＋cos θ≤1＋λ2－2λcos θ ，

即λ2－2λcos θ－≥0恒成立，

∴Δ＝4cos2θ＋4≤0 ，

整理可得2≤0,

再由2≥0，可得2＝0 ，

故cos θ＝－，∵θ∈[0，π]，∴θ＝.

故选B.

8．(2019·赣州十四县(市)期中联考)如图，正六边形ABCDEF中，·的值为18，则此正六边形的边长为(　　)

A．2   B．2

C．3   D．2

答案　D

解析　设正六边形的边长为a，由余弦定理得AC＝BD＝＝a，由图得，的夹角为60°，所以·＝a·a·cos 60°＝18，∴a＝2.故选D.

9．(2019·凉山诊断)设△ABC是边长为2的正三角形，E是BC的中点，F是AE的中点，则·(＋)的值为(　　)

A．3  B．2  C．4  D．3

答案　A

解析　·(＋)＝·2＝·＝·(＋)＝(2＋·)

＝＝3，

故选A.

10．(2019·安徽皖南八校联考)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝2，||＝2，则·的值为(　　)

A．－4   B．－3

C．－2   D．－8

答案　D

解析　因为AD⊥AB，＝2，||＝2，所以·＝(＋)·＝(＋3)·＝2＋3·＝4－3||||cos∠ABD＝4－3||2＝－8，故选D.

11．(2019·晋江四校期中)点M是△ABC的边BC上任意一点，N在线段AM上，且＝x＋y，若x＋y＝，则△NBC的面积与△ABC的面积的比值是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　如图，设＝λ(0<λ<1)，

＝μ(μ≥1)，

∴＝＝(＋)＝(＋λ)

＝(＋λ－λ)＝＋，

∵＝x＋y，且x＋y＝，

∴＋＝＝，则μ＝3.

∴＝3，则＝，

又∵△NBC与△ABC的底边BC相等，

∴△NBC的面积与△ABC的面积的比值是＝.

故选C.

12．(2019·长沙长郡中学调研)已知△ABC中，2＋－5＝0，延长BD交AC于E，则等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　取特殊三角形，令A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，

则有D，直线BD的方程为＝，

化简得y＝－x＋，令x＝0，解得y＝，

所以E，＝＝，故选D.

二、填空题

13．(2019·山师大附中模拟)单位向量a，b的夹角为60°，则|a－2b|＝__________.

答案　

解析　因为|a－2b|2＝a2＋4b2－4a·b＝3，

所以|a－2b|＝.

14．△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝60°，E为边AC的中点，＝＋，则·的值为________．

答案　－4

解析　∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝60°，

∴·＝3×4×＝6，

∵E为边AC的中点，∴＝－＝－，

∵＝＋，

∴＝－＝－＝，

∴·＝·

＝·－2＝2－6＝－4.

15．(2019·新疆昌吉教育共同体月考)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝－，则·的值为________．

答案　

解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，C(－1,0)，B(0，)，

＝(2,0)，＝(1，)，

所以＝－＝(1，)－(2,0)＝，

所以＝＋＝(－2,0)＋

＝，

所以＝＋＝(－1，－)＋

＝，

所以·＝·＝.

16．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)P为等腰直角三角形ABO内一点，O为直角顶点，||＝1，则||2＋||2＋||2的最小值为________．

答案　

解析　建立如图坐标系，

设点P(x，y)，A(1,0)，B(0,1)．

根据点和点的距离公式得到||2＋||2＋||2＝x2＋y2＋x2＋(y－1)2＋(x－1)2＋y2＝3x2＋3y2－2(x＋y)＋2

＝3＋，

当x＝，y＝时取得最小值.

三、解答题

17．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)．

(1)求a＋b与a－b 的夹角；

(2)若a⊥(a＋λb)，求实数λ的值．

解　(1)∵a＝(1,2)，b＝(－3,4)，

∴a＋b＝(－2,6)，a－b＝(4，－2)，

∴cos〈a＋b，a－b〉＝

＝＝－.

又∵〈a＋b，a－b〉∈[0，π]，∴〈a＋b，a－b〉＝.

(2)当a⊥(a＋λb)时，a·(a＋λb)＝0,

∴(1,2)·(1－3λ，2＋4λ)＝0，则1－3λ＋4＋8λ＝0，

∴λ＝－1.

18．(2019·吉林通榆一中期中)已知＝(2asin2x，a)，＝(－1,2sin xcos x＋1)，O为坐标原点，a≠0，设f(x)＝·＋b，b>a.

(1)若a>0，写出函数y＝f(x)的单调递增区间；

(2)若函数y＝f(x)的定义域为，值域为[2,5]，求实数a与b的值．

解　(1)f(x)＝－2asin2x＋2asin xcos x＋a＋b

＝2asin＋b，

∵a>0，∴由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

∴函数y＝f(x)的单调递增区间是

(k∈Z)．

(2)当x∈时，2x＋∈，

sin∈.

当a>0时，f(x)∈[－2a＋b，a＋b]，

∴得

当a<0时，f(x)∈[a＋b，－2a＋b]，

∴得

综上知或