2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第2章1第1讲　函数及其表示




知识点
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函数及其表示
了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.
在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
了解简单的分段函数，并能简单应用.
单调性
理解函数的单调性及其几何意义.
理解函数的最大值、最小值及其几何意义.
奇偶性
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
指数函数
了解指数函数模型的实际背景.
理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.
知道指数函数是一类重要的函数模型.
对数函数
理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.
知道对数函数是一类重要的函数模型.
了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0，且a≠1).
幂函数
了解幂函数的概念.
结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况.
函数的图象
会运用函数图象理解和研究函数的性质.
函数与方程
结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
函数模型
及其应用
了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
第1讲　函数及其表示


1．函数与映射的概念

函数
映射
两集合
A、B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
续　表


函数
映射
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)(x∈A)
对应f：A→B是一个映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　)
(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．(　　)
(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)
(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，则对应关系f是从A到B的映射．(　　)
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　
(教材习题改编)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[0，2) B．(2，＋∞)
C．[0，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析：选C.由题意得解得x≥0且x≠2.
下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)
A．y＝()2 B．y＝3＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
解析：选B.对于A.函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B.定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C.函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．
(教材习题改编)已知函数f(x)＝则f(1)＋f(－3)＝________．
解析：f(1)＝1×5＝5，f(－3)＝－3×(－3－4)＝21，故f(1)＋f(－3)＝5＋21＝26.
答案：26
若有意义，则函数y＝x2－6x＋7的值域是________．
解析：因为有意义，所以x－4≥0，即x≥4.
又因为y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，
所以ymin＝(4－3)2－2＝1－2＝－1.
所以其值域为[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)


　　　　　　求函数的定义域
[典例引领]
(1)(2018·河南濮阳一高第二次检测)函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为(　　)
A.
B.
C．(－1，0)∪
D．(－∞，－1)∪
(2)如果函数f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为(　　)
A．－2　 B．－1
C．1 D．2
(3)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域为________．
【解析】　(1)由1－2x>0，x＋1≠0，得x0，所以x0且a≠1)的定义域为________．
解析：由⇒⇒01且x＝，
所以f(t)＝lg，
即f(x)＝lg(x>1)．
(3)待定系数法：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
又f(0)＝c＝3.
所以f(x)＝ax2＋bx＋3，
所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
所以
所以
所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3.
(4)解方程组法：因为2f(x)＋f＝2x，①
将x换成，则换成x，得2f＋f(x)＝.②
由①②消去f，得3f(x)＝4x－.
所以f(x)＝x－(x∈R且x≠0)
【答案】　(1)f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)　(2)f(x)＝lg(x＞1)　(3)f(x)＝x2－x＋3　(4)x－(x∈R且x≠0)

若本例(4)条件变为2f(x)＋f(－x)＝2x，求f(x)．
解：因为2f(x)＋f(－x)＝2x，①
将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②
由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，
所以f(x)＝2x.

求函数解析式的4种方法

[通关练习]
1．已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为f(x)＝__________.
解析：法一：设t＝＋1，
则x＝(t－1)2(t≥1)；
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
故f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二：因为x＋2＝()2＋2＋1－1
＝(＋1)2－1，
所以f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
即f(x)＝x2－1(x≥1)．
答案：x2－1(x≥1)
2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)的解析式为f(x)＝__________．
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，
所以a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.
又因为方程f(x)＝0有两个相等的实根，
所以Δ＝4－4c＝0，c＝1，
故f(x)＝x2＋2x＋1.
答案：x2＋2x＋1

　　　　　　分段函数(高频考点)
分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对分段函数的考查主要有以下四个命题角度：
(1)由分段函数解析式，求函数值(或最值)；
(2)由分段函数解析式与方程，求参数的值(或范围)；
(3)由分段函数解析式，求解不等式．
(4)由分段函数解析式，判断函数的奇偶性．(本章第3讲再讲解)
[典例引领]
角度一　由分段函数解析式，求函数值(或最值)
(1)已知f(x)＝则f＋f的值等于(　　)
A．－2　　　 B．4
C．2 D．－4
(2)已知函数f(x)＝则f的值是________．
【解析】 (1)由题意得f＝2×＝.
f＝f＝f＝2×＝.
所以f＋f＝4.
(2)由题意可得f＝log2＝－2，
所以f＝f(－2)＝3－2＋1＝.
【答案】 (1)B　(2)
角度二　由分段函数解析式与方程，求参数的值
(或范围)
(分类讨论思想)(2017·高考山东卷)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】 当01时，a＋1>2，所以f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，所以2(a－1)＝2a，无解．当a＝1时，a＋1＝2，f(1)＝0，f(2)＝2，不符合题意．综上，f＝6.故选C.
【答案】 C
角度三　由分段函数解析式，求解不等式
(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
【解析】　当x>0时，f(x)＝2x>1恒成立，当x－>0，即x>时，f＝2x－>1，当x－≤0，即0，则不等式f(x)＋f>1恒成立．当x≤0时，f(x)＋f＝x＋1＋x＋＝2x＋>1，所以－3a2，则a的取值范围是________．
解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))>3a2，
则9＋6a>3a2，即a2－2a－3