2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第1章2第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件

第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件

1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)充分条件与必要条件的相关概念
①如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果p⇒q，但q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；
③如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；
④如果q⇒p，且pq，则p是q的必要不充分条件；
⑤如果q，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．
[提醒]　不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．
(2)充分条件与必要条件的两个特征
①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．
②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“x2＋2x－3b，则a＋c>b＋c”的否命题是(　　)
A．若a≤b，则a＋c≤b＋c
B．若a＋c≤b＋c，则a≤b
C．若a＋c>b＋c，则a>b
D．若a>b，则a＋c≤b＋c
解析：选A.命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.
(教材习题改编)“x>1”是“x2＋2x>0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由x2＋2x>0，得x>0或x1”是“x2＋2x>0”的充分不必要条件，故选A.
设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．
解析：把命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的条件与结论“换位”又“换质”得到逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．
答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
(教材习题改编)命题p：x2＝3x＋4，命题q：x＝，则p是q的________条件．
解析：当x2＝3x＋4时，x＝－1或4，当x＝－1时，x＝不成立，即p⇒/q.
当x＝时，x≥0，3x＋4≥0，则x2＝3x＋4，即q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．
答案：必要不充分


　　　　　　四种命题的相互关系及其真假判断
[典例引领]
(1)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(　　)
A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0
B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0
C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
(2)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
【解析】　(1)“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.
(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．
【答案】　(1)D　(2)C


(2)由原命题写出其他三种命题的方法
由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得到逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．　
[通关练习]
1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析：选B.依题意，得原命题的逆命题为：若一个数的平方是正数，则它是负数．
2．下列命题中为真命题的是(　　)
A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题
B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题
解析：选B.对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题为“若x≤1，则≤1”，易知为假命题，故选B.

　　　　　　充分条件、必要条件的判断
[典例引领]
(1)(2017·高考北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n2，则a2>4”，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.原命题显然是真命题，其逆命题为“若a2>4，则a>2”，显然是假命题，由互为逆否命题的等价性知，否命题是假命题，逆否命题是真命题．
6．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC” 是“A∩B＝∅”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.依题意，若A⊆C，则∁UC⊆∁UA，当B⊆∁UC，可得A∩B＝∅；若A∩B＝∅，不妨令C＝A，显然满足A⊆C，B⊆∁UC，故满足条件的集合C是存在的．
7．下列命题中正确的个数是(　　)
①命题“若m>－1，则方程x2＋2x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋2x－m＝0有实根，则m>－1”；
②“x≠1”是“x2－3x＋2≠0”的充分不必要条件；
③一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
A．0 B．3
C．2 D．1
解析：选C.对于①，命题“若m>－1，则方程x2＋2x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋2x－m＝0有实根，则m>－1”，故①正确；对于②，由x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，所以“x≠1”不是“x2－3x＋2≠0”的充分不必要条件，故②错误；对于③，因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0，反之，如果b＝0，那么f(x)＝kx，所以f(－x)＝－kx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故③正确．正确命题的个数为2，故选C.
8．使a>0，b>0成立的一个必要不充分条件是(　　)
A．a＋b>0 B．a－b>0
C．ab>1 D.>1
解析：选A.因为a>0，b>0⇒a＋b>0，反之不成立，而由a>0，b>0不能推出a－b>0，ab>1，>1.
9．(2018·陕西省高三教学质量检测试题(一))设a，b∈R，则“(a－b)a2