2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第九章第七节抛物线

第七节抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．❶其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程❷和几何性质标准方程y2＝2px (p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点F F F F 离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋|PF|＝－x0＋|PF|＝y0＋|PF|＝－y0＋ 若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线．四种不同抛物线方程的异同点共同点(1)原点都在抛物线上；(2)焦点都在坐标轴上；(3)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即＝不同点(1)焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2；(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，即焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，即焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号. [熟记常用结论]设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；(3)＋＝；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(　　)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×二、选填题1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是(　　)A.　　　　　　　 B.C. D.解析：选C　抛物线的标准方程为x2＝y，所以焦点坐标是.2．若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P的轨迹方程为(　　)A．y2＝8x B.y2＝－8xC．x2＝8y D．x2＝－8y解析：选C　点P到F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，因此P到F(0,2)的距离与它到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2＝8y.3．抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线方程是(　　)A．y2＝－8x B.y2＝－4xC．y2＝8x D．y2＝4x解析：选C　由抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，知p＝4，且开口向右，故抛物线方程为y2＝8x.4．焦点在直线2x＋y＋2＝0上的抛物线的标准方程为____________________．解析：当焦点在x轴上时，令方程2x＋y＋2＝0中的y＝0，得焦点为(－1,0)，故抛物线方程为y2＝－4x，当焦点在y轴上时，令方程2x＋y＋2＝0中的x＝0，得焦点为(0，－2)，故抛物线方程为x2＝－8y.答案：y2＝－4x或x2＝－8y5．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．解析：M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.答案：考点一  抛物线的定义及应用[师生共研过关][典例精析](1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　)A.　　　　　　　　　 B．1C. D．2(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．[解析]　(1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.又点P到焦点F的距离为2，∴由定义知点P到准线的距离为2.∴xP＋1＝2，∴xP＝1.代入抛物线方程得|yP|＝2，∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.[答案]　(1)B　(2)4　　1．(变条件)若将本例(2)中“B(3,2)”改为B(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．解析：由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2，即|PB|＋|PF|的最小值为2.答案：22．(变设问)在本例(2)条件下，点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝.答案：[解题技法]与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．[提醒]　注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.[过关训练]1．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________．解析：过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．答案：(2,2)2．(2019·襄阳测试)已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝________.解析：如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝.答案：考点二  抛物线的标准方程与几何性质[师生共研过关][典例精析](1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)A．(－1,0)　　　　　　　 B．(1,0)C．(0，－1) D．(0,1)(2)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为(　　)A．y2＝4x或y2＝8x B.y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x[解析]　(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．(2)由已知得抛物线的焦点F设点M(x0，y0)，则＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.由|MF|＝5，得 ＝5.又p＞0，解得p＝2或p＝8.故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.[答案]　(1)B　(2)C[解题技法]1．求抛物线标准方程的方法(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可．(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．[过关训练]1．(2019·武汉调研)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为(　　)A．y2＝9x　　　　　　 B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝x解析：选B　如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x.2．(2018·合肥模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．解析：△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M.因为焦点F，△FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为x2＝4y.答案：x2＝4y考点三  直线与抛物线的位置关系[师生共研过关][典例精析]设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为2.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．[解]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝2，故直线AB的斜率k＝＝＝1.(2)由y＝，得y′＝x.设M(x3，y3)，由题设知x3＝1，于是M.设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(1,1＋m)，|MN|＝.将y＝x＋m代入y＝，得x2－2x－2m＝0.由Δ＝4＋8m＞0，得m＞－，x1,2＝1±.从而|AB|＝|x1－x2|＝2.由题设知|AB|＝2|MN|，即＝，解得m＝.所以直线AB的方程为y＝x＋.[解题技法]1．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒]　涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．[过关训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴y－y＝4(x1－x2)，∴k＝＝.设AB中点为M′(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足为A′，B′，则|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．∵M′(x0，y0)为AB中点，∴M为A′B′的中点，∴MM′平行于x轴，∴y1＋y2＝2，∴k＝2.答案：22．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线C的方程为y2＝8x.(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.由得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m＞0，∴m＞－2.y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2.由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍去)，∴直线l2：x＝y＋8，M(8,0)．故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|＝3＝24.