2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第四章第七节正弦定理和余弦定理

第七节正弦定理和余弦定理

1．正弦定理和余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则

2.三角形中常用的面积公式

(1)S＝ah(h表示边a上的高)；

(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C；

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

[熟记常用结论]

1．在△ABC中，内角A，B，C成等差数列⇔B＝，A＋C＝.

2．在斜△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.

3．在△ABC中，∠A＞∠B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.

4．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.(　　)

(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．(　　)

(3)在△ABC中，sin A＞sin B的充分不必要条件是A＞B.(　　)

(4)在△ABC中，a2＋b2＜c2是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件．(　　)

(5)在△ABC的角A，B，C，边长a，b，c中，已知任意三个可求其他三个．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×

二、选填题

1．在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于(　　)

A．2　　　　　　　　 B．12

C．2  D．28

解析：选A　由b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝4＋16－8＝12，所以b＝2.

2．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　)

A.  B.

C.  D．1

解析：选B　根据＝，有＝，得sin B＝.故选B.

3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)

A．有一解  B．有两解

C．无解  D．有解但解的个数不确定

解析：选C　由正弦定理得＝，

∴sin B＝＝＝＞1.

∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．故选C.

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝________.

解析：易知cos A＝＝＝，

又A∈(0，π)，∴A＝.

答案：

5．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．

解析：∵＝，∴sin B＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2.

答案：2

6．已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，b＝，A＝30°，则c＝________.

解析：∵a＝1，b＝，A＝30°，

∴由a2＝b2＋c2－2bccos A得1＝3＋c2－3c，

即c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2.

答案：1或2

考点一利用正、余弦定理解三角形[师生共研过关]

 [典例精析]

(1)(2019·莆田联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则B＝(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.  D.

(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.

①求角A的大小；

②若cos B＝，a＝3，求c的值．

[解析]　(1)∵asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，

∴由正弦定理得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，

即sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝sin B.

∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝，即sin B＝.

∵a＞b，∴A＞B，即B为锐角，∴B＝，故选A.

(2)①由正弦定理可得b2＋c2＝a2＋bc，

由余弦定理得cos A＝＝，

因为A∈(0，π)，所以A＝.

②由①可知sin A＝，

因为cos B＝，B为△ABC的内角，所以sin B＝，

故sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B

＝×＋×＝.

由正弦定理＝，

得c＝＝＝1＋.

[答案]　(1)A

[解题技法]

正、余弦定理的应用技巧

(1)解斜三角形时，主要应用正弦定理和余弦定理，这两个定理应用时要注意区分．如果已知条件中边较多，常用余弦定理求解；如果要用正弦定理，题目条件中必须出现已知角．

(2)解斜三角形中最典型的是边边角问题，一般是先用正弦定理求出一个角的正弦值，如sin A＝x.①若sin A＝1，则∠A＝90°；②若sin A＞1，矛盾无解；③若0＜sin A＜1，可能有两解，也可能只有一解．需要比较两个边的大小，用“大边对大角”来确定A是两解或者一解．

(3)在解答三角形的综合题时，如果已知条件的关系式中同时出现角和边，应当利用正弦定理进行消元，实现边角统一，化为仅含边的关系式或仅含角的关系式．即“边角会聚综合题，正弦定理来统一”．

　　　　　[口诀记忆]

斜三角形把我问，两个定理有区分；

余弦定理多见边，正弦定理角必现；

边边角，解难辨，正弦值，先计算；

等于1，九十度，大于1，矛盾出；

小于1时怎么办？利用大角对大边；

边角会聚综合题，正弦定理来统一．

[过关训练]

1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)

A．4  B.

C.  D．2

解析：选A　∵cos＝，

∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，

∴AB＝4.

2．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝，若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，则A＝________.

解析：在△ABC中，由sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A可得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin 2A，即sin Acos B＋cos Asin B＋cos Asin B－sin Acos B＝4sin Acos A，∴cos Asin B＝2sin Acos A，即cos A(sin B－2sin A)＝0，即cos A＝0或sin B＝2sin A，

①当cos A＝0时，A＝；

②当sin B＝2sin A时，根据正弦定理得b＝2a，

由余弦定理c2＝b2＋a2－2abcos C，结合c＝2，C＝，

得a2＋b2－ab＝4，

∴a＝，b＝，∴b2＝a2＋c2，

∴B＝，∴A＝.

综上可得，A＝或.

答案：或

3．(2019·开封模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin A＋bsin B＋bsin A＝csin C.

(1)求C；

(2)若a＝2，b＝2，线段BC的垂直平分线交AB于点D，求CD的长．

解：(1)因为asin A＋bsin B＋bsin A＝csin C，

所以由正弦定理可得a2＋b2＋ab＝c2.

由余弦定理得cos C＝＝－，

又0＜C＜π，所以C＝.

(2)由(1)知C＝，

根据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋(2)2－2×2×2×＝20，所以c＝2.

由正弦定理＝，得＝，

解得sin B＝，从而cos B＝.

设BC的垂直平分线交BC于点E，

因为在Rt△BDE中，cos B＝，

所以BD＝＝＝，

因为点D在线段BC的垂直平分线上，

所以CD＝BD＝.

考点二与三角形面积有关的问题[师生共研过关]

[典例精析]

(2019·武汉调研)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcos C＝2a＋c.

(1)求B；

(2)若b＝2，a＋c＝，求△ABC的面积．

[解]　(1)由正弦定理，知2sin Bcos C＝2sin A＋sin C，

由A＋B＋C＝π，得2sin Bcos C＝2sin(B＋C)＋sin C＝2(sin Bcos C＋cos Bsin C)＋sin C，即2cos Bsin C＋sin C＝0.

因为sin C≠0，所以cos B＝－.

因为0＜B＜π，所以B＝.

(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，

可知b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，

因为b＝2，a＋c＝，

所以22＝()2－2ac－2accos，得ac＝1.

所以S△ABC＝acsin B＝×1×＝.

[解题技法]

(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．

(2)与面积有关的问题，一般要用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．

[过关训练]

1．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C　∵S＝absin C＝＝＝abcos C，∴sin C＝cos C，即tan C＝1.

∵C∈(0，π)，∴C＝.

2．(2019·沈阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝5，B＝，△ABC的面积为，则cos 2A＝________.

解析：由三角形的面积公式，得S△ABC＝acsin B＝×a×5×sin＝××5a＝，解得a＝3.由b2＝a2＋c2－2accos B＝32＋52－2×3×5×＝49，得b＝7.又由＝⇒sin A＝sin B＝sin＝，∴cos 2A＝1－2sin2A＝1－2×2＝.

答案：

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos A＝(2c－a)cos B.

(1)求B；

(2)若b＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

解：(1)由bcos A＝(2c－a)cos B，

得2ccos B＝bcos A＋acos B.

由正弦定理可得2sin Ccos B＝sin Bcos A＋sin Acos B＝sin(A＋B)＝sin C，

因为sin C≠0，所以cos B＝.

因为0＜B＜π，所以B＝.

(2)因为S△ABC＝acsin B＝，所以ac＝4.

又13＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，

所以a2＋c2＝17，

所以a＋c＝5，

故△ABC的周长为5＋.

考点三平面图形中的计算问题[师生共研过关]

[典例精析]

(2019·佛山质检)如图所示，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1.

(1)若AC＝，求△ABC的面积；

(2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD.

[解]　(1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，

即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝(负值舍去)，

所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝.

(2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得，＝，即＝，①

在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－＝θ－，

由正弦定理得＝，

即＝，②

①②两式相除，得＝，

即4＝sin θ，整理得sin θ＝2cos θ.

又sin2θ＋cos2θ＝1，故sin θ＝，即sin∠CAD＝.

[解题技法]

平面图形中计算问题的解题关键及思路

求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．

具体解题思路如下：

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．

[过关训练]

(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.

(1)求cos ∠ADB；

(2)若DC＝2，求BC.

解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，

即＝，

所以sin ∠ADB＝.

由题设知，∠ADB＜90°，

所以cos ∠ADB＝ ＝.

(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC＝sin ∠ADB＝.

在△BCD中，由余弦定理，

得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos ∠BDC

＝25＋8－2×5×2×＝25，

所以BC＝5.