2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第九章第六节双曲线


第六节双曲线

1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F1F2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形


性 质
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．
设双曲线上的点M到两焦点F1，F2的距离之差的绝对值为2a，则0＜2a＜|F1F2|，这一条件不能忽略．
①若2a＝|F1F2|，则点M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；
②若2a＞|F1F2|，则点M的轨迹不存在；
③若2a＝0，则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
[熟记常用结论]
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2.
5．若P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.
6．等轴双曲线
(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
(2)性质：①a＝b；②e＝；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．
7．共轭双曲线
(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．
(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
(3)双曲线方程－＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)
(4)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与－＝1(a＞0，b＞0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、选填题
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A．2　　　　　　　 B．2
C．4 D．4
解析：选C　双曲线2x2－y2＝8的标准方程为－＝1，故实轴长为4.
2．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)
A. B.
C. D．(，0)
解析：选C　∵原方程可化为－＝1，
∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，
∴右焦点坐标为.
3．若方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是
________.
解析：因为方程－＝1表示双曲线，
所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2.
答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
4．若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.
解析：由已知可得a＝1，c＝，
所以e＝＝＝，解得m＝2.
答案：2
5．双曲线C的焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5,2)，则该双曲线的标准方程为____________________．
解析：由题意得2a＝|－|＝4，所以a＝2，又c＝6，
所以b2＝c2－a2＝36－20＝16，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1



[题组练透]
1．(2019·绵阳联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为(　　)
A.－＝1　　　　　　　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B　由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
2．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是(　　)
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选B　法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．
设双曲线标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
因为双曲线过点P(2,1)，
所以－＝1，又a2＋b2＝3，
解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线标准方程是－y2＝1.
法二：设所求双曲线标准方程为＋＝1(1＜λ＜4)，
将点P(2,1)的坐标代入可得＋＝1，
解得λ＝2(λ＝－2舍去)，
所以所求双曲线标准方程为－y2＝1.
3．过双曲线C：－＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A　因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1.
4．经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为____________．
解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为所求双曲线经过点P(3,2)，Q(－6，7)，所以解得故所求双曲线标准方程为－＝1.
答案：－＝1
5．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．
解析：设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ＞0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
[名师微点]

求双曲线标准方程的2种方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
[提醒]　求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．(如第4题)

[典例精析]
(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
(3)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
[解析]　(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2＜6.
这表明动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2且小于|C1C2|.
根据双曲线的定义知，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，且a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(2)∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
则cos∠F1PF2
＝
＝＝.
(3)因为F是双曲线－＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9.
[答案]　(1)x2－＝1(x≤－1)　(2)　(3)9
[解题技法]
双曲线定义的应用策略
(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．
(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．
(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
[过关训练]
1．(2019·唐山模拟)已知F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B.
C．2 D.
解析：选A　不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝|m－n|＝4.又因为∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝20，即m2＋n2＝20.又||PF1|－|PF2||2＝|m－n|2＝16，所以mn＝2.所以△F1PF2的面积为S＝mn＝1，故选A.
2．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是(　　)
A.－＝1(x＞2) B.－＝1(y＞2)
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A　如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.
|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞2)．

[考法全析]
考法(一)　求双曲线的离心率(或范围)
[例1]　(1)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)　　　　　　 B．(1,2)
C．(2,1＋) D．(1,1＋)
(2)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线C的离心率为(　　)
A．5 B.
C. D.
[解析]　(1)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B.
(2)根据直线4x－3y＋20＝0与x轴的交点F为(－5,0)，可知半焦距c＝5，
设双曲线C的右焦点为F2，连接PF2，根据|OF2|＝|OF|且|OP|＝|OF|可得，△PFF2为直角三角形，
如图，过点O作OA垂直于直线4x－3y＋20＝0，垂足为A，则易知OA为△PFF2的中位线，
又原点O到直线4x－3y＋20＝0的距离d＝4，所以|PF2|＝2d＝8，|PF|＝＝6，故结合双曲线的定义可知|PF2|－|PF|＝2a＝2，所以a＝1，故e＝＝5.
[答案]　(1)B　(2)A
考法(二)　求双曲线的渐近线
[例2]　(2019·武汉调研)已知双曲线C：－＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
[解析]　由题意知，椭圆中a2＝25，b2＝16，∴椭圆的离心率e＝ ＝，
∴双曲线的离心率为 ＝，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.故选A.
[答案]　A
考法(三)　求双曲线的方程
[例3]　已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[解析]　由离心率为，可知a＝b，c＝a，
所以F(－a,0)，
由题意知kPF＝＝＝1，
所以a＝4，解得a＝2，
所以双曲线的方程为－＝1.
[答案]　B
[规律探求]
看个性
考法(一)：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)；
考法(二)：求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系：k＝±＝±＝± ＝±；
考法(三)：求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线方程
找共性
求解双曲线的几何性质问题，其通用的方法是利用方程思想解题，其思维流程是：


[过关训练]
1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x　　　　　　　 B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选A　∵e＝＝＝，
∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a.
∴渐近线方程为y＝±x.
2．(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)
A. B.2
C. D.
解析：选C　不妨设一条渐近线的方程为y＝x，
则F2到y＝x的距离d＝＝b.
在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，
所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，
又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，
根据余弦定理得
cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，
即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
3．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·＜0，则y0的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意知a＝，b＝1，c＝，
设F1(－，0)，F2(，0)，
则＝(－－x0，－y0)， ＝(－x0，－y0)．
∵·＜0，
∴(－－x0)(－x0)＋y＜0，
即x－3＋y＜0.
∵点M(x0，y0)在双曲线C上，
∴－y＝1，即x＝2＋2y，
∴2＋2y－3＋y＜0，∴－＜y0＜.