2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第二章第七节对数与对数函数

第七节对数与对数函数1．对数概念如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式．其中常用对数：log10N⇔lg N；自然对数：logeN⇔ln N性质对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN❶loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N运算loga(M·N)＝logaM＋logaNa＞0，且a≠1，M＞0，N＞0loga＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)换底公式换底公式：logab＝(a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0)2．对数函数的图象与性质函数y＝logax(a＞0，且a≠1)a＞10＜a＜1图象特征在y轴右侧，过定点(1,0)当x逐渐增大时，图象是上升的当x逐渐增大时，图象是下降的性质 定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值变化规律当x＝1时，y＝0当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0谨记运算法则有关口诀积的对数变加法；商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前.①对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．②在直线x＝1的右侧，当a＞1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．③函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称.[熟记常用结论]1．换底公式的两个重要结论(1)logab＝；(2)logambn＝logab.其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m≠0，n∈R.2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　)(2)log2x2＝2log2x.(　　)(3)当x＞1时，logax＞0.(　　)(4)若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)(5)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×二、选填题1．函数y＝lg|x|(　　)A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增解析：选B　y＝lg|x|是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．2．已知a＞0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)解析：选B　函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有B.3．函数y＝的定义域为______．解析：要使函数有意义，须满足解得＜x≤1.答案：4．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是________．解析：当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．答案：(2,2)5．计算：log23·log34＋()log34＝________.解析：log23·log34＋()＝·＋3＝2＋3log32＝2＋2＝4.答案：4[题组练透]1．设loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n的值为________．解析：由已知得a2m＋n＝a2loga2＋loga3＝aloga4＋loga3＝aloga12＝12.答案：122．已知log189＝a,18b＝5，则log3645＝________(用关于a，b的式子表示)．解析：因为18b＝5，所以log185＝b，又log189＝a，于是log3645＝＝＝＝.答案：3．计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；(2)；(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．解：(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.(2)原式＝＝＝－.(3)原式＝log32·log43＋log32·log83＋log92·log43＋log92·log83＝·＋·＋·＋·＝＋＋＋＝.[名师微点]对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.[典例精析][例1]　(2019·合肥质检)函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为(　　)[解析]　令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C、D.由对数函数的单调性及函数y＝2－|x|的单调性知A正确．[答案]　A[例2]　当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)A.　　　　　　　　　B.C．(1，)  D．(，2)[解析]　易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，则由题意可知只需满足loga＞4，解得a＞，∴＜a＜1，故选B.[答案]　B　　1．(变条件)将例2中“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，a的取值范围为__________．解析：若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图象在上有交点．由图象可知解得0＜a≤，即a的取值范围为.答案：2．(变条件)若例2变为：已知不等式x2－logax＜0对x∈恒成立，则实数a的取值范围为__________．解析：由x2－logax＜0得x2＜logax，设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈时，不等式x2＜logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a＞1时，显然不成立；当0＜a＜1时，如图所示，要使x2＜logax在x∈上恒成立，需f1≤f2，所以有2≤loga，解得a≥，所以≤a＜1.即实数a的取值范围是.答案：3．(变条件)若例2变为：当0＜x≤时，＜logax，则实数a的取值范围为________．解析：若＜logax在x∈上恒成立，则0＜a＜1，且y＝的图象在y＝logax图象的下方，如图所示，由图象知 ＜loga，所以解得＜a＜1.即实数a的取值范围是.答案：[解题技法](1)识别对数函数图象时，要注意底数a以1为分界：当a＞1时，是增函数；当0＜a＜1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y轴为渐近线．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[过关训练]1．若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)解析：选B　若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a＞1，故函数y＝loga|x|的图象大致如图所示．故选B.2．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则(　　)A．x1x2＜0  B．x1x2＝0C．x1x2＞1  D．0＜x1x2＜1解析：选D　作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．显然x1＜0，x2＜0.不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0，所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，此时10x1＜10x2，即lg(－x1)＜－lg(－x2)，由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1，故选D.[考法全析]考法(一)　比较对数值的大小[例1]　设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a＞b＞c　　　　　　　 B．a＞c＞bC．b＞a＞c  D．b＞c＞a[解析]　因为a＝log3π＞log33＝1，b＝log2＜log22＝1，所以a＞b；又＝＝(log23)2＞1，c＞0，所以b＞c.故a＞b＞c.[答案]　A考法(二)　解简单的对数不等式[例2]　设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1,0)∪(0,1)  B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)  D．(－∞，－1)∪(0,1)[解析]　由题意得或解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.[答案]　C考法(三)　对数函数的综合应用[例3]　若函数f(x)＝log (－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(　　)A.   B.C.   D.[解析]　由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝2.由复合函数单调性可得函数f(x)＝log (－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2,5)．要使函数f(x)＝log (－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，只需解得≤m＜2.[答案]　C [规律探求]看个性考法(一)是利用对数函数的单调性比较对数值的大小．常有以下题型及求法：考法(二)是直接考查对数函数的单调性，解决此类问题时应注意两点：(1)真数大于0；(2)底数a的值．考法(三)考查与对数函数有关的复合函数的单调性，解决此类问题有以下三个步骤：(1)求出函数的定义域；(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性找共性无论题型如何变化，都是围绕对数函数的单调性，变换不同的角度来应用．考法(一)与考法(二)是对数函数单调性的直接应用，利用单调性来比较大小、解不等式；考法(三)是对数函数单调性的迁移应用，根据单调性来求参数的范围，所以弄清对数函数的单调性是解题的关键，并注意有时需对底数字母参数进行讨论 [过关训练]1．设a，b，c均为正数，且2a＝loga，b＝logb，c＝log2c，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a＜b＜c  B．c＜b＜aC．c＜a＜b  D．b＜a＜c解析：选A　∵a＞0，∴2a＞1，∴loga＞1，∴0＜a＜.∵b＞0，∴0＜b＜1，∴0＜logb＜1，∴＜b＜1.∵c＞0，∴c＞0，∴log2c＞0，∴c＞1.∴0＜a＜＜b＜1＜c，故选A.2．(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)A．a＋b＜ab＜0  B．ab＜a＋b＜0C．a＋b＜0＜ab  D．ab＜0＜a＋b解析：选B　∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，∴ab＜0.∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0，∴0＜＜1，∴ab＜a＋b＜0.3．若函数f(x)＝loga(x2－2x＋a)(a＞0，且a≠1)有最小值，则实数a的值等于________．解析：令g(x)＝x2－2x＋a，则f(x)＝loga[g(x)]．①若a＞1，由于函数f(x)有最小值，则g(x)应有最小值 ，而g(x)＝x2－2x＋a＝(x－)2＋a－6，当x＝时，取最小值a－6，因此有解得a＝9.②若0＜a＜1，由于函数f(x)有最小值，则g(x)应有最大值，而g(x)不存在最大值，不符合题意．综上，实数a＝9.答案：94．(2019·西安模拟)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，且a≠1)，若f(x)＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：当a＞1时，f(x)＞1等价于8－ax＞a在[1,2]上恒成立．即a＜min＝，∴1＜a＜.当0＜a＜1时，f(x)＞1等价于0＜8－ax＜a在[1,2]上恒成立，即a＞max且a＜min.解得a＞4且a＜4，故不存在．综上可知，a的取值范围为.答案：