2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第九章第七节抛物线

第七节抛物线

1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．❶
其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程❷和几何性质
标准方程
y2＝2px (p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋

若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线．
四种不同抛物线方程的异同点
共同点
(1)原点都在抛物线上；
(2)焦点都在坐标轴上；
(3)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即＝
不同点
(1)焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2；
(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，即焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，即焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号.

[熟记常用结论]
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)
(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(　　)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)
(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、选填题
1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　抛物线的标准方程为x2＝y，所以焦点坐标是.
2．若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P的轨迹方程为(　　)
A．y2＝8x B.y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
解析：选C　点P到F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，因此P到F(0,2)的距离与它到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2＝8y.
3．抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线方程是(　　)
A．y2＝－8x B.y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝4x
解析：选C　由抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，知p＝4，且开口向右，故抛物线方程为y2＝8x.
4．焦点在直线2x＋y＋2＝0上的抛物线的标准方程为____________________．
解析：当焦点在x轴上时，令方程2x＋y＋2＝0中的y＝0，得焦点为(－1,0)，
故抛物线方程为y2＝－4x，
当焦点在y轴上时，令方程2x＋y＋2＝0中的x＝0，得焦点为(0，－2)，
故抛物线方程为x2＝－8y.
答案：y2＝－4x或x2＝－8y
5．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．
解析：M到准线的距离等于M到焦点的距离，
又准线方程为y＝－，
设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.
答案：

考点一 抛物线的定义及应用[师生共研过关]
[典例精析]
(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　)
A.　　　　　　　　　 B．1
C. D．2
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
[解析]　(1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
又点P到焦点F的距离为2，
∴由定义知点P到准线的距离为2.
∴xP＋1＝2，∴xP＝1.
代入抛物线方程得|yP|＝2，
∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.
(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，
则|P1Q|＝|P1F|.
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
[答案]　(1)B　(2)4
　　
1．(变条件)若将本例(2)中“B(3,2)”改为B(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
解析：由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．
∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，
∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2，
即|PB|＋|PF|的最小值为2.
答案：2
2．(变设问)在本例(2)条件下，点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，
由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝.
答案：
[解题技法]
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．
[提醒]　注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.
[过关训练]
1．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________．
解析：过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．
答案：(2,2)
2．(2019·襄阳测试)已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝________.
解析：如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝.
答案：
考点二 抛物线的标准方程与几何性质[师生共研过关]
[典例精析]
(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(－1,0)　　　　　　　 B．(1,0)
C．(0，－1) D．(0,1)
(2)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为(　　)
A．y2＝4x或y2＝8x B.y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
[解析]　(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
(2)由已知得抛物线的焦点F设点M(x0，y0)，则＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，
因而y0＝4，M.
由|MF|＝5，得 ＝5.又p＞0，解得p＝2或p＝8.故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
[答案]　(1)B　(2)C
[解题技法]
1．求抛物线标准方程的方法
(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可．
(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．
2．抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
[过关训练]
1．(2019·武汉调研)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为(　　)
A．y2＝9x　　　　　　 B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
解析：选B　如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x.
2．(2018·合肥模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．
解析：△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M.因为焦点F，△FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为x2＝4y.
答案：x2＝4y
考点三 直线与抛物线的位置关系[师生共研过关]
[典例精析]
设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为2.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
[解]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝2，
故直线AB的斜率k＝＝＝1.
(2)由y＝，得y′＝x.
设M(x3，y3)，由题设知x3＝1，于是M.
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(1,1＋m)，|MN|＝.
将y＝x＋m代入y＝，得x2－2x－2m＝0.
由Δ＝4＋8m＞0，得m＞－，x1,2＝1±.
从而|AB|＝|x1－x2|＝2.
由题设知|AB|＝2|MN|，
即＝，解得m＝.
所以直线AB的方程为y＝x＋.
[解题技法]
1．直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．
(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．
2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
[提醒]　涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
[过关训练]
1．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则∴y－y＝4(x1－x2)，
∴k＝＝.
设AB中点为M′(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足为A′，B′，
则|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．
∵M′(x0，y0)为AB中点，
∴M为A′B′的中点，∴MM′平行于x轴，
∴y1＋y2＝2，∴k＝2.
答案：2
2．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．
解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，
∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，
∴抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.
由得y2－8y－8m＝0，
Δ＝64＋32m＞0，∴m＞－2.
y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，
∴x1x2＝＝m2.
由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，
∴m＝8或m＝0(舍去)，∴直线l2：x＝y＋8，M(8,0)．
故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|＝3＝24.

一、题点全面练
1．(2019·张掖诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝(　　)
A．9　　　　　　　　　 B．8
C．7 D．6
解析：选B　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B.
2．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－x B.x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
解析：选D　(待定系数法)设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.故抛物线方程为y2＝－x或x2＝－8y.
3．(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)直线l过抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是(　　)
A．y2＝－12x B.y2＝－8x
C．y2＝－6x D．y2＝－4x
解析：选B　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.又AB的中点到y轴的距离为2，∴－＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求抛物线的方程为y2＝－8x.故选B.
4．(2019·昆明调研)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的斜率为(　　)
A. B.
C. D．1
解析：选B　设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作AA′⊥m，NN′⊥m，BB′⊥m，垂足分别为A′，N′，B′.
因为直线l过抛物线的焦点，
所以|BB′|＝|BF|，|AA′|＝|AF|.
又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，
所以|NN′|＝(|BB′|＋|AA′|)＝(|BF|＋|AF|)＝|AB|＝|MN|，所以∠MNN′＝60°，
则直线MN的倾斜角是120°.
又MN⊥l，所以直线l的倾斜角是30°，斜率是.故选B.
5．(2018·合肥模拟)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　设抛物线C：y2＝8x的准线为l，易知l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2,0)，
如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，连接OB，
由|FA|＝2|FB|，
知|AM|＝2|BN|，
∴点B为线段AP的中点，
则|OB|＝|AF|，
∴|OB|＝|BF|，∴点B的横坐标为1，
∵k＞0，
∴点B的坐标为(1,2)，
∴k＝＝.故选D.
6．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y2＝2x上的正三角形的面积为________．
解析：如图，根据抛物线的对称性得∠AOx＝30°.
直线OA的方程y＝x，
代入y2＝2x，得x2－6x＝0，
解得x＝0或x＝6.
即得A的坐标为(6,2)．
∴|AB|＝4，正三角形OAB的面积为×4×6＝12.
答案：12
7．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.
解析：由题意可知F(1,0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，点A在第一象限，
则|AF|＝xA＋1＝3，所以xA＝2，yA＝2，
所以直线AB的斜率为k＝＝2.
则直线AB的方程为y＝2(x－1)，
与抛物线方程联立整理得2x2－5x＋2＝0，xA＋xB＝，
所以xB＝，所以|BF|＝＋1＝.
答案：
8．(2019·贵阳模拟)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|＝2，则p＝________.
解析：过点A，B向抛物线的准线x＝－作垂线，垂足分别为C，D，过点B向AC作垂线，垂足为E，∵A，B两点在抛物线上，∴|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.
∵BE⊥AC，∴|AE|＝|AF|－|BF|，
∵直线AB的倾斜角为60°，
∴在Rt△ABE中，2|AE|＝|AB|＝|AF|＋|BF|，
即2(|AF|－|BF|)＝|AF|＋|BF|，∴|AF|＝3|BF|.
∵|AF|＝2，∴|BF|＝，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
设直线AB的方程为y＝，代入y2＝2px，
得3x2－5px＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝p，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝，∴p＝1.
答案：1
9．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
解：(1)由题意得直线AB的方程为y＝2，
与y2＝2px联立，
消去y有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，
所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，
即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，
于是y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4,4)．
设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1,4λ－2)．
又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
故λ的值为0或2.
10．设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
解：(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2,2)或(2，－2)．
所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.
(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，
所以∠ABM＝∠ABN.
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＞0，x2＞0.
由得ky2－2y－4k＝0，
可知y1＋y2＝，y1y2＝－4.
直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN＝＋＝.①
将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y1)＝＝＝0.所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．(2019·大同模拟)点M(5,3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是(　　)
A．y＝12x2 B.y＝12x2或y＝－36x2
C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2
解析：选D　抛物线标准方程为x2＝y(a≠0)，当a＞0时，开口向上，准线方程为y＝－，则点M到准线的距离为3＋＝6，解得a＝，则抛物线方程为y＝x2；
当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝－，则点M到准线的距离为－－3＝6，解得a＝－，则抛物线方程为y＝－x2.
2．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则实数a的取值范围为________．
解析：如图，设C(x0，x)(x≠a)，A(－，a)，B(，a)，
则＝(－－x0，a－x)，
＝(－x0，a－x)．
∵CA⊥CB，∴·＝0，
即－(a－x)＋(a－x)2＝0，
整理得(a－x)(－1＋a－x)＝0.
∴x＝a－1≥0，∴a≥1.
答案：[1，＋∞)
3．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则·＋·的最大值为________．
解析：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
依题意可得，·＝－(||·||)．
又因为||＝yA＋1，||＝yB＋1，
所以·＝－(yAyB＋yA＋yB＋1)．
设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，
代入x2＝4y，可得y2－(2＋4k2)y＋1＝0，
所以yA＋yB＝4k2＋2，yAyB＝1，
所以·＝－(4k2＋4)．
同理·＝－.
所以·＋·＝－≤－16.
当且仅当k＝±1时等号成立．
故FA·FB＋FC·FD的最大值为－16.
答案：－16
4．已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值．
解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意得－|x|＝1，化简得y2＝2x＋2|x|.
当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0.
所以动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x＜0)．
(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，
则l1的方程为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.设D(x3，y3)，E(x4，y4)，
则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
所以·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝||·||＋||·||
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)
＝1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1
＝8＋4≥8＋4×2＝16.
当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取最小值16.
(二)交汇专练——融会巧迁移
5．[与向量的交汇]设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)
A．5　　　　　　　　　　　 B．6
C．7 D．8
解析：选D　由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，
联立解得或
不妨设M(1,2)，N(4,4)．
又∵抛物线焦点为F(1,0)，
∴＝(0,2)，＝(3,4)．
∴·＝0×3＋2×4＝8.
6．[与解三角形交汇]抛物线y2＝4x的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上两动点，若|AB|＝( x1＋x2＋2)，则∠AFB的最大值为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选A　因为|AB|＝(x1＋x2＋2)，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2，所以|AF|＋|BF|＝|AB|.
在△AFB中，由余弦定理得
cos∠AFB＝
＝
＝－1＝－1.
又|AF|＋|BF|＝|AB|≥2⇒|AF|·|BF|≤|AB|2.所以cos∠AFB≥－1＝－，所以∠AFB的最大值为.故选A.
7．[与双曲线交汇]已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程是(　　)
A．x2＝16y B.x2＝8y
C．x2＝y D．x2＝y
解析：选A　因为双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以＝2，即＝4，所以＝3.因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，所以＝2，解得p＝8，所以抛物线C2的方程是x2＝16y.
8．[与不等式交汇]已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，P，Q是C上任意两点，点M(0，－1)满足·≥0，则p的取值范围是________．
解析：过M点作抛物线的两条切线，
设切线方程为y＝kx－1，
切点坐标为A(x0，y0)，B(－x0，y0)，
由y＝，得y′＝x，
则解得k＝± .
∵·≥0恒成立，∴∠AMB≤90°，即∠AMO≤45°，
∴|k|≥tan 45°＝1，即 ≥1，解得p≤2，
由p＞0，则0＜p≤2，
∴p的取值范围为(0,2]．
答案：(0,2]
9．[与圆交汇]已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．
解：设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①
(1)由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，
∵点N在以AB为直径的圆上，
∴AN⊥BN，∴－＝－1，∴p＝2.
(2)易得直线AN：y－y1＝(x－x1)，直线BN：y－y2＝(x－x2)，联立，得结合①式，
解得即N(pk，－1)．
|AB|＝|x2－x1|＝·
＝·，
点N到直线AB的距离d＝＝，
则△ABN的面积S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，当k＝0时，取等号，
∵△ABN的面积的最小值为4，
∴2＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.