2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第九章第七节抛物线

第七节抛物线

1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y2＝2px (p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0,0)
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
PF＝x0＋
PF＝－x0＋
PF＝y0＋
PF＝－y0＋
[小题体验]
1．抛物线2x2＋y＝0的准线方程为________．
解析：∵抛物线的标准方程为x2＝－y，∴2p＝，
∴ ＝，故准线方程为y＝.
答案：y＝
2．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．
解析：M到准线的距离等于M到焦点的距离，
又准线方程为y＝－，
设M(x，y)，则y＋＝1，所以y＝.
答案：
3．若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为________．
解析：由题意知，抛物线的准线为x＝－.因为点P(2，y0)到其准线的距离为4，所以＝4，所以p＝4.所以抛物线的标准方程为y2＝8x.
答案：y2＝8x

1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p＞0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．
[小题纠偏]
1．平面内到点(1,1)与到直线x＋2y－3＝0的距离相等的点的轨迹是________．
答案：一条直线
2．抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为________．
解析：由8x2＋y＝0，得x2＝－y.
所以2p＝，p＝，所以焦点为.
答案：

　
[典例引领]
1．(2019·徐州调研)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝16x上横坐标为1的点到其焦点的距离为________．
解析：抛物线y2＝16x中，p＝8，∴准线方程为x＝－4，
∵抛物线y2＝16x上横坐标为1的点到其焦点的距离即为到其准线的距离，
∴d＝1－(－4)＝5.
答案：5
2．若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则PF的最小值为________．
解析：设点P到准线的距离为d，则有PF＝d，
又抛物线的方程为y＝2x2，即x2＝y,
则其准线方程为y＝－，
所以当点P在抛物线的顶点时，d有最小值，
即PF的最小值为.
答案：
3．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．
解析：由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于PF，故动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2.
答案：2
[由题悟法]
应用抛物线定义的2个关键点
(1)涉及抛物线的焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离PF＝|x|＋或PF＝|y|＋.
[即时应用]
1．(2018·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－，则线段PF的长为________．
解析：由题意AF与x轴正半轴所成角为120°，PA＝PF，所以△PAF为正三角形．
因为p＝3，所以PF＝AF＝2p＝6.
答案：6
2．(2019·镇江调研)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P到焦点的距离为5，到y轴的距离为3，则p＝________.
解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为x＝－，由题意可得P到准线的距离为5，又P到y轴的距离为3，故＝5－3，解得p＝4.
答案：4
　
[锁定考向]
抛物线的标准方程及性质是高考的热点．
常见的命题角度有：
(1)根据性质求方程；
(2)抛物线的对称性；
(3)抛物线性质的实际应用．　　　 　
[题点全练]
角度一：根据性质求方程
1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是________．
解析：设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.
答案：y2＝－x或x2＝－8y
角度二：抛物线的对称性
2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)分别交于O，A，B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝________.
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，
因为双曲线的离心率为2，所以 ＝2，＝.
由解得或
由曲线的对称性及△AOB的面积得，2×××＝，
解得p2＝，即p＝.
答案：
角度三：抛物线性质的实际应用
3．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水位下降1 m后，水面宽________ m.

解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设水面与拱桥的一个交点为A，则点A的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则22＝－2p×(－2)，得p＝1.所以抛物线方程为x2＝－2y.设水位下降1 m后水面与拱桥的交点坐标为(x0，－3)，则x＝6，解得x0＝±，所以水面宽为2 m.
答案：2

[通法在握]
求抛物线标准方程的方法
(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p的关系．
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．
(3)焦点到准线的距离简称为焦准距，抛物线y2＝2px(p＞0)上的点常设为.
[提醒]　求抛物线的标准方程时，一定要先确定抛物线的焦点坐标，即抛物线标准方程的形式，否则极易发生漏解的情况．
[演练冲关]
1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上，则该抛物线的方程为________．
解析：由题意知，抛物线的焦点在x轴上．
∵直线3x－4y－12＝0交x轴于点(4,0)，
∴抛物线的焦点为(4,0)．
设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
由＝4，得p＝8，∴该抛物线的方程为y2＝16x.
答案：y2＝16x
2．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．
解析：依题意设P在抛物线准线的射影为P′，抛物线的焦点为F，则F，由抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离PP′＝PF，则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和d＝PF＋PA≥AF＝＝.
答案：
　
[典例引领]
已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且OP＝PB，求△FAB的面积．
解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，
所以(－8)2＝2p×8，所以2p＝8，
所以抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由直线l2与l1垂直，且不过原点，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.
由得y2－8y－8m＝0，
Δ＝64＋32m＞0，所以m＞－2.
y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，
所以x1x2＝＝m2.
由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，
所以m＝8或m＝0(舍去)，
所以直线l2的方程为x＝y＋8，M(8,0)．
故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·FM·|y1－y2|
＝3＝24.
[由题悟法]
解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB＝|xA|＋|xB|＋p或AB＝|yA|＋|yB|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
[提醒]　涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
[即时应用]
已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于A，B两点，直线l2：x＝－2交x轴于点Q.
(1)设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值；
(2)点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l2于M，N两点， ·＝2，求抛物线C的方程．
解：(1)设直线l1的方程为x＝my＋2，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程得y2－2pmy－4p＝0，
则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－4p.
由题意知，点Q(－2,0)，
所以k1＋k2＝＋
＝＋＝
＝＝0.
(2)设点P(x0，y0)，直线PA：y－y1＝(x－x1)，
当x＝－2时，yM＝，同理yN＝.
因为·＝2，所以4＋yNyM＝2，
即·＝＝
＝＝－2，
故p＝，所以抛物线C的方程为y2＝x.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为2的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为________．
解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为，准线方程x＝－，由抛物线的定义可知，2＋＝4，则p＝4，∴抛物线的准线方程为x＝－2.
答案：x＝－2
2．(2018·扬州期末)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点也是双曲线x2－y2＝8的一个焦点，则p＝________.
解析：抛物线y2＝2px的焦点为，双曲线x2－y2＝8的右焦点为(4,0)，故＝4，即p＝8.
答案：8
3．已知P为抛物线y2＝8x上动点，定点A(3,1)，F为该抛物线的焦点，则PF＋PA的最小值为________．
解析：易知点A在抛物线内部，抛物线的准线方程为x＝－2，过点P作准线的垂线，垂足为M，则PF＋PA＝PM＋PA，当A，P，M三点共线时取得最小值，所以PF＋PA＝3－(－2)＝5.
答案：5
4．(2018·前黄中学检测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为________．
解析：由于抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，由题意得－＝－1，p＝2，
所以焦点坐标为 (1,0) .
答案：(1,0)
5．已知点P在抛物线y2＝4x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离为________．
解析：设点P的坐标为(xP，yP)，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故＝，解得xP＝1，所以y＝4，所以|yP|＝2.
答案：2
6．(2019·连云港模拟)设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，BF＝2，则＝________.
解析：∵抛物线方程为y2＝2x，∴焦点F的坐标为，准线方程为x＝－.
如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，
则BF＝BN＝x2＋＝2，∴x2＝，
把x2＝代入抛物线y2＝2x，得y2＝－，
∴直线AB过点M(，0)与B.
则直线AB的方程为x＋y－3＝0，与抛物线方程联立，解得x1＝2，
∴AE＝2＋＝.
∵在△AEC中，BN∥AE，
∴＝＝＝，故＝＝.
答案：
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1．(2019·宿迁一模)抛物线x2＝4y的焦点坐标为________．
解析：∵抛物线x2＝4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p＝4，∴＝1.
∴抛物线x2＝4y的焦点坐标为(0,1)．
答案：(0,1)
2．过抛物线x2＝－12y的焦点F作直线垂直于y轴，交抛物线于A，B两点，O为抛物线的顶点，则△OAB的面积是________．
解析：由题意F(0，－3)，将y＝－3代入抛物线方程得x＝±6，
所以AB＝12，所以S△OAB＝×12×3＝18.
答案：18
3．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则＝________.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知AB所在的直线方程为y＝，
联立得x2－x＋＝0，
解得x1＝，x2＝，
所以＝＝3.
答案：3
4．(2019·南通调研)已知F是抛物线C：y2＝12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为________．
解析：∵F(3,0)，∴由题意可得M的横坐标为，
∴FM＝＋3＝，FN＝2FM＝9.
答案：9
5．已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则AB的最大值为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，由抛物线的定义可知，AF＋BF＝x1＋x2＋1＝4，由图可知AF＋BF≥AB，AB≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，AB取得最大值4.
答案：4
6．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y2＝2x上的正三角形的面积为________．
解析：如图，根据抛物线的对称性得∠AOx＝30°.
直线OA的方程y＝x，
代入y2＝2x，得x2－6x＝0，
解得x＝0或x＝6.
即得A的坐标为(6,2)．
∴AB＝4，正三角形OAB的面积为×4×6＝12.
答案：12
7．(2018·无锡调研)过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且PA＝AB，则点A到抛物线C的焦点的距离为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为D，E(图略)，因为PA＝AB，所以又得x1＝，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋＝.
答案：
8．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且MF＝4OF，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为________．
解析：设M(x，y)，因为OF＝，MF＝4OF，所以MF＝2p，由抛物线定义知x＋＝2p，所以x＝p，所以y＝±p.又△MFO的面积为4，所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x.
答案：y2＝8x
9．已知抛物线y2＝2x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，点A(3,2)，求PA＋PF的最小值，并求取最小值时点P的坐标．
解：将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
因为＞2，所以A在抛物线内部．
设抛物线上的点P到准线l：x＝－的距离为d，
由定义知PA＋PF＝PA＋d.
当PA⊥l时，PA＋d最小，最小值为，即PA＋PF的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，所以点P的坐标为(2,2)．
10．(2018·扬州中学检测)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点．
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；
(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，
消去x，得y2－4ty－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
所以·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)证明：设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x，得
y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，
所以·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.
令b2－4b＝－4，得b2－4b＋4＝0，解得b＝2.
所以直线l过定点(2,0)．
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1．(2018·连云港二模)从抛物线x2＝4y上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积S＝________.
解析：设P(x0，y0)，依题意可知抛物线的准线方程为y＝－1，
∴y0＝5－1＝4，∴|x0|＝＝4，
∴△MPF的面积S＝PM·|x0|＝×5×4＝10.
答案：10
2．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则·＋·的最大值等于________．
解析：依题意可得，·＝－(||·||)．
又因为||＝yA＋1，||＝yB＋1，
所以·＝－(yAyB＋yA＋yB＋1)．
设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，
联立x2＝4y，可得x2－4kx－4＝0，
所以xA＋xB＝4k，xAxB＝－4.
所以yAyB＝1，yA＋yB＝4k2＋2.
所以·＝－(4k2＋4)．
同理·＝－.
所以·＋·＝－≤－16.
当且仅当k＝±1时等号成立．
答案：－16
3.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．
因为点P(1,2)在抛物线上，
所以22＝2p×1，
解得p＝2.
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.
则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，
因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
所以kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，
得
所以＝－，
所以y1＋2＝－(y2＋2)．
所以y1＋y2＝－4.
由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，
所以kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．