2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第九章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系


第四节直线与圆、圆与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)


相离
相切
相交
图形



量化
方程观点
Δ＜0
Δ＝0
Δ＞0
几何观点
d＞r
d＝r
d＜r

2．圆与圆的位置关系
设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R，r(R＞r)，则
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
公共点个数
0
1
2
1
0
d，R，r的关系
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
公切线条数
4
3
2
1
0

判断圆与圆位置关系的注意点
对于圆与圆的位置关系，从交点的个数，也就是方程组的解的个数来判断，有时得不到确切的结论．如当Δ＜0时，需要再根据图形判断两圆是外离，还是内含；当Δ＝0时，还需要判断两圆是外切，还是内切．
[熟记常用结论]
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆系方程
(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　)
(4)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、选填题
1．直线l：x＋y－4＝0与圆C：x2＋y2＝4的位置关系是(　　)
A．相交过圆心　　　　　 B．相交不过圆心
C．相切 D．相离
解析：选C　圆心坐标为(0,0)，圆心到直线l的距离d＝＝2＝r，所以直线l与圆C相切．故选C.
2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　)
A．外离 B.相交
C．外切 D．内切
解析：选B　圆O1：(x－1)2＋y2＝1，
圆O2：x2＋(y－2)2＝4，
∵|O1O2|＝＝，
∴|2－1|＜|O1O2|＜2＋1，∴两圆相交．故选B.
3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1] B.[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：选C　由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，
所以≤，
即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1，故选C.
4．已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________.
解析：因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得k＝0或k＝.
答案：0或
5．直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：由x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，
所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r＝，
又圆心(1,2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝＝，由2＝r2－d2，得|AB|2＝4＝10，即|AB|＝.
答案：

考点一 直线与圆的位置关系的判断 [师生共研过关]
[典例精析]
(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　　 B．相切
C．相离 D．不确定
(2)直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是(　　)
A．(，2) B.(，3)
C. D.
(3)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　)
A．(＋1，＋∞) B.(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
[解析]　(1)法一：(代数法)由
消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆相交．
法二：(几何法)由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离
d＝＜1＜，故直线l与圆相交．
法三：易得直线l过定点(1,1)．把点(1,1)代入圆的方程有1＋0＜，∴点(1,1)在圆的内部，故直线l与圆C相交．
(2)当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d＝＝1，解得m＝(切点在第一象限)，
所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，
则1＜m＜.
(3)计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1.
[答案]　(1)A　(2)D　(3)A
[解题技法]
判断直线与圆的位置关系的一般方法
几何法
圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小
代数法
将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系
[过关训练]
1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B.相交
C．相离 D．不确定
解析：选B　因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1.所以直线与圆相交．
2．(2019·杭州模拟)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为(　　)
A．(－∞，2) B.(2，＋∞)
C．(－∞，－6) D．(－6，＋∞)
解析：选C　∵x2＋y2－2x－2y＋b＝0表示圆，∴8－4b＞0，即b＜2.∵直线ax＋y＋a＋1＝0过定点(－1，－1)，∴点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0的内部，∴6＋b＜0，解得b＜－6，∴b的取值范围是(－∞，－6)．故选C.
3．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为(　　)
A．1 B.2
C．3 D．4
解析：选C　由圆的方程知圆心坐标为(3,3)，半径为3，如图所示，因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．
考点二 圆与圆的位置关系及应用 [师生共研过关]
[典例精析]
已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D．2
[解析]　由圆C1与圆C2外切，可得＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9.根据基本不等式可知ab≤2＝，当且仅当a＝b时等号成立，ab的最大值为.
[答案]　C
[解题技法]
圆与圆位置关系问题的解题策略
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
[过关训练]
1．如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是_________________．
解析：圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，
圆心坐标为(a，a)，半径为2.
依题意得0＜＜4，
∴0＜|a|＜2.∴a∈(－2，0)∪(0,2)．
答案：(－2，0)∪(0,2)
2．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解：因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为，，
(1)当两圆外切时，由＝＋，得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5，所以－＝5，解得m＝25－10.
(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
故两圆的公共弦的长为
2 ＝2.
考点三 圆的弦长问题 [师生共研过关]
[典例精析]
(1)(2019·太原模拟)若3a2＋3b2－4c2＝0，则直线ax＋by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　)
A.　　　　　　　　 B．1
C. D.
(2)(2019·成都模拟)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·的值是(　　)
A．－ B.
C．－ D．0
[解析]　(1)因为a2＋b2＝c2，所以圆心O(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝，所以直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为2＝2×＝1，选B.
(2)在△OAB中，|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝，可得∠AOB＝120°，所以·＝1×1×cos 120°＝－.
[答案]　(1)B　(2)A
[解题技法]
有关弦长问题的2种求法
几何法
直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝2＋d2
代数法
联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝·|x1－x2|＝或|AB|＝·|y1－y2|＝

[过关训练]
1．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝(　　)
A．－ B.±
C．－ D．±
解析：选D　记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|＝|CB|＝可知，圆心C(1,2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是＝1，解得b＝±.
2．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2是方程x2＋mx－2＝0的两根，所以x1x2＝－2，又点C的坐标为(0,1)，则·＝(－x1,1)·(－x2,1)＝x1x2＋1＝－2＋1＝－1≠0，所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，由x1x2＝－2可知原点O在圆内，则由相交弦定理可得|OC|·|OD|＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝2.
又|OC|＝1，所以|OD|＝2，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为|OC|＋|OD|＝3，为定值．
考点四 圆的切线问题 [师生共研过关]
[典例精析]
已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
[解]　由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.
(1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
∴点P在圆C上．
又kPC＝＝－1，
∴切线的斜率k＝－＝1.
∴过点P的圆C的切线方程是
y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0.
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，
解得k＝.
∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝＝ ，
∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.
[解题技法]
1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程．
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的2种方法
几何法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代数法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出

[提醒]　当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况．
[过关训练]
1．(2019·杭州模拟)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．2
C. D．3
解析：选C　切线长的最小值是当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝＝2，故切线长的最小值为＝.
2．(2018·湖北四地七校联考)若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是(　　)
A．3 B.4
C．2 D．8
解析：选B　连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，
sin∠AO2O1＝，∴在Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2O1＝2×＝2，∴|AB|＝2|AC|＝4.故选B.
考点五 直线与圆的综合问题[师生共研过关]
[典例精析]
已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
解：(1)因为圆C1的方程x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为(3,0)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，M(x0，y0)，
则x0＝，y0＝.
由题意可知直线l的斜率必存在，
设直线l的方程为y＝tx.
将上述方程代入圆C1的方程，
化简得(1＋t2)x2－6x＋5＝0.
由题意，可得x1＋x2＝，Δ＝36－20(1＋t2)＞0，(*)
所以x0＝，代入直线l的方程，得y0＝.
因为x＋y＝＋＝＝＝3x0，
所以2＋y＝.
由(*)解得t2＜.又t2≥0，所以＜x0≤3.
所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为2＋y2＝.
(3)存在实数k满足条件．由(2)知，曲线C是在区间上的一段圆弧．
如图，D，E，F(3,0)，
直线L过定点G(4,0)．
联立直线L的方程与曲线C的方程，消去y整理得
(1＋k2)x2－(3＋8k2)x＋16k2＝0.
由Δ＝0，解得k＝±，
由求根公式解得交点的横坐标为x＝∈，
由图可知要使直线L与曲线C只有一个交点，
则k∈∪.
故所求k的取值范围为∪.
[解题技法]
直线与圆的综合问题的求解策略
(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决．
(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑．
[过关训练]
　已知A(2,0)，直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m＜3)所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点．
(1)求|PA|的最大值与最小值；
(2)圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径．
解：(1)∵直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m＜3)所截得的弦长为4，
∴圆心到直线的距离
d＝＝＝1.
∵m＜3，∴m＝2，
∴|AC|＝＝，
∴|PA|的最大值与最小值分别为＋，－.
(2)由(1)可得圆C的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝13，
令x＝0，得y＝0或4；令y＝0，得x＝0或－6，
∴圆C与坐标轴相交于三点M(0,4)，O(0,0)，N(－6,0)，
∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝2，
∴△MON内切圆的半径为＝5－.